2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專(zhuān)題5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、專(zhuān)題五平面向量5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算高考理數(shù)考點(diǎn)一平面向量的概念及線性運(yùn)算考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.向量的有關(guān)概念及表示法名稱(chēng)定義表示法向量既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)向量:;模:|零向量長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量常用e表示平行向量方向相同或相反的非零向量a與b共線可記為ab;0與任一向量共線共線向量平行向量又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量a=b相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量a與b互為相反向量,則a=-b;0的相反向量為02.平面向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意

2、義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:a+b=b+a;(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|=|a|;(2)當(dāng)0時(shí),a與a的方向相同;當(dāng)0時(shí),a與a的方向相反;當(dāng)=0時(shí),a=0(a)=()a;(+)a=a+a;(a+b)=a+b3.向量的共線問(wèn)題向量共線的判斷:(1)若a與b是兩個(gè)非零向量,則它們共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得b=a;(2)若a與b是兩個(gè)非零向量,則它們共線的充要條件是存在兩個(gè)均不是零的實(shí)數(shù)、,使得a+b=0.【知識(shí)拓展】(1)A、B、C三點(diǎn)共線=

3、+且+=1.特別地,當(dāng)=時(shí),C為線段AB的中點(diǎn).(2)|a|-|b|ab|a|+|b|.(3)三角形重心的向量公式:在ABC中,若G為ABC的重心,則+=0.考向突破考向一平面向量的概念及線性運(yùn)算例1如圖,D,E,F分別是ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),則()A.+=0B.-+=0C.+-=0D.-=0解析=,+=+=,+=+=0.答案A考向二向量的共線問(wèn)題例2 如圖所示,在ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若=m,=n,則m+n的值為.解析解法一:連接AO,由于O為BC的中點(diǎn),故=(+),=-=(+)-=+,同理=+.由于向量,共線,故存在實(shí)數(shù)

4、,使得=,即+=,由于,不共線,故得-=且=,解得m+n=2.解法二:連接AO,O是BC的中點(diǎn),=(+).又=m,=n,=+.M、O、N三點(diǎn)共線,+=1.m+n=2.答案2考點(diǎn)二平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算考向基礎(chǔ)1.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、 j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得

5、a=xi+yj,這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定,我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),顯然0=(0,0),i=(1,0), j=(0,1).(2)設(shè)=xi+yj,則向量的坐標(biāo)(x,y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo),即若=(x,y),則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),反之亦成立(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算(2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).(3)平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1

6、),b=(x2,y2),其中b0,則a與b共線a=bx1y2-x2y1=0.向量aba+ba-ba坐標(biāo)(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)考向突破考向一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(2019豫南九校第三次聯(lián)考,8)如圖所示,在ABC中,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),且=,BN與CM相交于點(diǎn)E,設(shè)=a,=b,則等于()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b解析由題意得=b,=a,由N,E,B三點(diǎn)共線可知,存在實(shí)數(shù)m,滿足=m+(1-m)=mb+(1-m)a.由C,E,M三點(diǎn)共線可知,存在實(shí)數(shù)n,滿足=n+(1-n)=na+(1-n)b,所以mb+(1

7、-m)a=na+(1-n)b,因?yàn)閍,b為基底,所以解得所以=a+b,故選A.答案A考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=a+b(,R),則=. 解析 以向量a和b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位,則A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由c=a+b可得解得所以=4.答案4方法1平面向量的線性運(yùn)算技巧和數(shù)形結(jié)合的方法1.解題的關(guān)鍵在于理清構(gòu)成三角形的三個(gè)向量間的相互關(guān)系,能熟練地找出圖形中的相等向量,能熟練地運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.2.用幾個(gè)基本向

8、量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧:(1)觀察各向量的位置;(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;(3)運(yùn)用法則找關(guān)系;(4)化簡(jiǎn)結(jié)果.3.適當(dāng)選擇基底是解題關(guān)鍵.方法技巧例1(2018吉林長(zhǎng)春模擬,6)D為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且=+,則=()A.B.C.D. 解題導(dǎo)引 解析如圖,分別取AC,BC的中點(diǎn)E,F,連接EF,BE.因?yàn)?+= +,所以EF上靠近點(diǎn)F的三等分點(diǎn)即為點(diǎn)D,故SBCD=SBEC=SABC,SABD=SABC,=.故選B. 答案B方法2平面向量基本定理的應(yīng)用策略與坐標(biāo)運(yùn)算技巧用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路:先選擇一組基底,并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成基底的線性組合,再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)證明.在基底未給出的情況下,合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便.另外,要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行的,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量坐標(biāo).注意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).如:若A(x1,y1),B(x2,y2),則有=(x2-x1,y2-y1).例2(2019河北邯鄲重點(diǎn)中學(xué)9月聯(lián)考,11)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和,它們的夾角為120,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng),若=x +y,則x+y的最大值