結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論第五章

1、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論第五章第1頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二第一節(jié) 前言第2頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二影響梁彈性側(cè)扭屈曲臨界荷載的主要因素：1。截面形狀和尺寸截面尺寸比值2。荷載的類型及其在截面上的作用點位置3。支承條件和相鄰桿件約束的影響4。初始缺陷第3頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二第二節(jié) 純彎曲時梁的側(cè)扭屈曲固定坐標(biāo)oxyz移動坐標(biāo)o第4頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二一 中性平衡方程計算假設(shè)：1。梁處于彈性工作階段，材料為各向同性；2。彎曲和扭轉(zhuǎn)變形時，梁截面形狀保持不變；3。微小變

2、形；4。沿跨度方向，梁截面是均勻的；5。不考慮殘余應(yīng)力和初彎曲等缺陷的影響；6。截面在彎曲平面內(nèi)的抗彎剛度很大，屈曲前彎曲變形 的影響可略去不計。第5頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二由 (4-22)式可得梁的約束扭轉(zhuǎn)方程為：由前面得到：將(c)式代入(a)和(b)式后得（51）第6頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二將第二式對z求導(dǎo)二次，第三式對z求導(dǎo)數(shù)一次后得雙軸對稱截面梁的中性平衡方程：（52）也可由偏心壓桿彎扭屈曲中性平衡方程式(4-49)來建立：將P0、My=0和MxM0代入(4-49)式得：第7頁，共54頁，2022年，5月20日，19

3、點19分，星期二這是任意開口薄壁截面梁在最大剛度平面yz內(nèi)承受純彎曲時的中性平衡方程對于雙軸對稱截面或以x軸為對稱軸的單軸對稱截面y0，上式即化為(5-2)式。第8頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二二 臨界彎矩對(5-3)式的第一式積分二次得：對于兩端簡支邊界條件，在z=0和z=l處應(yīng)滿足u=u”=”=0，于是A=B=0，上式可寫成：代入式(5-3)的第二式后可得扭角的常微分方程:第9頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二通解為：式中：根據(jù)簡支邊界條件，由(e)式可得積分常數(shù)A、B、C和D的線性齊次代數(shù)方程為：第10頁，共54頁，2022年，5月20

4、日，19點19分，星期二穩(wěn)定特征方程為：即第11頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二因此：將(m)式代入式，使n=1，求得M0的最小值就是梁側(cè)扭屈曲的臨界彎矩:將(k)式代入(h)式得A=B=D=0，于是由(e)式可得梁側(cè)扭屈曲時轉(zhuǎn)角變形曲線為：第12頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二將(p)式代入(d)式積分二次后得：邊界條件z0和zl處u0，得C1C20，因此梁側(cè)扭屈曲時側(cè)向彎曲變形曲線為第13頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二為了避免直接求解微分方程(5-4)，臨界彎矩可根據(jù)邊界條件假設(shè)位移函數(shù)，代入中性平衡方程求得：

5、代入（53）式得：穩(wěn)定特征方程為：第14頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二解此方程，當(dāng)n1，得M0的最小根，即為所求的臨界彎矩，其表達(dá)式與（55）完全相同。當(dāng)梁端為固定時，邊界條件是在z0和zl處滿足uu0，假定位移函數(shù)為：代入（53）后求得臨界彎矩為：第15頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二當(dāng)梁為懸臂梁，可假定位移函數(shù)為：滿足邊界條件：固定端z0處，uu0，自由端zl處，u“”0。代入（53）式可得臨界彎矩為：引用計算長度概念，可得純彎曲時梁臨界彎矩的一般表達(dá)式為：或第16頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二當(dāng)為雙軸對稱、

6、點對稱和x軸為對稱軸的單軸對稱截面時，y0，式（59）可簡化為：當(dāng)截面為狹長矩形時，由于翹曲剛度EI0，y0，（510）式可簡化為當(dāng)梁截面為壁厚很小的工字形時，其抗扭剛度GIk很小，與翹曲剛度相比可略去不計，則（58）和（510）式可分別近似地表達(dá)為：和第17頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二三 屈曲前變形對梁側(cè)扭屈曲的影響考慮屈曲前變形影響時，應(yīng)將臨界彎矩除以一個修正系數(shù)當(dāng)EIx遠(yuǎn)大于EIy和(2EI/l02+GIK)時，1；當(dāng)EIxEIy或EIx2EI/l02+GIK時，0，此時Mcr對于兩個方向的抗彎剛度相接近的截面中，如正方形、不狹長的矩形、圓形、圓管和方管等截

7、面，梁不會在強度破壞前發(fā)生側(cè)扭屈曲。閱讀P222 例61第18頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二第三節(jié) 橫向荷載作用時梁側(cè)扭屈曲的總勢能補充假設(shè)：荷載作用點發(fā)生位移時，荷載作用線的方向保持不變。第19頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二這兩部分應(yīng)變能表達(dá)式為根據(jù)分枝理論，屈曲時臨界彎矩保持不變，因此式中：第20頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二離原點為z的梁截面上任意點B(x,y)處取一微段dAddAdz來研究當(dāng)截面平移時，微段一端位移u，另一端位移為udu，因此微段長度dz改變?yōu)閐s1當(dāng)截面繞剪力中心轉(zhuǎn)動時，微段B點位移由

8、（427）確定第21頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二微段另一端B1點位移為：因此微段由于扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的相對位移為：由于側(cè)向彎曲，產(chǎn)生曲率1/=u”,因截面扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的x軸方向位移為(y-y0),又使微段縱向引起變化，其值為：由于截面扭轉(zhuǎn)，微段的長度由ds1改變?yōu)閐s2,由(a)、(b)和(c)式可得第22頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二將上式展開，并略去高階微量后得位移和轉(zhuǎn)角均是微小，將上式展開并取前面二項，可得對(e)式沿全截面積分，并注意到O為形心，x軸和y軸為形心主軸，可得：第23頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二

9、或式中(615)式中第一項是外力引起的彎矩Mx在屈曲彎扭變形時所作的功。華格納效應(yīng)系數(shù)；第24頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二(615)式中第二項是由于截面扭轉(zhuǎn)使彎曲正應(yīng)力z方向偏斜，由其水平分力形成抵抗扭矩所引起的應(yīng)變能，K稱為華格納(H. Wagner)效應(yīng)。在截面上B(x,y)處取出微段dAddAdz，當(dāng)截面扭轉(zhuǎn)角時，微段兩端產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角d，使微段偏斜r角而引起水平分力zdAr，該力對剪力中心形成一個微扭矩zr2dA，而整個截面的抵抗扭矩為：由于z是z的函數(shù)，所以K也是z的函數(shù)非線性應(yīng)變能U3包括兩部分，一部分是由Mx因側(cè)扭而產(chǎn)生轉(zhuǎn)動引起，另一部分是縱向纖維應(yīng)

10、力偏斜而引起的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能。第25頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二梁屈曲彎扭變形時的外功對于橫向集中荷載，將集中荷載Pn看作qndz利用(5-17)可得集中荷載所作的功為：梁端外力矩M0所作的功橫向分布荷載所作的功簡支或固定邊界，M0與側(cè)向斜率u方向垂直，M0不作功；自由邊界，產(chǎn)生v，M0作功為W3M0v0第26頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二由(4-26)和(5-15)(5-18)式可得梁側(cè)扭屈曲時總勢能的變化為或第27頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二第四節(jié) 跨間有橫向荷載作用時梁的側(cè)扭屈曲一 橫向均布荷載作用時梁的

11、側(cè)扭屈曲（一）中性平衡方程第28頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二第29頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二將(5-19)或(5-20)式中的被積函數(shù)代入(4-32)式后可得梁側(cè)扭屈曲的中性平衡方程為：和其中(6-22)式也可寫成：當(dāng)截面對稱于彎曲軸，y0當(dāng)僅有端彎矩M0作用時，q0，MxM0常數(shù)(5-21)和(5-23)式可簡化為(5-3)式：第30頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二（二）臨界彎矩方程(521)(524)為變系數(shù)微分方程，難以求出解析解，利用(5-21)消去一個變量。 將(521)積分二次得：簡支邊界，z=

12、0和z=l處，u=u”=”=0，可得C=D=0代入(5-20)式和(5-23)式得和第31頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二采用迦遼金法第32頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二注意到下列積分第33頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二得到梁側(cè)扭屈曲時的臨界彎矩M0為：橫向荷載作用時梁側(cè)扭屈曲臨界彎矩一般表達(dá)式第34頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二第35頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二臨界彎矩可用瑞利里茲法或鐵木辛柯法導(dǎo)出：將上述位移函數(shù)和Mx代入(5-26)式，得瑞利里茲法/

13、A=0,或鐵木辛柯法M0/A=0導(dǎo)出（529）相同的結(jié)果。第36頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二直接由(5-20)求解臨界彎矩，需要假設(shè)二個位移函數(shù)第37頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二穩(wěn)定特征方程為第38頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二解得C11.15, C2=0.466, C3=0.5338, 高于(529)u和不是相互獨立的變形，在兩端簡支時，存在以下關(guān)系第39頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二二 集中荷載作用時梁的側(cè)扭屈曲1.由(5-20)應(yīng)用瑞利里茲法或鐵木辛柯法求得將q0以及以上關(guān)

14、系代入(5-20)式，可得第40頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二因第41頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二故第42頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二2.利用均布荷載作用時梁的中性平衡方程式(5-20) (5-20)式來求第43頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二將以下積分式代入上式得到臨界彎矩同（531）式閱讀P235例62第44頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二第五節(jié) 梁的非彈性側(cè)扭屈曲布萊希(F. Bleich)采用相應(yīng)于梁中最大應(yīng)力處的切線模量Et和Gt來代替彈性側(cè)扭理

15、論中的彈性模量E和G，得到梁非彈性側(cè)扭屈曲臨界荷載的下限。如令 EtE，GtG，代入(5-10)式得雙軸對稱截面梁的非彈性側(cè)扭屈曲臨界彎矩為求出荷載偏低第45頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二非彈性側(cè)扭屈曲臨界荷載數(shù)值分析方法計算假定：1。材料理想彈塑性體，切線模量Et0，Gt0.25G2. 考慮殘余應(yīng)力的影響第46頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二相應(yīng)于Mcr時的長度l為臨界長度，以lcr表示第47頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二在非彈性屈曲時，截面分成彈性區(qū)和塑性區(qū)，中和軸和剪力中心均將有變動，截面剛度將降低。截面剛度、K、中和軸和剪力中心位置隨Mcr和lcr而改變，因此必須先求出相應(yīng)于Mcr或lcr的截面有效剛度， K、中和軸和剪力中心位置等，然后求Mcr或lcr在中性平衡狀態(tài)不發(fā)生卸載，因此截面的有效剛度為：第48頁，共54頁，2022年，5月20日，19點19分，星期二用有效剛度代替(6-33)、(6-34)式中彈性剛度后，可得：由于殘余應(yīng)力影響，截面上彈性區(qū)和塑性區(qū)的分布很復(fù)雜，而截面特性、各點