簡(jiǎn)單的二階微分方程

1、簡(jiǎn)單的二階微分方程第1頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二一、可降階的二階微分方程解 第2頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二方程的特點(diǎn)：方程右端不顯含未知函數(shù)y.方程的解法：,則將它們代入方程得令第3頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二第4頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二第5頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二解代入原方程得 原方程通解為例 3第6頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二 例 4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂，試問該繩索在平衡狀

2、態(tài)時(shí)是怎樣的曲線分析 第7頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二 解 將此兩式相除，得 取原點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離為定值于是有建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)曲線方程為由題意得 第8頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二，兩端積分，得 將初始條件代入式，解得代入式，得再將將代入上式，并積分得將初始條件代入式，解得將代入式，解得曲線方程為第9頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二小結(jié)1.可降階的高階微分方程2.不顯含y的二階微分方程3.不顯含x的二階微分方程第10頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二思考題求微分方程 的通解.第11頁(yè)，共4

3、3頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二思考題解答第12頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二思考題解答第13頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二練 習(xí) 題第14頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二解受力分析二、二階線性微分方程第15頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二物體自由振動(dòng)的微分方程強(qiáng)迫振動(dòng)的方程對(duì)于象這樣的微分方程，我們給出如下定義:第16頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二程稱為二階線性微分方程.稱為二階線性齊次微分方程.稱為二階線性非齊次微分方程.1二階線性微分方程的定義形如

4、這樣的微分方程/第17頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二2二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)問題:第18頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二例如線性無關(guān);線性相關(guān).第19頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二特別地:例如第20頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二3二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第21頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二三、二階常系數(shù)線性微分方程形如這樣的微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如這樣的微分方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程例如是二階常系數(shù)齊次線性微分方程；是二階常系數(shù)

5、非齊次線性微分方程第22頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二1二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法將其代入上方程, 得特征方程特征根第23頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為第24頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二（2）有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第25頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二（3）有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第26頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二的特征方程是的通解第27頁(yè)，

6、共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二解的特征方程為解得故所求微分方程的通解為例1第28頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二 例2求微分方程的特解.解的特征方程為解得所求微分方程的通解為將分別代入上兩式，解得所求微分方程的特解為第29頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二解特征方程為解得故所求通解為例3第30頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.第31頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5

7、點(diǎn)56分，星期二練 習(xí) 題 第32頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)的齊次方程通解結(jié)構(gòu)兩種類型難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法第33頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二設(shè)非齊方程特解為代入原方程第34頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二綜上討論設(shè)是非齊次方程的解，第35頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征方程特征根代入方程, 得原方程通解為例1第36頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二第37頁(yè)，共43頁(yè)，

8、2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程例2對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征根原方程通解為第38頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二解特征方程例3對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征根原方程通解為第39頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二小結(jié)(待定系數(shù)法)第40頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二思考題寫出微分方程的待定特解的形式.設(shè) 的特解為設(shè) 的特解為則所求特解為特征根思考題解答第41頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二練 習(xí) 題第42頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)56分，星期二 通過本課題學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該達(dá)到： 1會(huì)求可降階的二階微分