2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）（精解版）

1、第19頁（共19頁）2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1集合，4，6，8，則A，B，4，C，4，6，D，4，6，8，2設(shè)，其中，為實(shí)數(shù)，則A，B，C，D，3已知向量，則A2B3C4D54分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長（單位：，得如圖莖葉圖：則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本中位數(shù)為7.4B乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8C甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.4D乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.65

2、若，滿足約束條件則的最大值是AB4C8D126設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，若，則A2BC3D7執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的A3B4C5D68如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間，的大致圖像，則該函數(shù)是ABCD9在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面10已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，則A14B12C6D311函數(shù)在區(qū)間，的最小值、最大值分別為A，B，C，D，12已知球的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則公差14從甲、乙等5名

3、同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為 15過四點(diǎn)，中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為 16若是奇函數(shù)，則，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）記的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知（1）若，求；（2）證明：18（12分）如圖，四面體中，為的中點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積19（12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根

4、部橫截面積（單位：和材積量（單位：，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得，（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值附：相關(guān)

5、系數(shù)，20（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍21（12分）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過A（0，2），B（，1）兩點(diǎn)（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P（1，2）的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足證明：直線HN過定點(diǎn)（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）22（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2

6、）若與有公共點(diǎn)，求的取值范圍選修4-5：不等式選講（10分）23已知，都是正數(shù)，且，證明：（1）；（2）初高中數(shù)學(xué)教研微信系列群簡介： 目前有24個(gè)群（18個(gè)高中群，2個(gè)四川群，1個(gè)直播群，3個(gè)初中群），共10000多優(yōu)秀、特、高級(jí)教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群. 宗旨：腳踏實(shí)地、不口號(hào)、不花哨、接地氣的高中數(shù)學(xué)教研！ 特別說明： 1.本系列群只探討高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究、高中數(shù)學(xué)試題研究等相關(guān)話題； 2.由于本群是集“研究寫作發(fā)表（出版）”于一體的“橋梁”，涉及業(yè)務(wù)合作，特強(qiáng)調(diào)真誠交流，入群后立即群名片：

7、教師格式：省+市+真實(shí)姓名，如：四川成都張三 編輯格式：公司或者刊物（簡寫）+真實(shí)姓名 歡迎各位老師邀請(qǐng)你身邊熱愛高中數(shù)學(xué)教研（不喜歡研究的謝絕）的教師好友（學(xué)生謝絕）加入，大家共同研究，共同提高！ 群主二維碼：見右圖2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1集合，4，6，8，則A，B，4，C，4，6，D，4，6，8，【思路分析】直接利用交集運(yùn)算求解即可【解析】，4，6，8，故選：【試題評(píng)價(jià)】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2設(shè)，其中，為實(shí)數(shù)，則A，B，C，D，【思路

8、分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解【解析】，即，解得故選：【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題3已知向量，則A2B3C4D5【思路分析】先計(jì)算處的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)模長公式即可【解析】，故，故選：【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查向量坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題4分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長（單位：，得如圖莖葉圖：則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本中位數(shù)為7.4B乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8C甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.4D乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.6【思路分析】根據(jù)莖葉圖逐項(xiàng)分析

9、即可得出答案【解析】由莖葉圖可知，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本中位數(shù)為，選項(xiàng)說法正確；由莖葉圖可知，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8，選項(xiàng)說法正確；甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值為，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值為，選項(xiàng)說法正確故選：【試題評(píng)價(jià)】本題考查莖葉圖，考查對(duì)數(shù)據(jù)的分析處理能力，屬于基礎(chǔ)題5若，滿足約束條件則的最大值是AB4C8D12【思路分析】作出可行域，根據(jù)圖象即可得解【解析】作出可行域如下圖陰影部分所示，由圖可知，當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，且最大為8故選：【試題評(píng)價(jià)】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題

10、6設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，若，則A2BC3D【思路分析】利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解的坐標(biāo)，然后求解即可【解析】為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，由拋物線的定義可知，不妨在第一象限），所以故選：【試題評(píng)價(jià)】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題7執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的A3B4C5D6【思路分析】模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的值【解析】模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，如下：輸入，計(jì)算，判斷，計(jì)算，判斷；計(jì)算，判斷；輸出故選：【試題評(píng)價(jià)】本題考查了程序的運(yùn)行與應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題8如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間，的大致圖像，則該函

11、數(shù)是ABCD【思路分析】首先分析函數(shù)奇偶性，然后觀察函數(shù)圖像在存在零點(diǎn)，可排除，選項(xiàng)，再利用在的周期性可判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤【解析】首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù)，其次觀察函數(shù)在存在零點(diǎn)，而對(duì)于選項(xiàng)：令，即，解得，或或，故排除選項(xiàng)，對(duì)于選項(xiàng)，令，即，解得，故排除選項(xiàng)，選項(xiàng)分母為恒為正，但是分子中是個(gè)周期函數(shù)，故函數(shù)圖像在必定是正負(fù)周期出現(xiàn)，故錯(cuò)誤，故選：【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題【解法二】（劉興補(bǔ)解）對(duì)B 令,B不對(duì)對(duì)C： ，C不對(duì)對(duì)D：，D不對(duì) 故：只能選A9在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面【思路分析】對(duì)于，易知，平面，從而判斷選項(xiàng)正確；對(duì)

12、于，由選項(xiàng)及平面平面可判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，由于與必相交，容易判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，易知平面平面，而平面與平面有公共點(diǎn)，由此可判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤【解析】對(duì)于，由于，分別為，的中點(diǎn)，則，又，且，平面，平面，則平面，又平面，平面平面，選項(xiàng)正確；對(duì)于，由選項(xiàng)可知，平面平面，而平面平面，故平面不可能與平面垂直，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，在平面上，易知與必相交，故平面與平面不平行，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，易知平面平面，而平面與平面有公共點(diǎn)，故平面與平面不可能平行，選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：【試題評(píng)價(jià)】本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題10已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，則A14B12C6D3【思路分析】由

13、題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，求得的值【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，前3項(xiàng)和為，則，故選：【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題11函數(shù)在區(qū)間，的最小值、最大值分別為A，B，C，D，【思路分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，令得，或，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值，再與端點(diǎn)值比較即可【解析】，則，令得，或，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，在區(qū)間，上的極大值為，極小值為，又，函數(shù)在區(qū)間，的最小值為，最大值為，故選：【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題12已知球的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為，底面的四個(gè)頂點(diǎn)

14、均在球的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為ABCD【思路分析】由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為，由勾股定理可知該四棱錐的高，所以該四棱錐的體積，再利用基本不等式即可求出的最大值，以及此時(shí)的值，進(jìn)而求出的值【解析】由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，該四棱錐的高，該四棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，該四棱錐的體積最大時(shí)，其高，故選：【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則公差2【思路分析】根據(jù)已知

15、條件，可得，再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可求解【解析】，為等差數(shù)列，解得故答案為：2【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題14從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為 【思路分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率【解析】由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，基本事件總數(shù)，甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率故答案為：【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)

16、算公式即可，屬于基礎(chǔ)題15過四點(diǎn)，中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為 （或或或【思路分析】選其中的三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程【解析】設(shè)過點(diǎn)，的圓的方程為，即，解得，所以過點(diǎn)，圓的方程為同理可得，過點(diǎn)，圓的方程為過點(diǎn)，圓的方程為過點(diǎn)，圓的方程為故答案為：（或或或【試題評(píng)價(jià)】本題考查了過不在同一直線上的三點(diǎn)求圓的方程應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題16若是奇函數(shù)，則，【思路分析】顯然，根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得，且，所以，進(jìn)而求出的值，代入函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出的值【解析】【解法一】，若，則函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不具有奇偶性，由函數(shù)解析式有意義可得，且，且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域必須關(guān)于原

17、點(diǎn)對(duì)稱，解得，定義域?yàn)榍?，由得，故答案為：；【解法二】（王靈芝補(bǔ)解）（特殊值法）函數(shù)為奇函數(shù)，f（-2）=- f（2）所以，即解得，a=,b=。故答案為：；【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）記的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知（1）若，求；（2）證明：【思路分析】（1）由，結(jié)合，可得，即，再由三角形內(nèi)角和定理列式求解；（2）把已知等式展開兩角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角為邊即可證明結(jié)論【解

18、析】（1）由，又，即（舍去）或，聯(lián)立，解得；證明：（2）【解法一】由，得，由正弦定理可得，由余弦定理可得：，整理可得：【解法二】（王靈芝補(bǔ)解）, A=2B原式可化為sin3BsinB=sinBsin5B,，sin3B=sin5B,3B+5B =,B =, A=, C=證明：（2）由，得，由正弦定理可得，由余弦定理可得：，整理可得：【試題評(píng)價(jià)】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題18（12分）如圖，四面體中，為的中點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積【思路分析】（1）易證，所以，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面

19、面垂直的判定定理即可證得平面平面；（2）由題意可知是邊長為2的等邊三角形，進(jìn)而求出，由勾股定理可得，進(jìn)而證得平面，連接，因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)的面積最小，求出此時(shí)點(diǎn)到平面的距離，從而求得此時(shí)三棱錐的體積【解答】證明：（1），又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又，平面，又平面，平面平面；解：（2）由（1）可知，是等邊三角形，邊長為2，又，平面，由（1）知，連接，則，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)的面積最小，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，平面，三棱錐的體積【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱錐的體積公式，同時(shí)考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，是中檔題19（12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水

20、青山為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：和材積量（單位：，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得，（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為已知樹木的材積量與其根

21、部橫截面積近似成正比利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值附：相關(guān)系數(shù)，【思路分析】根據(jù)題意結(jié)合線性回歸方程求平均數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)，并估計(jì)該林區(qū)這種樹木的總材積量的值即可【解析】（1）設(shè)這棵樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為，則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：，；（2）由題可知，；（3）設(shè)從根部面積總和，總材積量為，則，故【試題評(píng)價(jià)】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題20（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【思路分析】（1）將代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，由此可得最大值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分，及討論即可得出結(jié)論【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，易知函數(shù)在上

22、單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，同時(shí)也是最大值，函數(shù)的最大值為（1）；（2），當(dāng)時(shí)，由（1）可知，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又（1），故此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且（1），且當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又（1），故此時(shí)函數(shù)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且（1），且當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為【試題評(píng)價(jià)】本題考查里利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分類討論思想及運(yùn)算求解能力，屬于難題21（12分）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸、軸，且過，兩點(diǎn)（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過且平行于軸的直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足證明：直線過定點(diǎn)【思路分析】（1）設(shè)的方程為，且，將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；（2）由可得線段，若過的直