數(shù)值分析 第一章緒論課件

1、數(shù)值計(jì)算方法第一章 緒論應(yīng)用問(wèn)題舉例1. 湖水在夏天會(huì)出現(xiàn)分層現(xiàn)象，接近湖面溫度較高，越往下溫度變低，這種上熱下冷的現(xiàn)象影響了水的對(duì)流和混合過(guò)程，使得下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚類的死亡。如果把水溫看成深度的函數(shù)T(x)，有某個(gè)湖的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫，也就是說(shuō)我們可根據(jù)給定的數(shù)據(jù)能求出T(x)。2、鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問(wèn)題 建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長(zhǎng)4英

2、尺,每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似2英寸為一個(gè)周期. 求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長(zhǎng)度L. 這個(gè)問(wèn)題就是要求由函數(shù) f(x)=sin x 給定的曲線從 x=0 到 x=48 英寸間的弧長(zhǎng)L. 由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長(zhǎng)可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來(lái)計(jì)算.數(shù)值計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)主要組成部分.“什么是數(shù)值計(jì)算方法？”數(shù)值計(jì)算方法又稱計(jì)算方法或數(shù)值分析，是一門與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，它專門研究各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類近似解法數(shù)值方法，即從一組原始數(shù)據(jù)（如模型中的某些參數(shù)）出發(fā)，按照確定的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行有限步運(yùn)算，最終獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)值

3、形式的滿足精度要求的近似解。 數(shù)值計(jì)算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果。 與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計(jì)算方法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。采用“近似替代”方法逼近采用“構(gòu)造性”方法采用“離散化”方法 把求連續(xù)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求離散變量的問(wèn)題采用“遞推化”方法 復(fù)雜的計(jì)算歸結(jié)為簡(jiǎn)單過(guò)程的多次重復(fù)，易于用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)（迭代法）。采用各種搜索方法構(gòu)造數(shù)值算法主要手段如何學(xué)好數(shù)值計(jì)算方法？1. 認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本 任務(wù)，主動(dòng)適應(yīng)

4、“公式多”的特點(diǎn)；2. 注重各章建立算法的問(wèn)題的提法，搞清問(wèn)題的基 本提法，逐步深入；3. 理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和基本 線索，對(duì)最基本的算法要非常熟悉；4. 認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是 為用于實(shí)際計(jì)算，必須真會(huì)算。威爾金森（James Hardy .Wilkinson，1919-1986），Wilkinson是數(shù)值分析和數(shù)值計(jì)算的開拓者和奠基人。1940 年，開始研究彈道的數(shù)學(xué)模型與數(shù)值計(jì)算。 1946 年成為Turing 的助手，協(xié)助設(shè)計(jì) Pilot ACE 計(jì)算機(jī)。1969年他當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)院士；1970年工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)會(huì)(s1am)授予他馮諾伊曼獎(jiǎng)；1

5、987年他獲得美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的chauvenet獎(jiǎng)。著名的美國(guó)阿爾貢國(guó)家實(shí)驗(yàn)室曾聘威爾金森為榮譽(yù)高級(jí)研究員并兩次向他授獎(jiǎng)。 Wilkinson在數(shù)值分析研究領(lǐng)域作出了杰出貢獻(xiàn)，是數(shù)值計(jì)算的早期開拓者，其工作加速了數(shù)字計(jì)算機(jī) ( 在科學(xué)計(jì)算中 ) 的使用。他研究的主要問(wèn)題是線性代數(shù)方程組和矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值解法，特別是他的向后誤差分析法 (backward error analysis)的創(chuàng)造性工作奠定了數(shù)值分析和數(shù)值計(jì)算早期的理論基礎(chǔ)。 1975 年 J. H. Wilkinson成為第五位圖靈獎(jiǎng)獲得者。一、誤差來(lái)源與分類在建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要

6、因素的影響,而對(duì)問(wèn)題作一些簡(jiǎn)化,因此和實(shí)際問(wèn)題有一定的區(qū)別.模型誤差在建模和具體運(yùn)算過(guò)程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過(guò)觀察和測(cè)量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有觀測(cè)誤差 求近似解 方法誤差 (截?cái)嗾`差）例如，當(dāng)函數(shù) 用Taylor多項(xiàng)式 近似代替時(shí)，數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是在 與 0 之間截?cái)嗾`差的大小直接影響計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算工作量，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差.四舍五入后在數(shù)值計(jì)算方法中，主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響！二、 誤差的概念1、絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限例:若用以厘米為最小刻度的尺子去量桌子的長(zhǎng)，大約為1.56米，求1.56米的絕對(duì)誤差。1

7、.56米的絕對(duì)誤差=？不知道！定義：設(shè) 是準(zhǔn)確值，為 的一個(gè)近似值，稱 是近似值 的絕對(duì)誤差,簡(jiǎn)稱為誤差。 但實(shí)際問(wèn)題往往可以估計(jì)出 不超過(guò)某個(gè)正數(shù) ，即 則稱 為絕對(duì)誤差限，有了絕對(duì)誤差限就可以知道 的范圍為即 落在 內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列寫法來(lái)刻劃 的精度。例1 設(shè)x =3.1415926 近似值x*=3.14,它的絕 對(duì)誤差是 0.001 592 6，有例3 而近似值x* =3.1415，它的絕對(duì)誤差是 0.0000926，有 x-x*=0.0000926 0.0001=0.110-3可見，絕對(duì)誤差限不是唯一的，但越小越好 x-x*=0.0015926 0.002=0.210-2例2

8、 又近似值x* =3.1416，它的絕對(duì)誤差是 0.0000074，有x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5只用絕對(duì)誤差還不能說(shuō)明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè),乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè),他們的誤差都是錯(cuò)一個(gè),但顯然乙要準(zhǔn)確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對(duì)誤差外,還必須顧及量的本身。2、相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限定義：設(shè) 是準(zhǔn)確值， 是近似值，是近似值的誤差，通常取為近似值 的相對(duì)誤差，記作 ，稱 一般情況下是不知道 的，怎么辦？例4. 甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每1000個(gè) 錯(cuò)一個(gè)，求其相對(duì)誤差解： 根椐定義:甲打字時(shí)的相對(duì)誤差 乙打字時(shí)的相對(duì)誤差3 、有效數(shù)字定

9、義：如果則說(shuō) 近似表示 準(zhǔn)確到小數(shù)后第 位，并從這由上述定義第 位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為有效數(shù)字，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為有效位數(shù)。解： 3.141592= 0.3141592 3.142 = 0.3142 m = 1 |-3.142 |=|0.3141592 -0.3142 | 0.000041 0.0005= m n =1n =-3 所以 n =4，具有4位有效數(shù)字.例5. 3.142作為的近似值時(shí)有幾位有效數(shù)字.-3.141=0.3141592101 -0.3141101 0.0000592 101 0.005=1/2 10-2 m=1,m-n=1-n=-2, 所以 n

10、=3 具有3位有效數(shù)字.例6. 當(dāng)取3.141作為 的近似值時(shí)再如 3.1416 作為 的近似值時(shí) -3.1416 = 0.3141592101-0.31416101 0.00000074 101 0.00000740.00005 0.5 10-4 m-n=1-n=-4, 所以 n=5。因此，x*= 3.1416有5位有效數(shù)字。關(guān)于有效數(shù)字說(shuō)明： 用四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位x*作為近似值,則 x*必有n位有效數(shù)字。如3.142作為 的近似值 有4位有效數(shù)字，而3.141有3位有效數(shù)字. 有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對(duì)誤差不一定 相同。例如，設(shè)x1*=12345,設(shè)x2*=12.345,兩者 均

11、有5位有效數(shù)字但絕對(duì)誤差不一樣 x- x1* =x- 12345 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.3450.0005=1/210-3 把任何數(shù)乘以10p(p=0,1,)不影響有效位數(shù).4 、誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系定理1： 對(duì)于用 式表示的近似數(shù) ，若 具有 位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差為:證: x* = 0.a1a2an10m x* a110 m-1 又 x*具有n位有效數(shù)字,則x- x*1/210m - n一般應(yīng)用中可以取r*=1/2a1 10-(n-1), n 越大,r*越小 有效數(shù)字越多，相對(duì)誤差就越小.例7: 取3.14作為 的四舍五入的近似值時(shí)，求其 相對(duì)誤差限。解

12、：3.14=0.314 101 a1=3 m=1 四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字 n=3 r*=1/2a1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=0.17%定理2: 若近似數(shù)x*=0.x1x2xn10m相對(duì)誤差 則該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字.證: x*=0.x1x2xn10m x* (x1+1) 10m-1由有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢例8:解:則有定理1,相對(duì)誤差滿足即應(yīng)取4位有效數(shù)字,近似值的誤差不超過(guò)0.1%. 注意: 已知有效數(shù)字,求相對(duì)誤差用公式 已知相對(duì)誤差,求具有幾位有效數(shù)字公式1.要避免兩個(gè)相近的數(shù)相減在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)作減法時(shí)有效數(shù)字會(huì)損失。例:

13、 求的值。當(dāng)x = 1000，y 的準(zhǔn)確值為0.01580 三、 數(shù)值計(jì)算中應(yīng)該注意的一些原則類似地 (2) 若將原式改寫為則 y = 0.01581(1)直接相減有4位有效數(shù)字！只有1位有效數(shù)字2. 盡量避免絕對(duì)值太小的數(shù)作分母例：如分母變?yōu)?.0011，也即分母只有0.0001的變化時(shí)結(jié)果相差這么大!3. 避免大數(shù)吃小數(shù)這一類問(wèn)題主要由計(jì)算機(jī)的位數(shù)引起假如作一個(gè)有效數(shù)字為4位的連加運(yùn)算而如果將小數(shù)放在前面計(jì)算在作連加時(shí),為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進(jìn)行相加,如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別的方法.例：解方程解:由中學(xué)知識(shí)韋達(dá)定理可知,方程的精確解為而如果在字長(zhǎng)為8,基底為10的計(jì)算

14、機(jī)上利用求根公式機(jī)器吃了因此在計(jì)算機(jī)上上式是解二次方程的數(shù)值公式4. 簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，避免誤差積累。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為例：多項(xiàng)式求值：給的x 求下列n 次多項(xiàng)式的值。 解：1. 用一般算法，即直接求和法； 2. 逐項(xiàng)求和法；3. 秦九韶方法(即Hornor算法）； 先計(jì)算x2, x3, , xn, 再作線性組合，需做2n-1次乘法和n次加法。解法一：直接求和法解法二：逐項(xiàng)求和法 按順序依次計(jì)算每一項(xiàng)的值再求和，需做n(n+1)/2次乘法和n次加法。解法三：秦九韶算法（即Horner算法）只需做n次乘法和n次加法。且可以遞推實(shí)現(xiàn)。計(jì)算機(jī)上使用的算法常采用遞推化的形式，遞推化的基本思想是把一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程歸結(jié)為簡(jiǎn)單過(guò)程的多次重復(fù)。這種重復(fù)在程序上表現(xiàn)為循環(huán)。遞推化的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)和節(jié)省計(jì)算量。算法