附錄24 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程

1、附錄24 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程 FM(,)x建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 一、以焦點F為極點，以對稱軸為極軸的極坐標(biāo)系： 二、以直角坐標(biāo)系的x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系： 注1：橢圓(雙曲線)的焦參數(shù) 注2：若AB為焦點弦，則即普通方程與極坐標(biāo)方程的互化空間坐標(biāo)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)直角坐標(biāo)柱坐標(biāo)球坐標(biāo)(,)(x,y)(x,y,z)平面坐標(biāo)極坐標(biāo)常見的坐標(biāo)系(,z)(r,)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；引一條射線OX，再選定一個長度單位和角度單位及它的這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。XO1.概念 叫做極軸；正方向。對于平面上任意任意一點M極坐標(biāo)的規(guī)定：用表示線段OM的長

2、度，叫做點M的極徑，叫做點M的極角M用表示從OX到OM的角度有序數(shù)對(,)就叫做M的極坐標(biāo)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系的分類常用極坐標(biāo)系：狹義極坐標(biāo)系：廣義極坐標(biāo)系： 0 ,R 0 ,0，2) ,R注 負(fù)極徑的定義：先正后對稱注 極坐標(biāo)的多值性與單值性：即:在常用極坐標(biāo)系中，同一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)個 :在狹義極坐標(biāo)系中，除極點(0,)外，其他點的極坐標(biāo)是唯一的 :在廣義極坐標(biāo)系中，同一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)個 即極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化互化的三個前提條件：互化方法：（2）數(shù)法：（1）形法：（1）極點與直角坐標(biāo)系的原點重合（2）極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合（3）兩種坐標(biāo)系的單位長度相同類似于輔助角公式中，用

3、形法求振幅及輔助角圖像xl特殊直線的極坐標(biāo)方程方程O0直線 和xOlxOlOlxOlx圖像方程特殊圓的極坐標(biāo)方程OxOxOxOxOx求極坐標(biāo)方程常用的方法 2.方程法：1.公式法：知型巧用公式法 建系設(shè)式求系數(shù)未知型狀方程法 建系設(shè)需列方程 間接法：先求出普通方程，再轉(zhuǎn)成為極坐標(biāo)方程 直接法：一般地，與正余弦定理有關(guān) 方程法公式法間接法直接法附錄24 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程 FM(,)x建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 一、以焦點F為極點，以對稱軸為極軸的極坐標(biāo)系： 二、以直角坐標(biāo)系的x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系： 注1：橢圓(雙曲線)的焦參數(shù) 注2：若AB為焦點弦，則即普通方程

4、與極坐標(biāo)方程的互化KABFx建立如圖所示的極坐標(biāo)系，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得 其中 l 是準(zhǔn)線，整理得圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為： 而 即 一、以焦點F為極點，以對稱軸為極軸的極坐標(biāo)系： FAx建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 一、以焦點F為極點，以對稱軸為極軸的極坐標(biāo)系： 注1：橢圓(雙曲線)的焦參數(shù) 注2：若AB為焦點弦，則BFAx建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 注2：若AB為焦點弦，則B設(shè) ,故(1)(1983年全國)如圖,若橢圓的|A1A2|=6,焦距|F1F2|=過橢圓焦點F1作一直線設(shè)F2F1M=（0）|MN|等于橢圓短軸的長？F1F2A1A

5、2MN法1：直角坐標(biāo)系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標(biāo)系參數(shù)方程+設(shè)而不求 交橢圓于兩點M，N當(dāng)取什么值時，法3：極坐標(biāo)方程練習(xí)1.圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 則橢圓的極坐標(biāo)方程為故法3：極坐標(biāo)方程由題意得,離心率為 ,建立如圖所示的極坐標(biāo)系XF1F2MN得 又因 .故焦點到準(zhǔn)線距離(2)(2014年新課標(biāo))設(shè)F為拋物線A. B.6 C.12 D.的焦點，過F且傾斜角為300的直線交于C于A，B兩點，則|AB|=法1：直角坐標(biāo)系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標(biāo)系參數(shù)方程+設(shè)而不求 法3：極坐標(biāo)方程若AB為焦點弦，則FAxB由題意得離心率 e=1 ,焦參數(shù)=12的離心率為過右焦點F且斜率為 k

6、 的直線與C相交于A，B兩點，則k=A.1 B. C. D.2(3)(2010年全國)已知橢圓C：若因F1F2AB法1：直角坐標(biāo)系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標(biāo)系參數(shù)方程+設(shè)而不求 法3：極坐標(biāo)方程析：由對稱性，不妨：將右焦點看成是左焦點 故(4)(2007年重慶)過雙曲線為1050的直線，交雙曲線于PQ兩點，則|FP|FQ|=_的右焦點F作傾斜角法1：直角坐標(biāo)系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標(biāo)系參數(shù)方程+設(shè)而不求 法3：極坐標(biāo)方程FPxQ1050由題意得,離心率為 ,建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則雙曲線的極坐標(biāo)方程為焦參數(shù)為故(5)(2007年重慶簡化)如圖橢圓C：P1，P2，P3是橢圓上

7、任取的三個不同點且證明：為定值的左焦點為FxFyP1P2P3證明:易得由題意得,離心率為 ,建立的極坐標(biāo)系,則C的極坐標(biāo)方程為焦參數(shù)為設(shè) 故 (6)(2012年上海簡化)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知若M、N分別是 C1,C2上的動點,且OMON求證：O到直線MN的距離是定值.雙曲線 ，橢圓析：設(shè)在RtMNO中由用面積法得：O到直線MN的距離為=常數(shù)二、以直角坐標(biāo)系的x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系： 即普通方程與極坐標(biāo)方程的互化練習(xí)2.以直角坐標(biāo)系的x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系： MNO(6)OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.雙曲線 ，橢圓設(shè)即 ,故O到直線MN的距離為易得C1、C2的極坐標(biāo)方程

8、分別為：,將其代入C1、C2的極坐標(biāo)方程得整理得MNO證明：(7)(課本P：15 Ex6)已知橢圓的中心為O,長軸、短軸的長分別為2a,2b；A,B分別為橢圓上的兩點，且OAOB求證： 為定值求AOB面積的最大和最小值.析 ：由于點的極坐標(biāo)直接表示了：距離和角度 故涉及到長度和角度的問題 采用極坐標(biāo)系往往更簡便析 ：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則橢圓的普通方程為BA0將其化為極坐標(biāo)方程得 (7)(課本P：15 Ex6)已知橢圓OAOB求證： 為定值析 ：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系BA0將其化為極坐標(biāo)方程得 則橢圓的普通方程為故雙曲線中有定值(7)(課本P：15 Ex6)已知橢圓OAOBBA0故當(dāng)且僅當(dāng)求AOB面積的最值.析：依題意得當(dāng)且僅當(dāng)1.(2003年全國)圓錐曲線 的準(zhǔn)線方程是A. B. C. D.作業(yè)：預(yù)習(xí)：直線的參數(shù)方程2.(2003年希望杯簡化)經(jīng)過橢圓 的焦