概率論基礎知識

1、概率論基礎知識第1頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四主要內容第一章：隨機事件與概率第二章:隨機變量及其概率分布第三章:多維隨機變量及其概率分布第四章:隨機變量的數字特征 第五章:大數定律及中心極限定理第六章：統(tǒng)計量及其抽樣分布第七章：參數估計第八章：假設檢驗第九章：回歸分析第2頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四第一章 隨機事件與概率1.1 隨機事件1.2概率1.3條件概率1.4事件的獨立性自測題一返回第3頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.1 隨機事件一、隨機現象二、隨機試驗和隨機事件三、樣本空間四、事件的關系與運

2、算例子（事件的關系和運算）練習題第4頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四一、隨機現象1. 確定性現象: 例如，向上拋一顆石子必然下落；同性電荷必定相互排斥；在一個大氣壓下60度的水必定不會沸騰，等 等。2. 隨機現象: 例如，拋一枚硬幣結果可能是正面朝上、也可能是反面朝上；用同一門炮向同一目標射擊的彈著點不盡相同，等等。這類現象有一個共同特點：即在個別試驗中其結果呈現出不確定性,而在大量重復試驗中其結果又具有某種規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性.3. 概率論與數理統(tǒng)計具有廣泛的應用。 返回第5頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四二、隨機試驗和隨機事件 隨機試驗(

3、三個特征):(1)可以在相同的條件下重復地進行; (2)每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確所有可能的結果; (3)進行一次試驗之前不能確定會出現哪個結果。隨機試驗的每個可能發(fā)生的結果稱為隨機事件.簡稱為事件.事件通常用英文字母A，B，C或A1,A2表示，記成如下形式：A=可能發(fā)生的結果.例子第6頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四隨機事件例子例1：已知一批產品共30件，內含正品26件，次品4件，從中一次取出5件的試驗.則Ai=恰有i件次品, (i =0，1，2，3，4)；B=最多有三件次品；C=正品不超過2件等都是隨機事件，他們在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生.

4、例2：擲一粒骰子，觀察它出現的點數。可能的結果為： A= 1, 2, 3, 4, 5, 6。 返回第7頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四三、樣本空間 一般地，在隨機試驗中，把不可分割的事件稱為基本事件；由兩個及兩個以上基本事件組合而成的事件稱為復合事件. 對于隨機試驗的每一個基本事件，我們可以用只含一個元素的單元素 表示，其中 與 表示的基本事件一一對應.和所有基本事件相對應的元素的全體組成的集合稱為該隨機試驗的樣本空間，通常記作 ，樣本空間中的元素稱為樣本點.返回第8頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四四、 事件的關系與運算1.包含關系和相等

5、關系: 若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生, 則稱事件B包含事件A,記作AB。 若A B且A B, 即A=B, 則稱A與B相等BA第9頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2事件的并由屬于A或者屬于B的所有樣本點組成的集合，稱為A與B的并（或者和），記作 或者A+B.顯然事件表示“事件A與B事件至少有一個發(fā)生”這一事件.AB第10頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四3事件的交由屬于同時A又屬于B的所有樣本點組成的集合，稱為A與B的交（或者積），記作 或者 .顯然事件 表示“事件A與事件B同時發(fā)生”這一事件.AB第11頁，共189頁，2022年，5月20

6、日，23點28分，星期四4事件的差由屬于A但不屬于B的所有樣本點組成的集合，稱為A與B的差，記作 .事件 表示“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”這一事件. AB第12頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四5對立事件樣本空間 與A的差 稱為事件A的對立事件（或者逆事件），記作 ，事件 表示“事件A不發(fā)生”. 對立事件A和 間的關系可以表示為：.A第13頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四6互不相容事件如果在同一試驗中，事件A與事件B不可能同時發(fā)生，則稱事件A與事件B互不相容.記作 .基本事件是互不相容的.AB補充點第14頁，共189頁，2022年，5月20

7、日，23點28分，星期四補充點事件的并、交和互不相容事件可推廣到n個事件間的關系.現就互不相容事件敘述如下：在一次事件中，如果n個事件 兩兩互不相容，則稱 是互不相容的事件組.如果互不相容的事件組 滿足 ，則稱事件組 為一個劃分.第15頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四可以驗證集合的運算率均適用于事件的運算，即事件的運算滿足下列關系式：（1）交換律： （2）結合律： （3）分配律： （4）德莫根(Demorgan)公式： 其中分配律和德莫根公式可以推廣到有限多個 事件的情形.返回第16頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四例子1例 一個貨箱中裝有

8、12只同類型的產品，其中3只是一等品，9只是二等品，從其中隨機地抽取兩次，每次任取一只， 表示第i次抽取的是一等品，試用 表示下列事件：B=兩只都是一等品C=兩只都是二等品D=一只一等品，另一只是二等品E=第二次抽取的是一等品解題過程第17頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四解題過程解 ：由題意， 第i次抽取的是一等品，故 第i次抽取的是二等品例子2第18頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四例 從1，2，3，4，5，6六個數字中任取一個數，A=取得的數為4的約數，B=取得的數為偶數，C=取得的數不小于5.試用集合表示下列事件：(1)(2)事件“A

9、發(fā)生，C不發(fā)生”；事件“B,C至少有一個發(fā)生”的逆事件 解題過程例子2第19頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四解題過程解 設i表示基本事件取得的數為i所對應的樣本點，則樣本空間 (1)(2)返回第20頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四練習題1。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？（1）某商店有男店員2人，女店員8人，任意抽調3人去做其他的工作，那么A=3個都是女店員,B=3個都是男店員，C=至少有1個男店員，D=至少有1個女店員(2) 一批產品中只有2件次品，現從中任取3件，則A=三件都是次品，B=至少1件正品，C=至多1件正品，

10、D=恰有2件次品和1件正品練習題2第21頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四練習題22。一個工人加工了4個零件，設 表示第 i個零件是合格品，試用 表示下列事件：（1）沒有一個零件是不合格品；（2）至少有一個零件是不合格品；（3）只有一個零件是不合格品.3。A,B,C為一次試驗中的三個事件，試用A,B,C表示下列事件：（1）A發(fā)生，B,C不發(fā)生； (2)A,B中至少有一個發(fā)生； (3)A,B,C至少有一個不發(fā)生；(4)A,B,C至多有一個發(fā)生.返回第22頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.2 概 率一、概率的定義1.概率的統(tǒng)計定義2.概率的古

11、典定義3.概率的定義與簡單計算二、概率的運算公式 加法公式第23頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四一、概率的定義1.概率的統(tǒng)計定義在相同的條件下進行n次重復試驗，事件A發(fā)生的次數m稱為事件A發(fā)生的頻數；m與n的比值稱為事件A發(fā)生的頻率，記作 引例一第24頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四一般地，當試驗次數n增大時，事件A發(fā)生的頻率 總是穩(wěn)定在某個常數p附近，這時就把p稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱事件A的概率，記作 上述事件的概率是用統(tǒng)計事件發(fā)生的頻率來確定的，故這個定義稱為概率的統(tǒng)計定義.根據這個定義，通過大量的重復試驗，用事件發(fā)生的頻率近似地

12、作為它的概率，這是求一個事件的概率的常用基本方法. 引例二返回第25頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.概率的古典定義考慮下面兩個隨機試驗：E1：投擲一顆均勻的骰子，觀察其出現的點數，基本事件有6個，由骰子的“均勻性”可知，每一個基本事件發(fā)生的可能性相等.E2：一批產品有N個，要隨機抽取一個，檢測其等級，則N個產品被抽取的機會是相同的，每一次檢測的結果就是一個基本事件，故N個基本事件出現的可能性相等.第26頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四這兩個試驗都具有以下特點：(1)只有有限個基本事件(2)每個基本事件在一次試驗中發(fā)生的可能性相同.這類

13、隨機試驗稱為等可能概型，由于這種概型在概率論發(fā)展初期是主要研究對象，所以也稱為古典概型.在古典概型中，若基本事件的總數為n，事件包含的基本事件數為m，則事件的概率定義為 ，這個定義稱為概率的古典定義.返回第27頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四3概率的定義與簡單計算與隨機試驗相聯(lián)系的數量指標 ，都具有下列共同的屬性：(1)(2)(3) 為互不相容事件，則 在數學上，刻劃隨機試驗中事件A的 發(fā)生 的可能性大小的數值，如果滿足上述三條性質，就稱為事件的概率.第28頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四由上述三條基本性質還可以推出： 引例三返回第29頁

14、，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四二、概率的運算公式加法公式由概率的性質知道，若事件A和B互不相容，即 則 AB第30頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四事件 時，上式就不成立了. AB而有該公式稱為概率的加法公式第31頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四加法公式可推廣到有限個事件至少有一個發(fā)生的情形，如三個事件 的并的加法公式為：引例四返回第32頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.3條件概率一、條件概率與乘法公式1.條件概率2.乘法公式二、全概率公式與貝葉斯(Bayes )公式1.全概率公式2

15、.貝葉斯公式 補充點練習題返回第33頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四一、條件概率與乘法公式一般地，把“在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率”稱為條件概率，記作，讀作“在條件B下，事件A的概率”.同理AB1.條件概率引例五返回第34頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.乘法公式由條件概率的一般公式,得 上述公式稱為概率的乘法公式.第35頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四概率的乘法公式可推廣到有限個事件交的情形.設有n個事件 滿足 則 當n=3時引例七返回第36頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，

16、星期四二、全概率公式與貝葉斯(Bayes )公式1.全概率公式設 是聯(lián)系于一隨機試驗的完備事件組.任一事件 可表示成 第37頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四由前面已學公式得該公式稱為全概率公式引例八返回第38頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.貝葉斯(Bayes)公式設 是樣本空間的一個完備事件組,A是任一事件,且 ,則該公式稱為貝葉斯公式.在使用該公式時往往先利用全概率公式求出引例九返回第39頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四補充點對于全概率公式和貝葉斯公式.可以直觀地進行如下理解:把事件A看成“結果”,把 看

17、成導致這一結果的“原因”,把全概率公式看成為“由原因推結果”,把貝葉斯公式看成“由結果找原因”。兩者正好相反.返回第40頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.4事件的獨立性1.事件的獨立性 引例十 練習題2.N重貝努利試驗 引例十一 練習題返回第41頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.事件的獨立性一般地，設事件A,B是一隨機試驗的兩個事件,且 ，若 ，則稱事件B對事件A是獨立的，否則稱為不獨立的.結論第42頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四結論由定義可推出下列結論：(1)若事件A獨立于事件B，則事件B也獨立于事件A

18、,即兩事件的獨立性是相互的.(2)若事件A與事件B相互獨立，則三對事件 與 ，A 與 ， 與 B也都是相互獨立的.(3)事件A與B相互獨立的充要條件是，兩事件相互獨立的直觀意義是一事件發(fā)生的概率與另一事件是否發(fā)生互不影響.推廣第43頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四推廣事件的獨立性可推廣到有限個事件的情形:若事件組 中的任意k 個事件交的概率等于它們的概率積，則稱事件組 是相互獨立的，也就是說任一事件的概率不受其他事件發(fā)生與否的影響.例如:三個事件A,B,C若滿足等式 則稱事件A,B,C是相互獨立的 注意點第44頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星

19、期四注意點事件組相互獨立，其中任意兩事件相互獨立；反之卻不一定正確.在實際問題中，兩事件是否獨立，并不總是用定義或充要條件來檢驗的，而可以根據具體情況來分析、判斷.只要事件之間沒有明顯的聯(lián)系，我們就可以認為它們是相互獨立的.返回第45頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.N重貝努利試驗如果隨機試驗只出現兩種結果 ,則稱其為伯努里試驗 .在相同的條件下,對同一試驗重復進行n次,如果每次試驗的結果互不影響,則稱這n次重復試驗為n次獨立試驗.n次獨立的伯努里試驗稱為n重伯努里試驗.對于n重貝努利試驗,我們最關心的是在n次獨立重復試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率定理第46頁，

20、共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四定理在n重貝努利試驗中,設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p( ) ,則事件A恰好發(fā)生k次的概率若記則 ,由于 恰好是展開式的k+1項,所以稱此公式為二項概率公式返回第47頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四第二章:隨機變量及其概率分布2.1離散型隨機變量2.2隨機變量的分布函數2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度2.4隨機變量函數的概率分布自測題二 返回 第48頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.1離散型隨機變量1.隨機變量的概念2.離散型分布變量及其分布律3.0-1分布與二項分布 0-1分布

21、 二項分布 泊松分布 練習題2.1 返回第49頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.隨機變量的概念為便于用數學的形式來描述、解釋和論證隨機試驗的某種規(guī)律性，我們需要按照研究的目的將試驗中的基本事件與實數集建立某種聯(lián)系.例如:某人向一飛機射擊，觀察其是否擊中飛機， 則基本事件A=擊中,B=未擊中構成一個完備事件組.為了便于研究,我們引進變量X,規(guī)定X取1,0分別對應“擊中”,“未擊中”事件.從而對事件A,B的研究就轉化為對實數X的研究.定義第50頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四定義一般地，按研究隨機試驗的某種規(guī)律性要求，建立樣本空間與實數集的

22、某個子集的某種對應關系，使每個基本事件都有一個確定的實數與之對應.與全體基本事件相對應的數組成的集合記為M，用一個變量在M中（或在M的某個范圍內）的取值來表示和變量的取值所對應的基本事件組成的事件，我們把這樣的變量稱為隨機變量，M稱為隨機變量的取值范圍. 隨機變量通常用X,Y,Z等表示. 引例2.1返回第51頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.離散型分布變量及其分布律若隨機變量的取值可以一一列舉（有限個或無窮可列個）出來，則稱這類隨機變量為離散型隨機變量.對于離散型隨機變量,我們需要知道它的所有可能值及取每一個可能值的概率. 分布律第52頁，共189頁，2022年，

23、5月20日，23點28分，星期四分布律設X為離散型隨機變量,可能取值為且 則稱 為X的分布律(或分布列)分布律常用表格表示,這樣更為直觀.X P性質第53頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四分布律性質隨機變量的分布律具有下列性質：(1)(2)引例2.2和練習題返回反之，若一數列具有以上性質，就可以看作為某一隨機變量的分布律第54頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四0-1分布若隨機變量X只取兩個可能值0,1,且則稱X服從0-1分布.X的分布律為:其中010-1分布常用于隨機試驗只考慮兩種結果,比如拋硬幣,正面與反面;投籃,中與不中等等.返回第55頁

24、，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四二項分布一般地，在n重貝努里試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為p，X表示在n次試驗中A發(fā)生的次數，則X的分布列為 其中則稱X服從參數為n,p的二項分布，簡記為二項分布是一種常用的分布。名稱由來（引例2.3）引例2.4泊松定理第56頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四泊松定理設是 常數，n是任意正整數，且則對于任意取定的非負整數k，有由泊松定理，我們可得，當n很大，p很小時，有近似公式注：在實際的計算中，當 時，計算用上述公式效果頗佳！其中返回第57頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四泊

25、松分布如果隨機變量的分布律為 ，則稱X服從參數 的泊松分布，記作 .服從泊松分布的隨機變量X的概率值可在附錄的泊松分布表中查出.引例2.5返回第58頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.2隨機變量的分布函數 1。 分布函數的概念 2。 分布函數的性質返回第59頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1。分布函數的概念設X為隨機變量，稱函數為X的分布函數。注意：隨機變量的分布函數的定義適應于任意的隨機變量。 離散型的分布函數第60頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四離散型的分布函數由于 ，由概率的性質知， 即:其中求和是對所有

26、滿足 時相應的概率 求和引例2.6返回第61頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四分布函數的性質(1) 是不減函數,即對于任意的 有 即(4) 右連續(xù),即已知X的分布函數F(x),我們可以得出下列事件的概率. 結論第62頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四結論(1)(2)(3)引例2.7返回第63頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度1。連續(xù)型隨機變量及其概率密度2。均勻分布與指數分布 均勻分布 指數分布3。正態(tài)分布 分位數練習題2.3返回第64頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28

27、分，星期四1。連續(xù)型隨機變量及其概率密度若對于隨機變量X的分布函數F(x)，存在非負函數f(x)，使得對于任意的實數x，有則稱X為連續(xù)型隨機變量，并稱f(x)為X的概率密度函數，簡稱概率密度（或密度函數）。 連續(xù)型隨機變量在某一點的概率第65頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四連續(xù)型隨機變量在某一點的概率對于任意的實數x， ，有當f(x)可積時，F(x)為連續(xù)函數，令則 即連續(xù)型隨機變量在某一點的概率為零.性質第66頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四性質（1）（2）（3）（4）設x為f(x)的連續(xù)點，則 存在，且另有若(1)(2)兩個性質符合就

28、是連續(xù)型隨機變量的概率密度注，性質(3)離散型沒有幾何意義第67頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四幾何意義如圖yx0abf(x)圖中陰影部分面積代表了該區(qū)域的概率。引例2.8返回第68頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2。均勻分布與指數分布定義:若隨機變量X的概率密度為則稱X服從區(qū)間 上的均勻分布,簡記為其分布函數為:直觀圖形第69頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四幾何圖形如圖f(x)0 xabF(x)0abx另有計算公式第70頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四另有公式如果 是 的一個子區(qū)間

29、（即 ），則有上式表明X在 任一子區(qū)間取值的概率與區(qū)間的長度成正比，而與子區(qū)間的位置無關，也就是說，X在區(qū)間 上的概率分布是均勻的，因此叫做均勻分布.使用這一公式計算均勻分布的概率很方便.引例2.9返回第71頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四指數分布定義:若隨機變量X的概率密度為其中 為常數,則稱X服從參數為 的指數分布.簡記為其分布函數為指數分布有著廣泛的應用，常用來做各種“壽命”分布的近似，例如動物的壽命，電話的通話時間，隨機服務系統(tǒng)中的服務時間等，都通常假定服從指數分布. 引例2.10返回第72頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四3。正態(tài)

30、分布定義:若隨機變量X的概率密度為其中 為常數且 ，則稱X服從參數為 的正態(tài)分布，記作 .正態(tài)分布的密度函數的圖像稱為正態(tài)曲線 幾何圖形第73頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四幾何圖形如圖f(x)x0圖形特點及正態(tài)分布曲線的性質(1)曲線關于 對稱(2)當 時，取到最大值(3)參數 決定正態(tài)曲線的形狀， 較大曲線扁平， 較小曲線狹高. 分布函數第74頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四分布函數設 ，則X的分布函數為特別地，當 時的正態(tài)分布 ，稱為標準的正態(tài)分布。其密度函數為其分布函數為 標準正態(tài)分布密度函數圖形第75頁，共189頁，2022年，

31、5月20日，23點28分，星期四標準正態(tài)分布密度函數圖形如圖0圖形關于 軸對稱，且在 取得最大值標準正態(tài)分布函數 的性質(1)(2)計算公式第76頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四計算公式標準正態(tài)分布函數的值可以直接查表得。一般的正態(tài)分布函數 與標準的正態(tài)分布函數 的關系，設引例2.11引例2.12第77頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四分位數（臨界值）定義 標準正態(tài)分布的臨界值記為 ， 滿足 則稱點 為標準正態(tài)分布的分位數（或臨界值） 由 ，查標準正態(tài)分布表求 .引例2.13返回第78頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星

32、期四2.4隨機變量函數的概率分布1.離散型隨機變量函數的概率分布 練習題2.4（1）2.連續(xù)型隨機變量函數的概率分布 練習題2.4（2）返回第79頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.離散型隨機變量函數的概率分布設g(x)是一給定的連續(xù)函數,稱 為隨機變量X的一個函數,顯然Y也是一個隨機變量.當X取值x時,Y取值y=g(x).重點在于討論如何由已知的隨機變量X的概率分布,去求函數 的概率分布.引例2.14結論第80頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四結論離散型隨機變量X的取值可列 ,則Y的取值也是可列的 ,因此Y也是個離散型隨機變量.但是 中可

33、能有相等的情況.當 有相等的情況時,應把 相等的那些 所對應的概率相加,作為Y取值的概率.注：在最后所得分布律，按Y的各取值的自然順序重新排列一下返回第81頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.連續(xù)型隨機變量函數的概率分布設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數為設 是一嚴格單調的可導函數，其值域為 且 。記 為 的反函數，則的概率密度特別地，當 時引例2.15返回第82頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四第三章:多維隨機變量及其概率分布3.1多維隨機變量的概念3.2隨機變量的獨立性3.3兩個隨機變量的函數的分布 自測題3返回第83頁，共189頁，20

34、22年，5月20日，23點28分，星期四3.1多維隨機變量的概念1。二維隨機變量及其分布函數2。二維離散型隨機變量 練習題3.1（1）3。二維連續(xù)型隨機變量的概率密度和邊緣概率密度 練習題3.1（2）返回第84頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1。二維隨機變量及其分布函數定義 n個隨機變量 ，構成的整體 稱為一個n維隨機變量或n維隨機向量， 稱為X的第i個分量。定義 設 為一個二維隨機變量，記稱二元函數 為X與Y的聯(lián)合分布函數或稱為 的分布函數。續(xù)第85頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四（續(xù)）二維隨機變量 的兩個分量X與Y各自的分布函數分別稱

35、為二維隨機變量 關于X與關于Y的邊緣分布函數，記為 與 。 邊緣分布函數與聯(lián)合分布函數的關系。 幾何圖形第86頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四幾何圖形如圖xyoDD為分布函數 在 處的函數值D為以 為頂點，位于該點左下方的無窮矩形xy0矩形域為落在區(qū)域內的概率。計算公式第87頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四計算公式落在矩形域內概率為分布函數 的性質(1) 是變量x或y的不減函數(2)(3) 關于x和關于y均右連續(xù)(4)對任意固定的 ， 有返回第88頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2。二維離散型隨機變量定義 若二

36、維隨機變量 只取有限多對或可列無窮多對 ，則稱 為二維離散隨機變量。設二維隨機變量 的所有可能取值為 ， 在各個可能取值的概率為：分布律性質第89頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四性質 的分布律具有下列性質：(1)(2)由 的分布律可求得它的分布數 ，引例3.1引例3.2邊緣分布律第90頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四邊緣分布律定義 對于離散型隨機變量（X,Y），分量X或Y的分布律稱為（X,Y）關于X或Y的邊緣分布律，記為 或可由（X,Y）的分布律求出。 性質第91頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四性質邊緣分布律具

37、有下列性質：（1）（2）返回第92頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四3。二維連續(xù)型隨機變量的概率密度和邊緣概率密度定義：設二維隨機變量 的分布函數為若存在非負可積函數為 ，使得對于任意的實數x,y都有則稱 為二維連續(xù)型隨機變量，并稱為 的概率密度函數或X與Y的聯(lián)合密度函數。性質第93頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四性質按定義：概率密度函數 有以下性質：（1）（2）分布函數與密度函數的關系若 在 處連續(xù)，則有概率計算公式第94頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四概率計算公式如果已知 的概率密度 ，則在平面區(qū)域D內取值的

38、概率為：幾何意義：隨機點 落在平面區(qū)域D上的概率等于以平面區(qū)域D為底，以曲面 為頂的曲頂柱體的體積。引例3.3兩種重要的分布第95頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四兩種重要的分布1。均勻分布 定義 2。二維正態(tài)分布 定義 連續(xù)型隨機變量的邊緣分布返回第96頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四均勻分布定義設D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S0，如果二維隨機變量（X,Y）的概率密度為則稱（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱（X,Y）在D上服從均勻分布），記作 特殊情形第97頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四特殊情形（1

39、）D為矩形區(qū)域， 此時（2）D為圓形區(qū)域，如（X,Y）在以原點為圓心，R為半徑的圓域上服從均勻分布，則（X,Y） 的概率密度為 返回第98頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四二維正態(tài)分布定義若二維隨機變量（X,Y）概率密度為：其中 都是常數，且則稱（X,Y）服從二維正態(tài)分布，記作返回第99頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四連續(xù)型隨機變量（X,Y）的邊緣分布定義：對連續(xù)型隨機變量（X,Y），分量X或Y的概率密度稱為（X,Y）關于X或Y的邊緣概率密度，簡稱邊緣密度，記為 或 。邊緣密度可由概率密度 求出： 引例3.4返回第100頁，共189頁，20

40、22年，5月20日，23點28分，星期四3.2隨機變量的獨立性1。兩個隨機變量的獨立性 定義2。二維離散型隨機變量的獨立性3。二維連續(xù)型隨機變量的獨立性 小結論4。n維隨機變量 練習題3.2返回第101頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四定義設 ， 和 分別是二維隨機變量（X,Y）的分布函數和兩個邊緣分布函數，若對于任意的實數x,y有則稱X與Y相互獨立。該式（）等價于任意的實數x,y有 （3.2.1）引例3.5返回第102頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2。二維離散型隨機變量的獨立性設(X,Y)為離散型隨機變量，其分布律為邊緣分布律為X與Y相

41、互獨立的充要條件為，對一切i,j有 引例3.6返回第103頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四3。二維連續(xù)型隨機變量的獨立性設二維連續(xù)型隨機變量（X,Y）的概率密度為f(x,y)， ， 分別為（X,Y）的關于X與Y的邊緣概率密度，則X與Y相互獨立的充要條件是：等式注：上式幾乎處處成立引例3.7返回第104頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四小結論一般情況下：聯(lián)合分布可確定邊緣分布，但是邊緣分布不能確定聯(lián)合分布；但是由隨機變量相互獨立的定義及充要條件可知：當X與Y相互獨立時，聯(lián)合分布可由邊緣分布確定。另有：當X與Y相互獨立，那么它們各自的函數也互相

42、獨立返回第105頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四4。n維隨機變量定義：設 的分布函數為其概率密度為 ，則函數和分別稱為 關于 的邊緣概率分布函數和邊緣概率密度。n維隨機變量相互獨立第106頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四n維隨機變量相互獨立定義：若對于一切 ，有即則稱 是相互獨立的返回第107頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四3.3兩個隨機變量的函數的分布1。離散型隨機變量的函數的分布 引例3.8 練習題3.3(1)2。兩個獨立連續(xù)型隨機變量之和的概率分布 引例3.9返回第108頁，共189頁，2022年，5月2

43、0日，23點28分，星期四2。兩個獨立連續(xù)型隨機變量之和的概率分布設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量,其概率密度為f(x,y),關于X,Y的邊緣概率密度分別為 ,設X,Y相互獨立,求Z=X+Y的概率密度.因為X,Y相互獨立,所以Z=X+Y的分布函數為:概率密度第109頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四概率密度令得Z的概率密度為同理可得上兩式稱為獨立隨機變量和的卷積公式.返回第110頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四第四章:隨機變量的數字特征4.1 隨機變量的期望4.2 方差4.3 協(xié)方差與相關系數自測題4返回第111頁，共189頁，2022年，

44、5月20日，23點28分，星期四4.1 隨機變量的期望1。離散型隨機變量的期望 幾個重要的離散型隨機變量的數學期望 離散型隨機變量函數的數學期望2。連續(xù)型隨機變量的期望 幾個重要的連續(xù)型隨機變量的數學期望 連續(xù)型隨機變量函數的數學期望3。二維隨機變量函數的期望4。期望的性質返回第112頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1。離散型隨機變量的期望先看一例子 引例4.1定義：設離散型隨機變量X的分布律為：若級數 絕對收斂（即 收斂），則定義X的數學期望（簡稱均值或期望）為X的取值可以是有限多個，也可以是可列多個引例4.2第113頁，共189頁，2022年，5月20日，23點

45、28分，星期四幾個重要的離散型隨機變量的數學期望1。兩點分布 X 0 1 P 1p p 2。二項分布 XB(n,p)3。泊松分布 XP()E(X)=pE(X)=npE(X)=返回第114頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四離散型隨機變量函數的數學期望定義：設離散型隨機變量X的分布律為令Yg(X)，若級數 絕對收斂，則隨機變量Y的數學期望為：引例4.3返回第115頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2。連續(xù)型隨機變量的期望定義:設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),若廣義積分 絕對收斂,則稱該積分為隨機變量X的數學期望(簡稱期望或均值),記為 ,

46、即引例4.4返回第116頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四幾個重要的連續(xù)型隨機變量的數學期望1.均勻分布2.指數分布3.正態(tài)分布 返回第117頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四連續(xù)型隨機變量函數的數學期望定義:設X為連續(xù)型隨機變量,其概率密度函數為 ,又隨機變量 ,當 收斂時,有引例4.5返回第118頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四3.二維隨機變量函數的期望定理（1）若（X,Y）為離散型隨機變量，其分布律為 ，邊緣分布律為則 續(xù)（2）第119頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四續(xù)（2）（2）

47、若（X,Y）為二維連續(xù)型隨機變量， ， 分別為（X,Y）概率密度與邊緣概率密度,則二維連續(xù)函數的數學期望第120頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四二維連續(xù)函數的數學期望定理：設g(X,Y)為連續(xù)函數，對于二維隨機變量（X,Y）的函數g(X,Y)（1）若（X,Y）為離散型隨機變量，級數 收斂，則（2）若（X,Y）為連續(xù)型隨機變量，且積分 收斂，則引例4.6返回第121頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四4。期望的性質性質1 常數的期望等于這個常數。 即 （C為常數）性質2 常數與隨機變量X的乘積的期望等于該常 數與隨機變量X的期望的乘積， 即性質

48、3 隨機變量和的期望等于隨機變量期望之 和， 即性質續(xù)第122頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四性質續(xù)性質3可推廣如下：類似可推廣到n個隨機變量性質4 兩個互相獨立的隨機變量乘積的期望等 于期望的乘積，即若X,Y是互相獨立的隨機 變量，則性質4可推廣到n個隨機變量引例4.7返回第123頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四4.2 方 差1。方差的概念2。常見隨機變量的方差3。方差的性質引例4.9練習題4.2返回第124頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1。方差的概念定義：設隨機變量 的期望存在，則稱 為隨機變量X的方差，

49、記為D（X） 即若X為離散型隨機變量，則若X為連續(xù)型隨機變量，則稱 為X的標準差或（均方差） 簡便計算公式第125頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四簡便計算公式計算方差常用如下公式：若X為離散型隨機變量，則若X為連續(xù)型隨機變量，則引例4.8返回第126頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2。常見隨機變量的方差（1）01分布（2）二項分布（3）泊松分布（4）均勻分布（5）指數分布（6）正態(tài)分布歸納表格返回第127頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四3。方差的性質性質1 常數的方差等于零；隨機變量與常數之 和的方差等于隨機變

50、量的方差。即性質2 常數與隨機變量乘積的方差等于這個常 數的平方與隨機變量方差的乘積。即性質3 兩個獨立隨機變量之和的方差等于它們 方差之和即 性質3可推廣到n個相互獨立的隨機變量。返回第128頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四4.3 協(xié)方差與相關系數1.協(xié)方差2.相關系數 引例4.123.矩、協(xié)方差矩陣返回第129頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.協(xié)方差定義 設二維隨機變量(X,Y),且E(X),E(Y)存在,如果E(X-E(X)(Y-E(Y)存在,則稱此值為X與Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)= E(X-E(X)

51、(Y-E(Y)離散型計算公式連續(xù)型計算公式另有計算公式第130頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四計算公式有如下計算公式特別地,取X=Y時有引例4.10協(xié)方差的性質第131頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四協(xié)方差的性質（1）（2）（3）（4）若X,Y互相獨立，則反之若 ，則X,Y一定不互相獨立另需注意， 是X與Y相互獨立的必要非充分條件。返回第132頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.相關系數定義：若 ， 稱 為X與Y的相關系數，記為即引例4.11相關系數的性質第133頁，共189頁，2022年，5月20日，23點2

52、8分，星期四相關系數的性質（1）（2） 的充分必要條件是存在常數a,b使定義 若相關系數 則稱X與Y不相關注：兩個隨機變量的相關系數是兩個隨機變量間線性聯(lián)系密切程度的度量。 越接近1，X與Y之間的線性關系越密切。注：易得X與Y不相關的充要條件是 。特別地：二維隨機變量服從正態(tài)分布，不相關的充要條件是兩者互相獨立返回第134頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四3.矩、協(xié)方差矩陣定義：設X為一隨機變量，k為正整數，如果 存在，則稱 為X的k階原點矩，記為 ，即 如果 存在，則稱 為X的k階中心矩，記為 ，即顯然：一階原點矩就是數學期望，二階中心矩就是方差。定義續(xù)第135頁，

53、共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四定義續(xù)定義：設X,Y為隨機變量，若存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點矩，若 存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。協(xié)方差Cov(X,Y)就是X,Y的二階混合中心矩二維協(xié)方差矩陣第136頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四二維協(xié)方差矩陣定義：將二維隨機變量 的4個二階中心矩排成矩陣的形式，稱此矩陣 為隨機變量 的協(xié)方差矩陣。n維隨機變量協(xié)方差矩陣第137頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四n維隨機變量協(xié)方差矩陣定義：設n維隨機變量 的二階混合中心矩存在，則稱矩陣 為n為隨機變量的協(xié)方差

54、矩陣。注：因為 所以，協(xié)方差矩陣的對角線元素即為 的方差。引例4.13返回第138頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四第五章:大數定律及中心極限定理5.1 切比雪夫(Chebyshev)不等式 練習題5.15.2 大數定律5.3 中心極限定理 練習題5.3自測題5返回第139頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四5.1 切比雪夫(Chebyshev)不等式定理:(切比雪夫等式)設隨機變量X的期望E(X)及方差D(X)存在,則對任意的小正數 ,有或不等式的含義:當 很小時,區(qū)間也很小,不等式用于估計X落入上述區(qū)間的概率.當D(X)很小時, X落入上述

55、區(qū)間的概率很大,落入區(qū)間外的概率很小.引例5.1返回第140頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四5.2 大數定律1.貝努利大數定律2.獨立同分布隨機變量序列的切比雪夫大數定律返回第141頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.貝努利大數定律定理：設m是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數，p是事件A的概率，則對任意正數 ，有證明略。該定律表明：當n充分大時，事件A發(fā)生的頻率與概率p的絕對值偏差小于任意給定的正數 這一事件的概率可以任意接近于1.也正是“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義。返回第142頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，

56、星期四2.獨立同分布隨機變量序列的切比雪夫大數定律若隨機變量序列 是相互獨立的，且所有的 又具有相同的分布，則稱 是獨立同分布的隨機變量序列。定理：設 是獨立同分布的隨機變量序列， ， 均存在，則對于任意的 有 定律分析第143頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四定律分析定理說明：經過算術平均后得到的隨機變量 在統(tǒng)計上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密地聚集在它的期望附近。這正是大數定律的含義。在概率論中，大數定律是隨機現象的統(tǒng)計穩(wěn)定性的深刻描述，同時，也是數理統(tǒng)計 重要理論基礎。另：貝努利大數定律是切比雪夫大數定律的特殊情況。（ 相互獨立且服從相同的01分布）返回第1

57、44頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四5.3 中心極限定理1.獨立同分布序列的中心極限定理2.棣莫弗拉普拉斯中心極限定理返回練習題5.2第145頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.獨立同分布序列的中心極限定理定理：設 是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同的數學期望和方差 記隨機變量的分布函數為 則，對于任意實數x，有，其中 為標準正態(tài)分布函數定理分析第146頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四定理分析由該定理可得以下結論：（1）當n充分大時，獨立同分布的隨機變量之和 的分布近似于正態(tài)分布 。（2）當n充分大時，獨立

58、同分布的隨機變量的平均值 的分布近似于正態(tài)布 。引例5.2返回第147頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四2.棣莫弗拉普拉斯中心極限定理定理：設隨機變量 是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數，p是事件A發(fā)生的概率，則對于任意實數x其中q=1-p， 為標準正態(tài)分布函數。定理分析第148頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四定理分析由該定理得如下結論：（1）在貝努利試驗中，若事件A發(fā)生的概率為p，又設 為n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的頻數，當n充分大時， 近似服從正態(tài)分布 。（2）在貝努利試驗中，若事件A發(fā)生的概率為p， 為n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生

59、的頻率，則當n充分大時， 近似服從正態(tài)分布 。引例5.3返回第149頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四第六章：統(tǒng)計量及其抽樣分布6.1 引言6.2總體與樣本6.3統(tǒng)計量及其分布返回第150頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四6.1 引言前面五章的研究屬于概率論的范疇，在那里隨機變量及其概率分布全面描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，在概率論的許多問題中，概率分布通常假定為已知的，而一切計算推理均基于這個已知的分布進行。但在實際問題中，我們考察的隨機變量的概率分布往往是未知的，這就需要我們用數理統(tǒng)計的方法來解決此類實際問題。返回第151頁，共189頁，2

60、022年，5月20日，23點28分，星期四6.2總體與樣本1.總體與個體2.樣本3.樣本數據的整理與顯示返回第152頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四1.總體與個體在統(tǒng)計學中，把研究對象的全體稱為總體（或母體），而把構成總體的每一個對象稱為個體.例如，研究一批燈泡的質量時，該批燈泡的全體就構成了總體，而其中的每一個燈泡就是個體.實際問題中，從數學角度研究總體時，所關心的是它的某些數量指標，如燈泡的使用壽命（數量指標），這時該批燈泡這個總體就成了聯(lián)系于每個燈泡（個體）使用壽命數據的集合 . 續(xù)第153頁，共189頁，2022年，5月20日，23點28分，星期四續(xù)若拋開實