青島市重點中學2023學年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷（含解析）

1、2023學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若為過橢圓中心的弦，為橢圓的焦點，則面積的最大值為（ ）A20B30C50D602某大學計算機學院

2、的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人臉識別，數(shù)據分析、機器學習、服務器開發(fā)五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學習，其中劉澤同學學習人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（ ）A480種B360種C240種D120種3已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ ）ABCD4下列函數(shù)中，圖象關于軸對稱的為（ ）AB，CD5某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為，設地球半徑為，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為（ ）ABCD6如果直線與圓相交，則點與圓C的位置關系是（ ）A點M在

3、圓C上B點M在圓C外C點M在圓C內D上述三種情況都有可能7已知集合，則中元素的個數(shù)為( )A3B2C1D08已知命題p:直線ab，且b平面，則a；命題q:直線l平面，任意直線m，則lm.下列命題為真命題的是（ ）ApqBp（非q）C（非p）qDp（非q）9函數(shù)的大致圖象為（ ）ABCD10要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點的（ ）A橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度11已知為坐標原點，角的終邊

4、經過點且，則( )ABCD12某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13記數(shù)列的前項和為，已知，且.若，則實數(shù)的取值范圍為_.14（5分）已知為實數(shù)，向量，且，則_15如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，殘缺部分位于過點C的豎直線的右側，現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為_.16已知復數(shù)z112i，z2a+2i（其中i是虛數(shù)單位，aR），若z1z2是純虛數(shù)，則a的值為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）為了打好

5、脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農科院針對玉米種植情況進行調研，力爭有效地改良玉米品種，為農民提供技術支援，現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米（1）求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)；（2）根據莖葉圖的數(shù)據，完成下面的列聯(lián)表：抗倒伏易倒伏矮莖高莖（3）根據（2）中的列聯(lián)表，是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818（12分）已知橢圓的長軸長為，離心率（1）求橢圓的方程；（2）設分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點，是橢圓上在第一

6、象限的一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，問與面積之差是否為定值？說明理由.19（12分）設函數(shù)，其中，為正實數(shù).（1）若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求實數(shù)的取值范圍；（2）設，證明：對任意，都有.20（12分）已知函數(shù).（1）若曲線的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.21（12分）如圖，平面四邊形中，是上的一點，是的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22（10分）已知數(shù)列an滿足條件，且an+2（1）n（an1）+2an+1，nN*（）求數(shù)列an的通項公式；（）設bn，Sn為數(shù)列bn的

7、前n項和，求證：Sn2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】先設A點的坐標為，根據對稱性可得，在表示出面積，由圖象遏制，當點A在橢圓的頂點時，此時面積最大，再結合橢圓的標準方程，即可求解.【題目詳解】由題意，設A點的坐標為，根據對稱性可得，則的面積為，當最大時，的面積最大，由圖象可知，當點A在橢圓的上下頂點時，此時的面積最大，又由，可得橢圓的上下頂點坐標為，所以的面積的最大值為.故選：D. 【答案點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及簡單的幾何性質，以及三角形面積公式的應用

8、，著重考查了數(shù)形結合思想，以及化歸與轉化思想的應用.2、B【答案解析】將人臉識別方向的人數(shù)分成：有人、有人兩種情況進行分類討論，結合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).【題目詳解】當人臉識別方向有2人時，有種，當人臉識別方向有1人時，有種，共有360種.故選：B【答案點睛】本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.3、B【答案解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0f(0)a1，f(1)1ba0，所以1b2.又f(x)2xb，所以g(x)ex2xb，所以g(x)ex20，所以g(x)在R上單調遞增，又g(0)1b0，g(1)e2b0，根據函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)g(x)的

9、零點所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.4、D【答案解析】圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質對選項進行判斷可解.【題目詳解】圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，故為奇函數(shù)；B中，的定義域為，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質可知，為奇函數(shù)；D中，且，故為偶函數(shù).故選：D.【答案點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性. 判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對于函數(shù)的定義域內任意一個都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù) (2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關于原點(軸)對稱5、A【答案解析】由題意畫出圖形，結合橢圓的定義，結合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半

10、焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【題目詳解】橢圓的離心率：，（ c為半焦距; a為長半軸），設衛(wèi)星近地點，遠地點離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,故選：A【答案點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關鍵，屬于中檔題.6、B【答案解析】根據圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【題目詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即也就是點到圓的圓心的距離大于半徑即點與圓的位置關系是點在圓外故選：【答案點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質，考查點到直線距離公式的應用，屬于中檔題7、C【答案解析】集合表示半圓上的點，集合表示直線上

11、的點，聯(lián)立方程組求得方程組解的個數(shù)，即為交集中元素的個數(shù).【題目詳解】由題可知：集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當時，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【答案點睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關系的判斷，屬基礎題.8、C【答案解析】首先判斷出為假命題、為真命題，然后結合含有簡單邏輯聯(lián)結詞命題的真假性，判斷出正確選項.【題目詳解】根據線面平行的判定，我們易得命題若直線，直線平面，則直線平面或直線在平面內，命題為假命題；根據線面垂直的定義，我們易得命題若直線平面，則若直線與平面內的任意直線都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；B命

12、題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.【答案點睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關命題真假性的判斷，考查含有簡單邏輯聯(lián)結詞的命題的真假性判斷，屬于基礎題.9、A【答案解析】利用特殊點的坐標代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【題目詳解】，排除掉C，D；，.故選：A【答案點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.10、C【答案解析】根據三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關系，即可容易求得.【題目詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將 向左平移個單位長度，故可得.故

13、選：C.【答案點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.11、C【答案解析】根據三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結果.【題目詳解】根據題意，解得，所以，所以，所以.故選：C.【答案點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.12、A【答案解析】觀察可知，這個幾何體由兩部分構成,：一個半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個半球體，半徑為1，按公式計算可得體積。【題目詳解】設半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A?！敬鸢更c睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎題。二、填空題：本題共4小題

14、，每小題5分，共20分。13、【答案解析】根據遞推公式，以及之間的關系，即可容易求得，再根據數(shù)列的單調性，求得其最大值，則參數(shù)的范圍可求.【題目詳解】當時，解得.所以.因為，則，兩式相減，可得，即，則.兩式相減，可得.所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，則.令，則.當時，數(shù)列單調遞減，而，故，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【答案點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式，涉及數(shù)列單調性的判斷，屬綜合困難題.14、5【答案解析】由，且，得，解得，則，則15、【答案解析】分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設，則，（2）若在若一條直角邊在上，設，則，進一步利用導數(shù)的應用和三角函數(shù)關系式恒

15、等變形和函數(shù)單調性即可求出最大值.【題目詳解】（1）斜邊在上，設，則，則，從而.當時，此時，符合.（2）若一條直角邊在上，設，則，則，由知.，當時，單調遞增，當時，單調遞減，.當，即時，最大.故答案為：.【答案點睛】此題考查實際問題中導數(shù)，三角函數(shù)和函數(shù)單調性的綜合應用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.16、-1【答案解析】由題意，令即可得解.【題目詳解】z112i，z2a+2i，又z1z2是純虛數(shù)，解得：a1故答案為：1【答案點睛】本題考查了復數(shù)的概念和運算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）190（2）見解析 （3）可以在

16、犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關【答案解析】（1）排序后第10和第11兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；（2）由莖葉圖可得列聯(lián)表；（3）由列聯(lián)表計算可得結論【題目詳解】解：（1）（2）抗倒伏易倒伏矮莖154高莖1016（3）由于，因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關【答案點睛】本題考查莖葉圖，考查獨立性檢驗，正確認識莖葉圖是解題關鍵18、（1）（2）是定值，詳見解析【答案解析】（1）根據長軸長為，離心率，則有求解.（2）設，則，直線，令得，則，直線，令，得，則，再根據求解.【題目詳解】（1）依題意得，解得，則橢圓的方程.（2）設，則，直線，令得，則，

17、直線，令，得，則，.【答案點睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系，還考查了平面幾何知識和運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1） （2）證明見解析【答案解析】(1)據題意可得在區(qū)間上恒成立，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，從而求出滿足不等式的的取值范圍；(2)不等式整理為，由(1)可知當時，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性從而證明在區(qū)間上成立，從而證明對任意，都有.【題目詳解】（1）解：因為函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，所以在區(qū)間上恒成立.設，其中，所以，其中，.當，即時，所以函數(shù)在上單調遞增，故成立，滿足題意.當，即時，設，則圖象的對稱軸，所以在上存在唯一實根，設為，則，所以在上單調遞減，此時，

18、不合題意.綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.（2）證明：由題意得，因為當時，所以.令，則，所以在上單調遞增，即，所以，從而.由（1）知當時，在上恒成立，整理得.令，則要證，只需證.因為，所以在上單調遞增，所以，即在上恒成立.綜上可得，對任意，都有成立.【答案點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的作用，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性與求函數(shù)最值，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.20、（1）；（2）或【答案解析】（1）根據解析式求得導函數(shù)，設切點坐標為，結合導數(shù)的幾何意義可得方程，構造函數(shù)，并求得，由導函數(shù)求得有最小值，進而可知由唯一零點，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結合零點定義化簡并分離參數(shù)得，構造函數(shù)，根

19、據題意可知直線與曲線有兩個交點；求得并令求得極值點，列出表格判斷的單調性與極值，即可確定與有兩個交點時的取值范圍.【題目詳解】（1）依題意，設切點為，故，故，則；令，故當時，當時，故當時，函數(shù)有最小值，由于，故有唯一實數(shù)根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”；由于.由，解得，.當變化時，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調遞減，在上單調遞增.又因為，故當或時，直線與曲線在上有兩個交點，即當或時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【答案點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義應用，由切線方程求參數(shù)值，構造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)零點的意義及綜合應用，屬于難題.21、（1）見解析；（2）【答案解析】（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據可證得為等邊三角形，又由于是的中點，所以，從而可證得結論；（2）