簡單的二階微分方程

1、簡單的二階微分方程第1頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二一、可降階的二階微分方程解 第2頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二方程的特點：方程右端不顯含未知函數(shù)y.方程的解法：,則將它們代入方程得令第3頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二第4頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二第5頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二解代入原方程得 原方程通解為例 3第6頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二 例 4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂，試問該繩索在平衡狀

2、態(tài)時是怎樣的曲線分析 第7頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二 解 將此兩式相除，得 取原點O到點A的距離為定值于是有建立坐標系如圖所示，設(shè)曲線方程為由題意得 第8頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二，兩端積分，得 將初始條件代入式，解得代入式，得再將將代入上式，并積分得將初始條件代入式，解得將代入式，解得曲線方程為第9頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二小結(jié)1.可降階的高階微分方程2.不顯含y的二階微分方程3.不顯含x的二階微分方程第10頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二思考題求微分方程 的通解.第11頁，共4

3、3頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二思考題解答第12頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二思考題解答第13頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二練 習 題第14頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二解受力分析二、二階線性微分方程第15頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二物體自由振動的微分方程強迫振動的方程對于象這樣的微分方程，我們給出如下定義:第16頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二程稱為二階線性微分方程.稱為二階線性齊次微分方程.稱為二階線性非齊次微分方程.1二階線性微分方程的定義形如

4、這樣的微分方程/第17頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二2二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)問題:第18頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二例如線性無關(guān);線性相關(guān).第19頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二特別地:例如第20頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二3二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第21頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二三、二階常系數(shù)線性微分方程形如這樣的微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如這樣的微分方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程例如是二階常系數(shù)齊次線性微分方程；是二階常系數(shù)

5、非齊次線性微分方程第22頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二1二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法將其代入上方程, 得特征方程特征根第23頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二（1）有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為第24頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二（2）有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第25頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二（3）有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第26頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二的特征方程是的通解第27頁，

6、共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二解的特征方程為解得故所求微分方程的通解為例1第28頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二 例2求微分方程的特解.解的特征方程為解得所求微分方程的通解為將分別代入上兩式，解得所求微分方程的特解為第29頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二解特征方程為解得故所求通解為例3第30頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解.第31頁，共43頁，2022年，5月20日，5

7、點56分，星期二練 習 題 第32頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二二階常系數(shù)非齊次線性方程對應的齊次方程通解結(jié)構(gòu)兩種類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法第33頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二設(shè)非齊方程特解為代入原方程第34頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二綜上討論設(shè)是非齊次方程的解，第35頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二解對應齊次方程的通解特征方程特征根代入方程, 得原方程通解為例1第36頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二第37頁，共43頁，

8、2022年，5月20日，5點56分，星期二解對應齊次方程的特征方程例2對應齊次方程的通解特征根原方程通解為第38頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二解特征方程例3對應齊次方程的通解特征根原方程通解為第39頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二小結(jié)(待定系數(shù)法)第40頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二思考題寫出微分方程的待定特解的形式.設(shè) 的特解為設(shè) 的特解為則所求特解為特征根思考題解答第41頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二練 習 題第42頁，共43頁，2022年，5月20日，5點56分，星期二 通過本課題學習，學生應該達到： 1會求可降階的二階微分