一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題數(shù)值模擬

1、一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題數(shù)值模擬問題描述：設(shè)有一導(dǎo)熱方程，dTdx問題描述：設(shè)有一導(dǎo)熱方程，dTdx2+T=0,邊界條件為dT八x=0=0dxx=1T=1編寫一段程序?qū)Υ藛栴}進行數(shù)值模擬。解析：d2Tdx2x=0竺=d2Tdx2x=1T=11、用控制容積有限差分方法做出內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點的離散化方程:首先進行離散化，先確定節(jié)點，再確定控制容積。將0-1劃分為N段，共N+1A_1個節(jié)點，N個控制容積，其中x一n。可以得到如下：Ay對原方程建立差分方程，內(nèi)部節(jié)點有:eddTJ_(_)+Tdx=0dxdxwdTndTndx+T_+TAx=0dx.IwnepAxPwAx+TAx=0pnepAxPwAx+TAx

2、=0pT-Tne,p1NT-T11八p、w+T01PNN)T=NT+NTaT=aT+aTPPEEWW則轉(zhuǎn)換為下式，：aT=aT+aTPiiEiEiWiWi上式即為內(nèi)部節(jié)點的離散化方程。對于外部節(jié)點可有：TT注1iT=1ia+aEi=2，.，N綜上可以得到內(nèi)部節(jié)點和外部節(jié)點的離散化方程為:aT=aT+aTPiiEiEiwiwiT=Ti+1iT=1Ii即為11、一l(2N-NTjT+1=TT=1I-I=NT+NTEiwii=2，.,Ni=1i=N+1i=2，.,Ni=1i=N+1上式不滿足系數(shù)為負(fù)數(shù)，則可改用如下離散方程:內(nèi)部節(jié)點：T-TT-T1丁2T八EppwT+T*011NPNPaaaNEwa

3、=2N+b_T*pNNpaT=aT+aT+baTaT+aT+bppEEWWpipiEiEiWiWii12(2N+_)T=N(T+T)+_T*Nii-1i+1NP邊界節(jié)點X=1Tn+1=1aTaT+aT+bppEEWWaaNEw2aT2aT=aT+aT+T*NNN+1N+1N-1N-1Np12(2N+_)T=N+NT+_T*NNN-1NP邊界節(jié)點X0dTdx0邊界節(jié)點X0dTdx0ddTJ(一()+T)dx=0Pdxdx1a=NbT*eNpT-T1pte+(T-2T*)01pp2Na11+=N+e2N2NaTaTaTaT+bppEEaT=aT+T*1122NP11(N-_JT=NT+_T*2n1

4、2NPii12i=epsx=G*x0+f;n=n+1;tol=norm(x-x0);x0=x;if(n=M)disp(Warning：逖代次數(shù)過多，可能不收斂.)return;endend(2)主程序(demo文件)如下：N=inputC請輸入N值n)Tp=input(請輸入Tp值n)x1=zeros(N,1)A0=zeros(N);A0(1,1)=N+1/(2*N);A0(1,2)=-N;A0(N,N-1)=-N;A0(N,N)=2*N+1/N;fori=2:N-1A0(i,i-1)=-N;A0(i,i)=2*N+1/N;A0(i,i+1)=-N;endb0=zeros(N,1);b0(1,

5、1)=(1/N)*Tp;b0(N,1)=(2/N)*Tp+N;fori=2:N-1b0(i,1)=(2/N)*Tp;endA二A0;b=bO;xO=xl;x,n=gauseidel(A,b,xO)x=x;lt=(O:l/N:l)title。一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題空間溫度分布圖)xlabel(空間分布X)ylabel。溫度分布T)holdonplot(t,x)3、結(jié)果分析，以上程序計算當(dāng)取T*=l。P二，工胃一筆，胃空間大仙I.口00102Q.3二，工胃一筆，胃空間大仙I.口00102Q.3口qn.5060丁口田Q9空間-幣、.當(dāng)N=10時，迭代次數(shù)n=3431.35171.34851.33871.3

6、2241.29921.26911.23161.18651.13321.0712方程組的解1.35191.26921.35101.25141.34861.23171.34461.21011.33891.18651.33151.16091.32251.13321.31181.10341.29931.07131.28511.0368方程組的解當(dāng)N=20時，迭代次數(shù)n=1243當(dāng)N=30時，迭代次數(shù)n=2634當(dāng)N=30時，迭代次數(shù)n=26341.35191.31551.20251.35151.30781.18651.35041.29931.16971.34861.29011.15191.34611.28001.13321.34281.26921.11361.33891.25751.09291.33411.24501.07131.32871.23171.04861.32251.21751.024