《平方差公式》教案

1、 平方差公式教案平方差公式教案 1 平方差公式 一、學(xué)習(xí)目標： 1.經(jīng)受探究平方差公式的過程. 2.會推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進展簡潔的運算. 二、重點難點 重點： 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用 難點： 理解平方差公式的構(gòu)造特征，敏捷應(yīng)用平方差公式. 三、合作學(xué)習(xí) 你能用簡便方法計算以下各題嗎? 120221999 29981002 導(dǎo)入新課： 計算以下多項式的積. 1x+1x-1 2m+2m-2 32x+12x-1 4x+5yx-5y 結(jié)論：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 即：a+ba-b=a2-b2 四、精講精練 例1：運用平方差公式計算： 13x+23x-2 2b+2

2、a2a-b 3-x+2y-x-2y 例2：計算： 110298 2y+2y-2-y-1y+5 隨堂練習(xí) 計算： 1a+b-b+a 2-a-ba-b 33a+2b3a-2b 4a5-b2a5+b2 5a+2b+2ca+2b-2c 6a-ba+ba2+b2 五、小結(jié)：a+ba-b=a2-b2 平方差公式教案 2 15.2 乘法公式 15.2.1平方差公式 教學(xué)目標 經(jīng)受探究平方差公式的過程，進一步進展學(xué)生的符號感和推理力量、歸納力量 會推導(dǎo)平方差公式并把握公式的構(gòu)造特征，能運用公式進展簡潔的計算 了解平方差公式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法 教學(xué)重點與難點 重點：平方差公式的推導(dǎo)及應(yīng)用 難點：

3、用公式的構(gòu)造特征推斷題目能否使用公式 教學(xué)預(yù)備 卡片及多媒體課件 教學(xué)設(shè)計 引入 同學(xué)們，前面我們剛剛學(xué)習(xí)了整式的乘法，知道了一般情形下兩個多項式相乘的法則今日我們要連續(xù)學(xué)習(xí)某些特別情形下的多項式相乘下面請同學(xué)們應(yīng)用你所學(xué)的學(xué)問，自己來探究下面的問題： 探究：計算以下多項式的積，你能發(fā)覺它們的運算形式與結(jié)果有什么規(guī)律嗎? (1)(x+1)(x-1)= (2)(m+2)(m-2)= (3)(2x+1)(2x-1)= 引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言表達所發(fā)覺的規(guī)律，允許學(xué)生之間相互補充，教師不急于概括 注：平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，它的得出可以直接利用多項式與多項式相乘的運算法則，利用多項

4、式乘法推導(dǎo)乘法公式是從一般到特別的過程，對今后學(xué)習(xí)其他乘法公式的推導(dǎo)有肯定的指導(dǎo)意義，同時也可培育學(xué)生觀看、歸納、概括等力量，因此在教學(xué)中，首先應(yīng)讓學(xué)生思索：你能發(fā)覺什么?讓學(xué)生經(jīng)受觀看(每個算式和結(jié)果的特點)、比擬(不同算式之間的異同)、歸納(可能具有的規(guī)律)、提出猜測的過程，學(xué)生在發(fā)覺規(guī)律后，還應(yīng)通過符號運算對規(guī)律進展證明 舉例 再舉幾個這樣的運算例子 注：讓學(xué)生獨立思索，每人在組內(nèi)舉一個例子(可口述或書寫)，然后由其中一個小組的代表來匯報 驗證 我們再來計算(a+b)(a-b)= 公式的推導(dǎo)既是對上述特例的概括，更是從特別到一般的歸納證明，在此應(yīng)留意向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的思想方法：特例歸納猜測

5、驗證用數(shù)學(xué)符號表示 注：這里是對前邊進展的運算的爭論，目的是讓學(xué)生通過觀看、歸納，鼓舞他們發(fā)覺這個公式的一些特點，如公式左右邊的構(gòu)造特征，為下一步運用公式進展簡潔計算打下根底 概括 平方差公式及其形式特征 教師可以在前面的根底上連續(xù)鼓舞學(xué)生發(fā)覺這個公式的一些特點：如公式左、右邊的構(gòu)造，并嘗試說明這些特點的緣由 應(yīng)用 教科書第152頁例1運用平方差公式計算： (1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y) 填表： (a+b)(a-b) a b a2b2 最終結(jié)果 (3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22 (b+2a)(2a-b) (-x+

6、2y)(-x-2y) 對本例的前面兩個小題可以采納學(xué)生獨立完成，然后搶答的形式完成；第三小題可采納小組爭論的形式，要求學(xué)生在給出表格所提示的解法之后，思索別的解法：提取后一個因式里的負號，將2y看作“a”，將x看作“b”，然后運用平方差公式計算 注：(1)正確理解公式中字母的廣泛含義，是正確運用這一公式的關(guān)鍵設(shè)計本環(huán)節(jié)，旨在通過將算式中的各項與公式里的a、b進展對比，進一步體會字母a、b的含義，加深對字母含義廣泛性的理解：即它們既可以是數(shù)，也可以是含字母的整式 (2)在詳細計算時，當(dāng)有一個二項式兩項都負時，往往不易判明a、b，如第三小題，此時可以通過小組合作溝通，放手讓學(xué)生去思索、爭論，有助于

7、學(xué)生思維互補、有條理地思索和表達，更有助于學(xué)生合作精神的培育 (3)例1第(3)小題引導(dǎo)學(xué)生多角度思索問題，可以加深對公式的理解 教科書第152頁例2計算： (1)10298 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) 此處仍先讓學(xué)生獨立思索，然后自主發(fā)言，口述解題思路，允許他們算法的多樣化，然后通過比擬，優(yōu)化算法，到達簡便計算的目的 注：(1)運用平方差公式進展數(shù)的簡便運算的關(guān)鍵是依據(jù)數(shù)的形式特征，把相乘的兩數(shù)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，教學(xué)時可讓學(xué)生自己查找相乘兩數(shù)的形式特征 (2)其次小題要引導(dǎo)學(xué)生留意到一般形式的整式乘法與特別形式的整式乘法的區(qū)分與聯(lián)系，強調(diào)：只有符合公式要求的

8、乘法，才能運用公式簡化運算，其余的運算仍按整式乘法法則進展 穩(wěn)固 教科書第153頁練習(xí)1、2 練習(xí)1口答完成；練習(xí)2采納大組競賽的形式進展，其中(1)(4)由兩個大組完成，(2)(3)由另兩個大組完成 注：讓學(xué)生通過穩(wěn)固練習(xí)，達本錢節(jié)課的根本學(xué)習(xí)目標，并通過豐富的活動形式，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培育競爭意識和集體榮譽感 解釋 你能依據(jù)下面的兩個圖形解釋平方差公式嗎? 多媒體動畫演示圖形的變換過程，體會過程中不變的量，并能用代數(shù)恒等式表示 注：(1)重視公式的幾何背景，可以幫忙學(xué)生運用幾何直觀理解、解決有關(guān)代數(shù)問題 (2)此處將教科書的圖15.3-1分解為兩個圖形，是考慮到學(xué)生數(shù)與形結(jié)合的思想方法把握的

9、不夠嫻熟；利用兩個圖形可以清晰變化的過程，便于聯(lián)想代數(shù)的形式 小結(jié) 談一談：你這一節(jié)課有什么收獲? 注：這兒實行的是先由每個學(xué)生自己小結(jié)，然后由小組代表作答，把教師做小結(jié)變成了課堂上人人做小結(jié)，有助于學(xué)生概括力量、抽象力量、表達力量的提高同時，由于人人都要做小結(jié)，促使學(xué)生留意力集中，學(xué)習(xí)主動性加強 作業(yè) 1必做題：教科書第156頁習(xí)題15.2第1題 2選做題：計算： (1)x2+(y-x)(y+x) (2)20222-20 xx20 xx (3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y) (4)(a+ b)(a- b)-(3a-2b)(3a+2b) 教學(xué)后記 平方差公式教案 3 教學(xué)目標：

10、一、 學(xué)問與技能 、 參加探究平方差公式的過程，進展學(xué)生的推理力量 、 會運用公式進展簡潔的乘法運算。 二、 過程與方法 、 經(jīng)受探究過程，學(xué)會歸納推導(dǎo)出某種特種特定類型乘法并用簡潔的 數(shù)學(xué)式子表達出，即給出公式。 、 在探究過程的教學(xué)中，培育學(xué)生觀看、歸納的力量，進展學(xué)生的符 號感和語言描述力量。 三、 情感與態(tài)度 以探究、歸納公式和簡潔運用公式這一數(shù)學(xué)情景，加深學(xué)生的體驗，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和使用的信念。培育學(xué)生由觀看發(fā)覺歸納驗證使用這一數(shù)學(xué)方法的逐步形成. 教學(xué)重點： 公式的簡潔運用 教學(xué)難點： 公式的推導(dǎo) 教學(xué)方法： 學(xué)生探究歸納與教師講授結(jié)合 課前預(yù)備：投影儀、幻燈片 平方差公式教案 4

11、編者按：由中國教育部國際溝通司與師范司，以及東芝公司共同舉辦的首屆“東芝杯中國師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實踐大賽”20 xx年11月30日在北京落下帷幕。在參與數(shù)學(xué)模擬授課、教案評比、即席演講三項決賽的12所師范大學(xué)中，華南師范大學(xué)的林佳佳奪得冠軍（三項均列第一），北京師范大學(xué)的郗鵬獲亞軍，南京師范大學(xué)的朱嘉雋獲季軍。三名獲獎選手每人除了獲嘉獎高級筆記本電腦一臺之外，并獲得免費赴日進展短期訪學(xué)。本刊登載獲得第一名的教案,以饗讀者. 【課題】 15.2.1 平方差公式 【教材】 人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第151頁至153頁. 【課時安排】 1個課時. 【教學(xué)對象】 八年級（上）學(xué)生.【授

12、課教師】 華南師范大學(xué) 林佳佳. 【教學(xué)目標】 ? 學(xué)問與技能 （1）理解平方差公式的本質(zhì)，即構(gòu)造的不變性，字母的可變性； （2）到達正用公式的水平，形成正向產(chǎn)生式： “+ ”“2 2”. 過程與方法 （1）使學(xué)生經(jīng)受公式的獨立建構(gòu)過程，構(gòu)建以數(shù)的眼光看式子的數(shù)學(xué)素養(yǎng)； （2）培育學(xué)生抽象概括的力量； （3）培育學(xué)生的問題解決力量，為學(xué)生供應(yīng)運用平方差公式來討論等周問題的探究空間。 ? 情感態(tài)度價值觀 訂正片面觀點： ?數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有什么實際意義！學(xué)了數(shù)學(xué)沒有用！?體會數(shù)學(xué)源于實際，高于實際，運用于實際的科學(xué)價值與文化價值。 【教學(xué)重點】 1.平方差公式的本質(zhì)的理解與運用；

13、2.數(shù)學(xué)是什么。 【教學(xué)難點】 平方差公式的本質(zhì)，即構(gòu)造的不變性，字母的可變性。 【教學(xué)方法】 講練結(jié)合、爭論溝通。【教學(xué)手段】計算機、PPT、flash。 【教學(xué)過程設(shè)計】 二、教學(xué)過程設(shè)計 第 2 頁 第 3 頁 第 4 頁 平方差公式教案 5 教學(xué)目標： 學(xué)問目標：進一步使學(xué)生理解把握平方差公式，并通過小結(jié)使學(xué)生理解公式數(shù)學(xué)表達式與文字表達式在應(yīng)用上的差異。 力量目標：進一步培育學(xué)生分析、歸納和探究力量。 情感目標：培育學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。 教學(xué)重難點：公式的應(yīng)用及推廣。 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)提問： 1（1）用較簡潔的代數(shù)式表示下列圖紙片的面積 （2）沿直線裁一刀，將不規(guī)章的右圖重新拼接

14、成一個矩形，并用代數(shù)式表示出你新拼圖形的面積。 講評要點： 沿HD、GD裁開均可，但肯定要讓學(xué)生在裁開之前知道HD=BC=GD=FE=ab， 這樣裁開后才能重新拼成一個矩形。 （3）比擬（1）（2）的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎？ 學(xué)生爭論，自己得出結(jié)果 2（1）表達平方差公式的數(shù)學(xué)表達式及文字表達式； （2）試比擬公式的兩種表達式在應(yīng)用上的差異 說明：平方差公式的數(shù)學(xué)表達式在使用上有三個優(yōu)點（1）公式詳細，易于理解；（2）公式的特征也表現(xiàn)得突出，易于初學(xué)的人“套用”；（3）形式簡潔但數(shù)學(xué)表達式中的a與b有概括性及抽象性，這樣也就造成對詳細問題存在一個判定a、b的問題，否則簡單對公式產(chǎn)生各種主觀

15、上的誤會 3推斷正誤： （1）（4x+3b）（4x3b）4x23b2；（）（2）（4x+3b）（4x3b）16x29；（） 二、新課： 運用平方差公式計算： （1）10298；（2）（y+2）（y2）（y2+4） 填空： （1）a24=（a+2）（）；（2）25x2=（5x）（）；（3）m2n2=（）（）； 思索題：什么樣的二項式才能逆用平方差公式寫成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積？ 平方差公式教案 6 學(xué)習(xí)目標： 1、經(jīng)受探究完全平方公式的過程，進展學(xué)生觀看、溝通、歸納、猜想、驗證等力量。 2、會推導(dǎo)完全平方公式，了解公式的幾何背景，會用公式計算。 3、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法。 學(xué)習(xí)重點：會推導(dǎo)完

16、全平方公式，并能運用公式進展簡潔的計算。 學(xué)習(xí)難點：把握完全平方公式的構(gòu)造特征，理解公式中a.b的廣泛含義。 學(xué)習(xí)過程： 一、學(xué)習(xí)預(yù)備 1、利用多項式乘以多項式計算：(a+b)2 (a-b)2 2、這兩個特別形式的多項式乘法結(jié)果稱為完全平方公式。 嘗試用自己的語言表達完全平方公式： 3、完全平方公式的幾何意義：閱讀課本64頁，完成填空。 4、完全平方公式的構(gòu)造特征： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 左邊是 形式，右邊有三項，其中兩項是 形式，另一項為哪一項 留意：公式中字母的含義廣泛，可以是 ，只要題目符合公式的構(gòu)造特征，就可以運用這一公式，可用符號表示為：

17、()=22+2 5、兩個完全平方公式的轉(zhuǎn)化： (a-b)2= 2=( )2+2( )+( )2= 二、合作探究 1、利用乘法公式計算： (1) (3a+2b)2 (2) (-4x2-1)2 分析：要分清題目中哪個式子相當(dāng)于公式中的a ，哪個式子相當(dāng)于公式中的b 2、利用乘法公式計算： (1) 992 (2) ( )2 分析：要利用完全平方公式，需具備完全平方公式的構(gòu)造，所以992可以轉(zhuǎn)化( )2，( )2可以轉(zhuǎn)化為( )2 3、利用完全平方公式計算： (1) (a+b+c)2 (2) (a-b)3 三、學(xué)習(xí) 對比學(xué)習(xí)目標，通過預(yù)習(xí)，你覺得自己有哪些方面的收獲？又存在哪些方面的懷疑？ 四、自我測

18、試 1、以下計算是否正確，若不正確，請訂正； (1) (-1+3a)2=9a2-6a+1 (2) (3x2- )2=9x4- (3) (xy+4)2=x2y2+16 (4) (a2b-2)2=a2b2-2a2b+4 2、利用乘法公式計算： (1) (3x+1)2 (2) (a-3b)2 (3) (-2x+ )2 (4) (-3m-4n)2 3、利用乘法公式計算： (1) 9992 (2) (100.5)2 4、先化簡，再求值； ( m-3n)2-( m+3n)2+2,其中m=2,n=3 五、思維拓展 1、假如x2-kx+81是一個完全平方公式，則k的值是 2、多項式4x2+1加上一個單項式后，

19、使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是 3、已知(x+y)2=9, (x-y)2=5 ，求xy的值 4、x+y=4 ,x-y=10 ,那么xy= 5、已知x- =4，則x2+ = 平方差公式教案 7 教材分析 平方差公式是在學(xué)習(xí)多項式乘法等學(xué)問的根底上，自然過渡到具有特別形式的多項式的乘法，表達教材從一般到特別的意圖。教材為學(xué)生在教學(xué)活動中獲得數(shù)學(xué)的思想方法、力量、素養(yǎng)供應(yīng)了良好的契機。對它的學(xué)習(xí)和討論，不僅得到了特別的多項式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解，分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了根底，同時也為完全平方公式的學(xué)習(xí)供應(yīng)了方法，因此，

20、平方差公式在教材中有承上啟下的作用，是初中階段一個重要的公式。 學(xué)情分析 學(xué)生是在學(xué)習(xí)積的乘方和多項式乘多項式后學(xué)習(xí)平方差公式的，但在進展積的乘方的運算時，底數(shù)是數(shù)與幾個字母的積時往往把括號漏掉，在進展多項式乘法運算時經(jīng)常會確定錯某些次符號及漏項等問題。學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對公式的構(gòu)造特征以及公式中字母的廣泛的理解，當(dāng)公式中a、b是式時，要把它括號在平方。 教學(xué)目標 1、學(xué)問與技能：經(jīng)受探究平方差公式的過程，會推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進展運算 2、過程與方法：在探究平方差公式的過程中，進展學(xué)生的符號感和歸納力量、推理力量在計算的過程中發(fā)覺規(guī)律，把握平方差公式的構(gòu)造特征，并能用符號表

21、達，從而體會數(shù)學(xué)語言的簡潔美 3、情感、態(tài)度與價值觀：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣鼓舞學(xué)生自己探究，有意識地培育學(xué)生的合作意識與創(chuàng)新力量 教學(xué)重點和難點 重點：平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用 難點：理解把握平方差公式的構(gòu)造特點以及敏捷運用平方差公式解決實際問題 平方差公式教案 8 學(xué)習(xí)目標： 1、能說出有序數(shù)對的定義。 2、能用有序數(shù)對表示實際生活中物體的位置。 學(xué)習(xí)重點：用有序數(shù)對表示位置。 學(xué)習(xí)難點：用有序數(shù)對表示位置。 學(xué)習(xí)過程： 自學(xué)過程： （一）、自學(xué)學(xué)問清單 1、教材64頁，在圖7.11中找出參與數(shù)學(xué)問題爭論的同學(xué)。 小組內(nèi)溝通一下，看一看你們找的位置一樣嗎？ 思索：（2,4）和（4,2）在同一位置

22、嗎？為什么？ 2、請答復(fù)教材65頁：思索題。 3、我們把這種有挨次的_個數(shù)a與b組成的_叫做_，記作( ， )。 （二）、自學(xué)反應(yīng) 練習(xí)1、利用_，可以精確地表示出一個位置， 如電影院的座號，“3排2號”、表示為（3,2），則“2排3號”可以表示為 。 練習(xí)2、如圖（1）所示,一方隊正沿箭頭所指的方向前進,A的位置為三列四行,表示為A(3,4),則B,C,D表示為B( ， ),C（ ， ） D( , ) 練習(xí)3、完成課本第65頁的練習(xí)。 練習(xí)4、用有序數(shù)對表示物體位置時,(3,2)與(2,3)表示的位置一樣嗎?請結(jié)合下面圖形加以說明. 練習(xí)5、如下圖,A的位置為(2,6),小明從A動身,經(jīng) (

23、2,5)(3,5)(4,5)(4,4)(5,4)(6,4),小剛也從A動身,經(jīng) (3,6)(4,6)(4,7)(5,7)(6,7),則此時兩人相距幾個格? 平方差公式教案 9 教學(xué)目的 進一步使學(xué)生理解把握平方差公式，并通過小結(jié)使學(xué)生理解公式數(shù)學(xué)表達式與文字表達式在應(yīng)用上的差異. 教學(xué)重點和難點：公式的應(yīng)用及推廣. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)提問 1.(1)用較簡潔的代數(shù)式表示下列圖紙片的面積. (2)沿直線裁一刀，將不規(guī)章的右圖重新拼接成一個矩形，并用代數(shù)式表示出你新拼圖形的面積. 講評要點： 沿HD、GD裁開均可，但肯定要讓學(xué)生在裁開之前知道 HD=BC=GD=FE=a-b， 這樣裁開后才能重新

24、拼成一個矩形.盼望推出公式： a2-b2=(a+b)(a-b) 2.(1)表達平方差公式的數(shù)學(xué)表達式及文字表達式; (2)試比擬公式的兩種表達式在應(yīng)用上的差異. 說明：平方差公式的數(shù)學(xué)表達式在使用上有三個優(yōu)點.(1)公式詳細，易于理解;(2)公式的特征也表現(xiàn)得突出，易于初學(xué)的人“套用”;(3)形式簡潔.但數(shù)學(xué)表達式中的a與b有概括性及抽象性，這樣也就造成對詳細問題存在一個判定a、b的問題，否則簡單對公式產(chǎn)生各種主觀上的誤會. 依照公式的文字表達式可寫出下面兩個正確的式子： 經(jīng)比照，可以讓人們體會到公式的文字表達式抽象、精確、概括.因而也就“欠”明確(如結(jié)果不知是誰與誰的平方差).故在使用平方差

25、公式時，要全面理解公式的實質(zhì)，敏捷運用公式的兩種表達式，比方用文字公式推斷一個題目能否使用平方差公式，用數(shù)學(xué)公式確定公式中的a與b，這樣才能使自己的計算即精確又敏捷. 3.推斷正誤： (1)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-3b2;()(2)(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9;() (3)(4x+3b)(4x-3b)=4x2+9b2;()(4)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-9b2;() 二、新課 例1 運用平方差公式計算： (1)10298;(2)(y+2)(y-2)(y2+4). 解：(1)10298(2)(y+2)(y-2)(y2+4) =(100+2)(100-2)=

26、(y2-4)(y2+4) =1002-22=10000-4=(y2)2-42=y4-16. =9996; 2.運用平方差公式計算： (1)10397;(2)(x+3)(x-3)(x2+9); (3)59.860.2;(4)(x-)(x2+)(x+). 3.請每位同學(xué)自編兩道能運用平方差公式計算的題目. 例2 填空： (1)a2-4=(a+2)( );(2)25-x2=(5-x)( );(3)m2-n2=( )( ); 思索題：什么樣的二項式才能逆用平方差公式寫成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積? (某兩數(shù)平方差的二項式可逆用平方差公式寫成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積) 練習(xí) 填空： 1.x2-25=( )(

27、); 2.4m2-49=(2m-7)( ); 3.a4-m4=(a2+m2)( )=(a2+m2)( )( ); 例3 計算： (1)(a+b-3)(a+b+3);(2)(m2+n-7)(m2-n-7). 解：(1)(a+b-3)(a+b+3)(2)(m2+n-7)(m2-n-7) =(a+b)-3(a+b)+3=(m2-7)+n(m2-7)-n =(a+b)2-9=a2+2ab+b2-9.=(m2-7)2-n2 =m4-14m2+49-n2. 三、小結(jié) 1.什么是平方差公式?一般兩個二項式相乘的積應(yīng)是幾項式? 2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式? 3.怎樣推斷一個多項式的乘法問題是否可

28、以用平方差公式? 四、布置作業(yè) 1.運用平方差公式計算： (1)(a2+b)(a2-b);(2)(-4m2+5n)(4m2+5n); (3)(x2-y2)(x2+y2);(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2). 2.運用平方差公式計算： (1)6971;(2)5347;(3)503497;(4)4039. 平方差公式教案 10 平方差公式 學(xué)習(xí)目標： 1、能推導(dǎo)平方差公式，并會用幾何圖形解釋公式; 2、能用平方差公式進展嫻熟地計算; 3、經(jīng)受探究平方差公式的推導(dǎo)過程，進展符號感，體會特別一般特別的熟悉規(guī)律. 學(xué)習(xí)重難點： 重點：能用平方差公式進展嫻熟地計算; 難點：探究平方差公式，并用幾何

29、圖形解釋公式. 學(xué)習(xí)過程： 一、自主探究 1、計算：(1)(m+2) (m-2) (2)(1+3a) (1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4)(y+3z) (y-3z) 2、觀看以上算式及其運算結(jié)果，你發(fā)覺了什么規(guī)律?再舉兩例驗證你的發(fā)覺. 3、你能用自己的語言表達你的發(fā)覺嗎? 4、平方差公式的特征： (1)、公式左邊的兩個因式都是二項式。必需是一樣的兩數(shù)的和與差。或者說兩 個二項式必需有一項完全一樣，另一項只有符號不同。 (2)、公式中的a與b可以是數(shù)，也可以換成一個代數(shù)式。 二 、試一試 例1、利用平方差公式計算 (1)(5+6x)(5-6x) (2)(x-2y)(x+2y)

30、 (3)(-m+n)(-m-n) 例2、利用平方差公式計算 (1)(1)(- x-y)(- x+y) (2)(ab+8)(ab-8) (3)(m+n)(m-n)+3n2 三、合作溝通 如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形. (1)請表示圖中陰影局部的面積. (2)小穎將陰影局部拼成了一個長方形，這個長方形的長和寬分別是多少?你能表示出它的面積嗎? a a b (3)比擬(1)(2)的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎? 四、穩(wěn)固練習(xí) 1、利用平方差公式計算 (1)(a+2)(a-2) (2)(3a+2b)(3a-2b) (3)(-x+1)(-x-1) (4)(-4k+3)(-4k-3)

31、2、利用平方差公式計算 (1)803797 (2)398402 3.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中字母a，b表示( ) A.只能是數(shù) B.只能是單項式 C.只能是多項式 D.以上都可以 4.以下多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的是( ) A.(a+b)(b+a) B.(-a+b)(a-b) C.( a+b)(b- a) D.(a2-b)(b2+a) 5.以下計算中，錯誤的有( ) (3a+4)(3a-4)=9a2-4;(2a2-b)(2a2+b)=4a2-b2; (3-x)(x+3)=x2-9;(-x+y)(x+y)=-(x-y)(x+y)=-x2-y2. A.1個 B.2個

32、 C.3個 D.4個來源:中.考.資.源.網(wǎng).ZK5U.COM 6.若x2-y2=30，且x-y=-5，則x+y的值是( ) A.5 B.6 C.-6 D.-5 7.(-2x+y)(-2x-y)=_. 8.(-3x2+2y2)(_)=9x4-4y4. 9.(a+b-1)(a-b+1)=(_)2-(_)2. 10.兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是_. 11.利用平方差公式計算：20 19 . 12.計算：(a+2)(a2+4)(a4+16)(a-2). 五、學(xué)習(xí)反思 我的收獲： 我的懷疑： 六、當(dāng)堂測試 1、以下多項式乘法中能用平方差公

33、式計算的是( ). (A)(x+1)(1+x) (B)(1/2b+b)(-b-1/2a) (C)(-a+b)(-a-b) (D)(x2-y)(x+y2) 2、填空：(1)(x2-2)(x2+2)= (2)(5x-3y)( )=25x2-9y2 3、計算： (1)(-2x+3y)(-2x-3y) (2)(a-2)(a+2)(a2+4) 4.利用平方差公式計算 1003997 14 15 七、課外拓展 以下各式哪些能用平方差公式計算?怎樣用? 1) (a-b+c)(a-b-c) 2) (a+2b-3)(a-2b+3) 3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 4) (a-b+c-d)(-a-

34、b-c-d) 2.2完全平方公式(1) 平方差公式教案 11 教學(xué)目標 1、使學(xué)生理解和把握平方差公式，并會用公式進展計算； 2、留意培育學(xué)生分析、綜合和抽象、概括以及運算力量。 教學(xué)重點和難點 重點：平方差公式的應(yīng)用。 難點：用公式的構(gòu)造特征推斷題目能否使用公式。 教學(xué)過程設(shè)計 一、師生共同討論平方差公式 我們已經(jīng)學(xué)過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應(yīng)當(dāng)有幾項？合并同類項以后，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子。 讓學(xué)生動腦、動筆進展探討，并發(fā)表自己的見解。教師依據(jù)學(xué)生的答復(fù)，引導(dǎo)學(xué)生進一步思索： 兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式？為什么具備這些特點

35、的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什么特征？ （當(dāng)乘式是兩個數(shù)之和以及這兩個數(shù)之差相乘時，積是二項式。這是由于具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會消失互為相反數(shù)的兩項，合并這兩項的結(jié)果為零，于是就剩下兩項了。而它們的積等于乘式中這兩個數(shù)的平方差） 繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特別形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進展計算。以后常常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式。 在此根底上，讓學(xué)生用語言表達公式。 二、運用舉例變式練習(xí) 例1計算(1+

36、2x)(1-2x)。 解：(1+2x)(1-2x) =12-(2x)2 =1-4x2. 教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學(xué)生說出此題中a，b分別表示什么。 例2計算(b2+2a3)(2a3-b2)。 解：(b2+2a3)(2a3-b2) =(2a3+b2)(2a3-b2) =(2a3)2-(b2)2 =4a6-b4. 教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進展計算。 課堂練習(xí) 運用平方差公式計算： (1)(x+a)(x-a)； (2)(m+n)(m-n)； (3)(a+3b)(a-3b)； (4)(1-5y)(l+5y)。 例3計算(-4

37、a-1)(-4a+1)。 讓學(xué)生在練習(xí)本上計算，教師巡察學(xué)生解題狀況，讓采納不同解法的兩個學(xué)生進展板演。 解法1：(-4a-1)(-4a+1) =-(4a+l)-(4a-l) =(4a+1)(4a-l) =(4a)2-l2 =16a2-1. 解法2：(-4a-l)(-4a+l) =(-4a)2-l =16a2-1. 依據(jù)學(xué)生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的方法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式，應(yīng)用平方差公式，寫出結(jié)果。解法2把-4a看成一個數(shù)，把1看成另一個數(shù)，直接寫出(-4a)2-l2后得出結(jié)果。采納解法2的同學(xué)比擬留意平方差公式的特征，

38、能看到問題的本質(zhì)，運算簡捷。因此，我們在計算中，先要分析題目的數(shù)字特征，然后正確應(yīng)用平方差公式，就能比擬簡捷地得到答案。 課堂練習(xí) 1、口答以下各題： (l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)； （3）(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)。 2、計算以下各題： （1）(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)； 教師巡察學(xué)生練習(xí)狀況，請不同解法的學(xué)生，或發(fā)生錯誤的學(xué)生板演，教師和學(xué)生一起分析解法。 三、小結(jié) 1、什么是平方差公式？ 2、運用公式要留意什么？ （1）要符合公式特征才能運用平方差公式； （2）有些式子外表不能應(yīng)用公式，但實

39、質(zhì)能應(yīng)用公式，要留意變形。 四、作業(yè) 1、運用平方差公式計算： (l)(x+2y)(x-2y)；(2)(2a-3b)(3b+2a)； （3）(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)； （5）(2x3+15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)； 平方差公式教案 12 一、內(nèi)容解析 平方差公式是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)運算、列簡潔的代數(shù)式、一次方程及不等式、整式的加減及整式乘法等學(xué)問的根底上，在學(xué)生已經(jīng)把握了多項式乘法之后，自然過渡到具有特別形式的多項式的乘法，是從一般到特別的認知規(guī)律的典型范例.對它的學(xué)習(xí)和討論，不僅給出了特別的多項式乘法的簡便算法，而且為以

40、后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了根底，同時也為完全平方公式的學(xué)習(xí)供應(yīng)了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要地位，是初中階段的第一個公式. 本節(jié)課的教學(xué)重點是：經(jīng)受探究平方差公式的全過程，并能運用公式進展簡潔的運算. 二、目標和目標解析 目標 1.經(jīng)受平方差公式的探究過程，進一步進展學(xué)生的符號感和推理力量、歸納力量； 2.把握平方差公式的構(gòu)造特征，能運用公式進展簡潔的運算； 3.會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法. 目標解析： 1.讓學(xué)生經(jīng)受“特例歸納猜測驗證用數(shù)學(xué)符號表示”這一數(shù)學(xué)活動過程，積存數(shù)學(xué)活動的閱歷，進

41、一步進展學(xué)生的符號感、推理力量、歸納力量，同時體會數(shù)學(xué)的簡潔美、培育他們的合情推理和歸納的力量以及在解決問題過程中與他人合作溝通的重要性. 2.讓學(xué)生了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，把握平方差公式的構(gòu)造特征，并能敏捷運用平方差公式解決問題.在數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)學(xué)生觀看、分析公式的構(gòu)造特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習(xí)中，對發(fā)生的錯誤做詳細分析，加深學(xué)生對公式的理解. 3.通過自主探究與合作溝通的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)受探究新知、穩(wěn)固新知和拓展新知這一過程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增加學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣.同時，讓學(xué)生在公式的運用中積存解題的閱歷，體會勝利的喜悅. 三、教學(xué)問題診斷

42、分析 學(xué)生已嫻熟把握了冪的運算和整式乘法，但在進展多項式乘法運算時經(jīng)常會確定錯某些項符號及漏項等問題學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對公式的構(gòu)造特征以及公式中字母的廣泛含義學(xué)生的理解因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的構(gòu)造特征，并運用變式訓(xùn)練提醒公式的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對公式的理解 本節(jié)課的教學(xué)難點：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，敏捷運用平方差公式進展計算 平方差公式教案 13 教學(xué)建議 一、學(xué)問構(gòu)造 二、重點、難點分析 本節(jié)教學(xué)的重點是把握公式的構(gòu)造特征及正確運用公式難點是公式推導(dǎo)的理解及字母的廣泛含義平方差公式是進一步學(xué)習(xí)完全平方公式、進展相關(guān)代數(shù)運算與變形的.重要學(xué)問根底 1平方差公

43、式是由多項式乘法直接計算得出的： 與一般式多項式的乘法一樣，積的項數(shù)是多項式項數(shù)的積，即四項合并同類項后僅得兩項 2這一公式的構(gòu)造特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全一樣，另一項互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項的平方差，即一樣項的平方與相反項的平方差公式中的字母可以表示詳細的數(shù)（正數(shù)和負數(shù)），也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式 只要符合公式的構(gòu)造特征，就可運用這一公式例如 在運用公式的過程中，有時需要變形，例如，變形為，兩個數(shù)就可以看清晰了 3關(guān)于平方差公式的特征，在學(xué)習(xí)時應(yīng)留意： （1）左邊是兩個二項式相乘，并且這兩上二項式中有一項完全一樣，另一項互為相反數(shù) （2）右邊是乘式中兩項

44、的平方差（一樣項的平方減去相反項的平方） （3）公式中的和可以是詳細數(shù)，也可以是單項式或多項式 （4）對于形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘，就可以運用上述公式來計算 三、教法建議 1可以將“兩個二項式相乘，積可能有幾項”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特征，上升到肯定的理論熟悉，加以實踐檢驗，從而培育學(xué)生觀看、概括的力量 2通過學(xué)生自己的試算、觀看、發(fā)覺、總結(jié)、歸納，得出為什么有的兩個二項式相乘，其積為兩項，由于其中兩項是兩個數(shù)的平方差，而另兩項恰是互為相反數(shù)，合并同類項時為零，即 (a+b)(a-b)=a2+ab-ab-

45、b2=a2-b2 這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的實質(zhì)講清晰了 3通過例題、練習(xí)與小結(jié)，教會學(xué)生如何正確應(yīng)用平方差公式這里特殊要求學(xué)生留意公式的構(gòu)造，教師可以用對應(yīng)思想來加強對公式構(gòu)造的理解和訓(xùn)練，如計算(1+2x)(1-2x)， (1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2 (a+b)(a-b)=a2-b2 這樣，學(xué)生就能正確應(yīng)用公式進展計算，不簡單出過失 另外，在計算中不肯定用一種模式刻板地應(yīng)用公式，可以結(jié)合以前學(xué)過的運算法則，經(jīng)過變形后敏捷應(yīng)用公式，培育學(xué)生解題的敏捷性 教學(xué)目標 1使學(xué)生理解和把握平方差公式，并會用公式進展計算； 2留意培育學(xué)生分析、綜合和抽象、概括以及運

46、算力量 教學(xué)重點和難點 重點：平方差公式的應(yīng)用 難點：用公式的構(gòu)造特征推斷題目能否使用公式 教學(xué)過程設(shè)計 一、師生共同討論平方差公式 我們已經(jīng)學(xué)過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應(yīng)當(dāng)有幾項？合并同類項以后，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子 讓學(xué)生動腦、動筆進展探討，并發(fā)表自己的見解教師依據(jù)學(xué)生的答復(fù)，引導(dǎo)學(xué)生進一步思索： 兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式？為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什么特征？ (當(dāng)乘式是兩個數(shù)之和以及這兩個數(shù)之差相乘時，積是二項式這是由于具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會消失互為相反數(shù)的

47、兩項，合并這兩項的結(jié)果為零，于是就剩下兩項了而它們的積等于乘式中這兩個數(shù)的平方差) 繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特別形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進展計算以后常常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式 在此根底上，讓學(xué)生用語言表達公式 二、運用舉例變式練習(xí) 例1計算(1+2x)(1-2x) 解：(1+2x)(1-2x) =12-(2x)2 =1-4x2 教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學(xué)生說出此題中a，b分別表示什么 例2計算(b2+2a

48、3)(2a3-b2) 解：(b2+2a3)(2a3-b2) (2a3+b2)(2a3-b2) (2a3)2-(b2)2 4a6-b4 教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進展計算 課堂練習(xí) 運用平方差公式計算： (l)(x+a)(x-a)；(2)(m+n)(m-n)； (3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y) 例3計算(-4a-1)(-4a+1) 讓學(xué)生在練習(xí)本上計算，教師巡察學(xué)生解題狀況，讓采納不同解法的兩個學(xué)生進展板演 解法1：(-4a-1)(-4a+1) =-(4a+l)-(4a-l) =(4a+1)(4a-l) =(4a)2-

49、l2 =16a2-1 解法2：(-4a-l)(-4a+l) =(-4a)2-l =16a2-1 依據(jù)學(xué)生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的方法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式，應(yīng)用平方差公式，寫出結(jié)果解法2把-4a看成一個數(shù)，把1看成另一個數(shù)，直接寫出(-4a)2-l2后得出結(jié)果采納解法2的同學(xué)比擬留意平方差公式的特征，能看到問題的本質(zhì)，運算簡捷因此，我們在計算中，先要分析題目的數(shù)字特征，然后正確應(yīng)用平方差公式，就能比擬簡捷地得到答案 課堂練習(xí) 1口答以下各題： (l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)； (3)(-a-b)(

50、-a+b)；(4)(a-b)(-a-b) 2計算以下各題： (1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)； 教師巡察學(xué)生練習(xí)狀況，請不同解法的學(xué)生，或發(fā)生錯誤的學(xué)生板演，教師和學(xué)生一起分析解法 三、小結(jié) 1什么是平方差公式？ 2運用公式要留意什么？ (1)要符合公式特征才能運用平方差公式； (2)有些式子外表不能應(yīng)用公式，但實質(zhì)能應(yīng)用公式，要留意變形 四、作業(yè) 1運用平方差公式計算： (l)(x+2y)(x-2y)；(2)(2a-3b)(3b+2a)； (3)(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)； (5)(2x3+15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)； 2計算： (1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)； (3)x(x-3)-(x+7)(x-7)；(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4) 平方差公式教案 14 一、教學(xué)目標 (一)教學(xué)目標 1.了解平方差公式的幾何背景. 2.會用面積法推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進展簡潔的運算. 3.體會符號運算對證明猜測的作用. (二)力量目標 1.用符號運算