浙江省2019高考數(shù)學(xué)優(yōu)編增分練解答題突破練二立體幾何

1、(二)立體幾何1(2018浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)如圖，四棱錐SABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱SB垂直于底面求證：平面SBD平面SAC；若SA與平面SCD所成的角為30，求SB的長證明連結(jié)AC，BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以ACBD.又因?yàn)镾B底面ABCD，所以ACSB，因?yàn)锽DSBB，BD，SB?平面SBD，所以AC平面SBD.又因?yàn)?2)解AC?平面SAC，所以平面將四棱錐補(bǔ)形成正四棱柱SAC平面SBD.ABCDASCD，連結(jié)AD，作AEAD，垂足為點(diǎn)E，連結(jié)SE.由SACD可知，平面SCD即為平面SCDA.因?yàn)镃D側(cè)面ADDA，AE?側(cè)面ADDA，所以CDAE，又因?yàn)锳E

2、AD，ADCDD，AD，CD?平面SCD，所以AE平面SCD，于是ASE即為SA與平面SCD所成的角設(shè)SBx，在RtABS中，SA1x2，x在RtDAA中，AE1x2.因?yàn)锳SE30，所以1x22x2，1x解得x1，即SB的長為1.2(2018浙江省金華十校模擬)如圖，在幾何體中，90，平面ABCDECDAEEACEACD平面ABC，CD2EA2，ABAC2，BC23，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)證明：EF平面ABC；求直線AB與平面BDE所成角的正弦值證明取BC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，AG，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，CD2EA，CDAE，1FG2CDEA，且FGAE，四邊形AGFE是平行四邊形，EFAG，EF?平面AB

3、C，AG?平面ABC，EF平面ABC.(2)解EAC90，平面EACD平面ABC，且平面EACD平面ABCAC，EA?平面EACD，EA平面ABC，由(1)知FGAE，F(xiàn)G平面ABC，又ABAC，G為BC的中點(diǎn)，AGBC，如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GA，GB，GF所在直線為x，y，z軸成立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0，3，0)，D(0，3，2)，E(1,0,1)，3，1)，AB(1，3，0)，BD(0，23，2)，BE(1設(shè)平面的法向量為(x，)，BDEnyz0，z30，則即x3yz0，nBE0，令y1，得n(0,1，3)，直線AB與平面BDE所成角的正弦值為|3ABn4.|A

4、B|n|3在三棱錐DABC中，DADBDC，D在底面ABC上的射影為E，ABBC，DFAB于F.求證：平面ABD平面DEF；若ADDC，AC4，BAC60，求直線BE與平面DAB所成角的正弦值證明由題意知DE平面ABC，所以ABDE，又ABDF，且DEDFD，所以AB平面DEF，又AB?平面ABD，所以平面ABD平面DEF.解方法一由DADBDC，知EAEBEC，所以E是ABC的外心又ABBC，所以E為AC的中點(diǎn)，如下圖過E作EHDF于H，連結(jié)BH，則由(1)知EH平面DAB，所以EBH即為BE與平面DAB所成的角由AC4，BAC60，得ABAEBE2，所以EF3，又DE2，2223所以DFD

5、EEF7，EH，7EH21所以sinEBHBE7.方法二如圖建系，則A(0，2，0)，D(0,0,2)，B(3，1,0)，所以DA(0，2，2)，3，1，2)DB(設(shè)平面的法向量為(x，)，DABnyznDA0，由nDB0，2y2z0，得3xy2z0，取z1，得n3，1，1.3設(shè)EB與n的夾角為，21，則cosEBn2277|EB|n|3所以BE與平面DAB所成角的正弦值為217.4如圖，在矩形ABCD中，已知AB2，AD4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE1，BF3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點(diǎn)B在平面CDEF上的射影H在直線DE上求證：CDBE；求線段BH的長度；求直線AF與平面EF

6、CD所成角的正弦值證明BH平面CDEF，BHCD，又CDDE，BHDEH，BH，DE?平面DBE，CD平面DBE，CDBE.(2)解方法一設(shè)BHh，EHk，過F作FG垂直ED于點(diǎn)G，線段BE，BF在翻折過程中長度不變，依據(jù)勾股定理得222BEBHEH，222222，BFBHFHBHFGGH5h2k2，h2，即解得922h22k2，k1，線段BH的長度為2.方法二如圖，過點(diǎn)E作，過點(diǎn)E作平面，ERDCESEFCD以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為x，z軸成立空間直角坐標(biāo)系，EREDESy設(shè)點(diǎn)B(0，y，z)(y0，z0)，因?yàn)?2,2,0)，5，3，F(xiàn)BEBFy2z25，4y22z29，解得y

7、1，于是B(0,1,2)，z2，線段的長度為2.BH(3)解方法一延伸BA交EF于點(diǎn)M，1AEBFMAMB13，點(diǎn)A到平面EFCD的距離為點(diǎn)B到平面EFCD距離的3，2點(diǎn)A到平面EFCD的距離為3，而AF13，故直線AF與平面EFCD所成角的正弦值為21339.方法二由(2)，方法二知FB(2，1,2)1212故EA3FB3，3，3，872FAFEEA，333設(shè)平面EFCD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，直線AF與平面EFCD所成角的大小為，213則sin|FAn|.39|FA|n|在如下圖的幾何體中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且ACBCBD2AE，M是AB的中點(diǎn)求證：CMEM

8、；求CM與平面CDE所成的角方法一(1)證明因?yàn)锳CBC，M是AB的中點(diǎn)，所以CMAB.又EA平面ABC，CM?平面ABC，所以EACM，因?yàn)锳BEAA，AB，EA?平面ABDE，所以CM平面ABDE，又因?yàn)镋M?平面ABDE，所以CMEM.(2)解過點(diǎn)M作MH平面CDE，垂足為H，連結(jié)CH并延伸交ED于點(diǎn)F，連結(jié)MF，MD，F(xiàn)CM是直線CM和平面CDE所成的角因?yàn)镸H平面CDE，ED?平面CDE，所以MHED，又因?yàn)镃M平面EDM，ED?平面EDM，所以CMED，因?yàn)镸HCMM，MH，CM?平面CMF，所以ED平面CMF，因?yàn)镸F?平面CMF，所以EDMF.設(shè)EAa，BDBCAC2a，在直角

9、梯形ABDE中，22，是AB的中點(diǎn)，ABaM所以DE3a，EM3a，MD6a，222所以EMMDED，所以是直角三角形，此中90，EMDEMD所以EMMDa.2MFDE在RtCMF中，tanFCMMF1，MC又因?yàn)镕CM(0，90)，所以FCM45，故CM與平面CDE所成的角是45.方法二如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別作為x軸和y軸，過點(diǎn)作與平面CACBCABC垂直的直線為z軸，成立直角坐標(biāo)系，設(shè)EAa，則(2a,0,0)，(0,20)，(20，)，(0,22)，(，0)ABa,Ea,aDa,aMaa,(1)證明，故EMCM.因?yàn)镋M(a，a，a)，CM(a，a,0)，所以EMCM0解設(shè)

10、向量n(1，y0，z0)為平面CDE的一個(gè)法向量，則nCE，nCD，即nCE0，nCD0.a,2a)，因?yàn)镃E(2a,0，a)，CD(0,22aaz0，y2，所以0解得0z02，2ay02az00，即n(1,2，2)，2CMncosn，CM|2，CMn因?yàn)閚，0，180，所以n，45.CMCM45，所以直線CM與平面直線CM與平面CDE所成的角是n與CM夾角的余角，所以CDE所成的角是45.如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.求證：BF平面ACFD；求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值(1)證明延伸AD，BE，CF訂交于一點(diǎn)K，如下圖，因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC，且ACBC，所