第3套量子力學(xué)自測題

1、量子力學(xué)自測題3一、 簡答題(每小題5分，共40分)一粒子的波函數(shù)為wG)=wG,y,Z)，寫出粒子位于x x + dx間的幾率。粒子在一維5 勢阱V(x) = -y8 (x) (Y 0)中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為w (x)，寫出w(x)的躍變條件。量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)W (x)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)W n(x)展開:W (x) = Zc W (x)，寫出展開式系數(shù)c的表達(dá)式。n給出如下對(duì)易關(guān)系:Z , P = ?L 2 , s L ?5. 一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)的旋量波函數(shù)為5. 一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)的旋量波函數(shù)為W(,s)，寫出表示電子自旋向上、位置在r處的幾率密度表達(dá)式，以及表示電子自旋向下的幾率的表

2、達(dá)式。、何謂幾率流密度？寫出幾率流密度j(r,t)的表達(dá)式。散射問題中，高能粒子散射和低能粒子散射分別宜采用什么方法處理？一維運(yùn)動(dòng)中，哈密頓量H = P- + V(x)，求L , H = ? p , H = ?2m二、 計(jì)算題(共60分。911題各10分；12、13題各15分)在時(shí)間t = 0時(shí)，一個(gè)線性諧振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫的狀態(tài):V (x,0) = u (x) +u (x) + c u (x)，5 0 E 2 23 3式中七（X）是振子的第n個(gè)本征函數(shù)。(1)(2)(1)(2)(3)寫出在r時(shí)刻的波函數(shù)；10.）為L的本征態(tài)，本征值為n方。求在LZ的本征態(tài)I n）下，Lx和L

3、y的平均值。11.氫原子處于狀態(tài) wG,七）=R Y2111T R 21 10.）為L的本征態(tài)，本征值為n方。求在LZ的本征態(tài)I n）下，Lx和Ly的平均值。11.氫原子處于狀態(tài) wG,七）=R Y2111T R 21 Y10(1)求軌道角動(dòng)量的乙分量L的平均值;(2)求自旋角動(dòng)量的Z分量七的平均值;(3)求總磁矩M = -2-L-fr的分量叩勺平均值。12. 、L分別為電子的自旋和軌道角動(dòng)量，J = s + L為電子的總角動(dòng)量。證明:J ,寧-L=0； J2 , J儀=0，a= x, y, z。13.質(zhì)量為R的粒子受微擾后，在一維勢場中運(yùn)動(dòng)，兀x一A cos ，0 x aax a8,（1）題

4、中應(yīng)當(dāng)把什么看作微擾勢？（2）寫出未受微擾時(shí)的能級(jí)和波函數(shù);兀2力2用微擾論計(jì)算基態(tài)能量到二級(jí)近似，其中A = 10。2量子力學(xué)自測題3參考答案三、簡答題(每小題5分，共40分)1. 一粒子的波函數(shù)為wG)=wG,y,Z),寫出粒子位于x x + dx間的幾率。解： dx J dy J dzk (r)|2。-s -s2.粒子在一維5 勢阱V(x) = -yS (x)( 0)中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為k (x)，寫出k(x)的躍變條件。解:(0D 一(0-)= 一料(0)。3.量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)k (x)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)k n(x)展開: k (x) = ck n (x)，nn解：c

5、n=k n(n解：cn=k n(x)，k (x)= J k *(x)k (x)dx。n解： L , p = ihL, pL?Ij . , a L ?L, p = 0L , L = -ihLr y * x z y 心,a = 2q()，k( r ,h/2)5. 一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)的旋量波函數(shù)為k (r,sz)=kG -h/2)j，寫出表示電子自旋向 上、位置在r處的幾率密度表達(dá)式，以及表示電子自旋向下的幾率的表達(dá)式。解：k( r,h:2)2,J k( r,-h2)2 d3r、何謂幾率流密度？寫出幾率流密度j頃,t）的表達(dá)式。解：單位時(shí)間內(nèi)通過與粒子前進(jìn)方向垂直的單位面積的幾率稱為幾率流密度。j（r,t

6、）= 一也（/ *Vv -仰甲 *） 2m散射問題中，高能粒子散射和低能粒子散射分別宜采用什么方法處理？解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法處理；低能粒子散射宜采用分波法處理。8. 一維運(yùn)動(dòng)中，哈密頓量H =蔡+ V（x），求L , H = ? Ip , H = 2m TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 解：lx , H =業(yè)，p , H =-ih dV（x） mdx二、計(jì)算題（共60分。911題各10分；12、13題各15分）9.在時(shí)間t = 0時(shí)，一個(gè)線性諧振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫的狀態(tài):一、了，、 :T

7、,、,、W (x,0) =u (x) + u (x) + c u (x)， HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 5 02 2-式中Un （x）是振子的第n個(gè)本征函數(shù)。（1）試求c3（1）試求c3的數(shù)值；（2）寫出在t時(shí)刻的波函數(shù)；（3）在t = 0時(shí)振子能量的平均值是多少?（IT2q 5v 7t = 1秒時(shí)呢?解：（1）2+ c2 +1,得T c = C 弋 10。:T7+，一:T7+，一u (x)e-i2T X .T .二 (2)W (x,t) = 5u 0(x)e 一 2 2 u 2(x)e 一2 ，10“3（3）在t = 0時(shí)振子能量的平均

8、值是2 5,+ -枷22+7 枷.2t = 1秒時(shí)振子能量的平均值也是1;沁。|n :：為L的本征態(tài)，本征值為n方。求在L的本征態(tài)| n :下, L和L的平均值。X y-1, t = 1秒時(shí)振子能量的平均值也是1;沁。|n :：為L的本征態(tài)，本征值為n方。求在L的本征態(tài)| n :下, L和L的平均值。X y-1, .1,解：L 3nL，L n/ = 3nL=：(n|L |n)-(n|L |n)L 0,L = 0。y10.同理，:LLo=:n|LyLnnL L n)11.氫原子處于狀態(tài) wG,七)=21Yii解：21 Y10求軌道角動(dòng)量的乙分量L的平均值;求自旋角動(dòng)量的z分量七的平均值;一 e

9、一 e求總磁矩M =-2-L-章的z分量,白勺平均值。(1)(2),、2J32) e * e _(3) M = - Ls =812. s、L分別為電子的自旋和軌道角動(dòng)量，J = s + L為電子的總角動(dòng)量。證明:J,如 L =0； J 2, J =0， a = x, y, z。證：J , s - L = L + s , s L + s L + s L xx xxx yy zz=s L , L + s L , L + s , s L + s , s Ly xyz xz, xy yxz z,=ihs L sL + sL s L)= 0。yz zy zy yz*、同理，J , * - L = 0,

10、J , * - L = 0,從而J, * - L =0。yzJ 2, J = J 2, J + J 2,J + J 2, J xx xy xz x=J J , J + J , J J + J J , J + J , J Jyy xy xy zz xz xz=ih- J J J J + J J + J J)= 0。yz zy zy yz同理，J 2, Jy = 0, J 2, J = 0，從而J 2, J a = 0。13.質(zhì)量為R的粒子受微擾后，在一維勢場4 兀xA cos a8,x a中運(yùn)動(dòng)。（1）（2）題中應(yīng)當(dāng)把什么看作微擾勢？ 寫出未受微擾時(shí)的能級(jí)和波函數(shù);(3)用微擾論計(jì)算基態(tài)能量到二

11、級(jí)近似兀2 h 2其中A =10R a 2解：（1）應(yīng)當(dāng)把V（x）看作微擾勢，即=V (x)=兀xA cos a8,0 x ax a（2）未受微擾時(shí)的波函數(shù)和能級(jí)分別為2 . nKxn2兀2 h2n = 1,2,3,W（。）（x） = ： sin, n = 1,2,3,（3）未受微擾時(shí)的基態(tài)波函數(shù)和能量分別為w(0w(0)(x)1互.兀x sin ；a aE(o)=1基態(tài)能量的一級(jí)修正:E =HE =H111f 2 -.=sin2ao兀x -A cosa兀x ,2Af 一兀x 兀xdx =sin2d sin a 兀 a a竺sin3 以二0,3兀ao基態(tài)能量的二級(jí)修正:E(2)E；o）E(2)E；o）- E（o）H，n1f ：2 . n冗x , 兀x= sin - A cos a aaoA n冗x兀x= sin 2 cos -sin2 .，一sin:a兀x , dx兀x , dxaao aaa=A f sin 竺. sin 丑 d 兀