高中物理奧林匹克競(jìng)賽-0數(shù)學(xué)準(zhǔn)備(共65張)課件

1、力 學(xué)0數(shù)學(xué)準(zhǔn)備2022/10/21力 學(xué)0數(shù)學(xué)準(zhǔn)備2022/9/281學(xué)而時(shí)習(xí)之不亦悅乎 孔子論語(yǔ)2022/10/22學(xué)而時(shí)習(xí)之不亦悅乎 孔子論語(yǔ)2022/9/282王國(guó)維人間詞話3古今之成大事業(yè)、大學(xué)問(wèn)者，必經(jīng)過(guò)三種之境界：第一種境界是：“昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)，獨(dú)上高樓，望盡天涯路?！彼纬淌?鵲踏枝（高瞻遠(yuǎn)矚立大志 ）第二種境界是：“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴?！彼纬?蝶戀花（心甘情愿吃大苦）第三種境界是：“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處?！蹦纤涡翖壖?青玉案（百折不撓成大業(yè) ）王國(guó)維人間詞話3古今之成大事業(yè)、大學(xué)問(wèn)者，必經(jīng)過(guò)三種44數(shù)學(xué)準(zhǔn)備知識(shí) 數(shù)學(xué)和物理學(xué)是緊密相關(guān)的

2、，在一個(gè)領(lǐng)域的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了在另一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的進(jìn)步。如經(jīng)典力學(xué)與微積分、矢量，統(tǒng)計(jì)物理與概率論，量子力學(xué)與算符理論等。較早地掌握一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于物理學(xué)的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是大有益處的。一、微積分初步（思想方法?。?恩格斯指出：“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來(lái)不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過(guò)程：運(yùn)動(dòng)”。 三國(guó)時(shí)期魏人劉徽（公元263年）總結(jié)前人成果，提出了“割圓術(shù)”，他說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！保ㄕ?，二 十四直到正192邊形）“無(wú)限細(xì)分，無(wú)限求和”思想方法。 保留到現(xiàn)在的河北趙州石拱橋是隋代李春（公元581-6182022/

3、10/25數(shù)學(xué)準(zhǔn)備知識(shí) 數(shù)學(xué)和物理學(xué)是緊密相關(guān)的，在一個(gè) 局部可以“以直代曲”的基本思想。物理學(xué)中的幾個(gè)實(shí)例變速直線運(yùn)動(dòng)的速度（瞬時(shí)速度） 當(dāng)物體作等速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任何時(shí)刻的速度為 S為t時(shí)間物體所經(jīng)過(guò)的路程，但物體所作的運(yùn)動(dòng)往往是變速的，而上述公式只能反映物體在一段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)某段路程的平均速度，不能反映物體在某一時(shí)刻的速度?，F(xiàn)在我們就來(lái)討論如何精確地刻劃物體作變速直線運(yùn)動(dòng)在任一時(shí)刻的速度以及它的計(jì)算方法。年）所設(shè)計(jì)的，這座跨度達(dá)37m的大石拱橋是用一條條長(zhǎng)方形長(zhǎng)石砌成的。一段段直的條石卻砌成了一整條弧形曲線的拱圈。2022/10/26 局部可以“以直代曲”的基本思想。年）先討論自由落體運(yùn)

4、動(dòng)設(shè)物體從O點(diǎn)開(kāi)始下落，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0落到M0點(diǎn)，當(dāng)時(shí)間由t0t0+t時(shí)，物體由M0點(diǎn)落到M點(diǎn)。兩端除以t，得物體在t時(shí)間內(nèi)的平均速度：M0MS0OS2022/10/27先討論自由落體運(yùn)動(dòng)兩端除以t，得物體在t時(shí)間內(nèi)的平均速度顯然，這個(gè)平均速度 是隨 的變化而變化的。在很小的一段時(shí)間 內(nèi)，物體運(yùn)動(dòng)的快慢變化不大，可以近似地看作是等速的。因此當(dāng) 很小時(shí)，可用 來(lái)近似地描述物體在 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢，可以想象， 越小，這種描述的精確性就越好，若 時(shí)， 的極限存在，那么這個(gè)極限值就叫做物體在 時(shí)刻的速度，用 表示當(dāng)然，可以用同樣的方法來(lái)討論一般變速直線運(yùn)動(dòng)的速度，設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為2022

5、/10/28顯然，這個(gè)平均速度 是隨 的變化而瞬時(shí)加速度 一般來(lái)說(shuō)，瞬時(shí)速度或瞬時(shí)速率v也是t的函數(shù)：v=v(t)在許多實(shí)際問(wèn)題中，只有速度或速率的概念還不夠，我們還需要知道速度隨時(shí)間變化的快慢，即需要建立“加速度”的概念，舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)2022/10/29瞬時(shí)加速度舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)2022/9/289對(duì)于一般的變速運(yùn)動(dòng)， 也是與 有關(guān)的，這時(shí)為了反映出某一時(shí)刻速度變化的快慢，必須引入瞬時(shí)加速度的概念熱容（比熱） 下面是在壓力一定的條件下，對(duì)單位質(zhì)量的物質(zhì)來(lái)討論的（定壓熱容），設(shè)物質(zhì)原來(lái)的溫度是T0，當(dāng)溫度發(fā)生變化時(shí)，就要吸收或放出熱量， 應(yīng)當(dāng)是T的函數(shù) 當(dāng)溫度從 時(shí)

6、，吸收熱量為 2022/10/210對(duì)于一般的變速運(yùn)動(dòng)， 也是與 有關(guān)的，這時(shí)則 就是該物質(zhì)在 這一溫度范圍內(nèi)，溫度每升高一度平均所吸收的熱量，即物質(zhì)在此溫度范圍內(nèi)的平均熱容 ，當(dāng) 時(shí)， 就轉(zhuǎn)化為該物質(zhì)在溫度 的熱容一般來(lái)說(shuō)，同樣的物質(zhì)在溫度不同時(shí)其熱容也是不同的，亦即 是T的函數(shù)。上面幾例都是當(dāng)自變量的增量趨近于零時(shí)，函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限。在自然科學(xué)和工程技術(shù)問(wèn)題中，還有許多其它的量具有這種數(shù)學(xué)形式。如果抽去這些問(wèn)題的實(shí)際意義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上的共性，就得出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義。2022/10/211則 就是該物質(zhì)在 若函數(shù) 在區(qū)間（a,b）內(nèi)的每點(diǎn)都可導(dǎo)，就說(shuō)函數(shù) 在區(qū)間（a,

7、b）內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)，函數(shù) 對(duì)于每一個(gè) ，都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，這就構(gòu)成了x的一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)新的函數(shù)叫做 對(duì)x的導(dǎo)函數(shù)。記為：顯然，函數(shù) 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù) 在點(diǎn)x=x0的函數(shù)值，即有了導(dǎo)數(shù)的定義后，前面幾式可寫(xiě)成：2022/10/212若函數(shù) 在區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一、導(dǎo)數(shù)的基本概念 1.引例引例子1、如何求出變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度平均速度：瞬時(shí)速度：2022/10/213一、導(dǎo)數(shù)的基本概念 1.引例引例子1、如何求出變速直線運(yùn)設(shè)函數(shù)y = f (x) 在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x有增量x時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量：如果極限存在，則稱這個(gè)極限為函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)

8、數(shù)，并說(shuō) y = f (x)在x處可導(dǎo)，記為:2.導(dǎo)數(shù)的定義2022/10/214設(shè)函數(shù)y = f (x) 在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)和差積商的求導(dǎo)2022/10/215導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)和差積商的求導(dǎo)2022/9/2815復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)162022/10/2注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵在于：（1) 將復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)基本初等函數(shù)；（2) 分別求出這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并相乘；（3) 將所設(shè)中間變量還原復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)162022/9/28注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵172022/10/24.基本求導(dǎo)公式172022/9/284.基本求導(dǎo)公式18181919202021212222

9、23232424abxyo1 曲邊梯形的面積一、定積分問(wèn)題舉例25所圍成和思想：整體分割（一組垂直于x軸直線） 小矩形面積近似表達(dá)小曲邊梯形的面積求和得整體近似值。當(dāng)分割無(wú)限細(xì)密時(shí)，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值。abxyo1 曲邊梯形的面積一、定積分問(wèn)題舉例25所圍成和思abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）2022/10/226abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩曲邊梯形如圖2022/10/227曲邊梯形如圖2022/9/2827曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積

10、為2022/10/228曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為2022/9/2828二、定積分的定義29定義二、定積分的定義29定義記為被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和2022/10/230記為被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和2022注：2022/10/231注：2022/9/2831曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值定積分的幾何意義32曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值定積分的幾何意義32幾何意義：2022/10/233幾何意義：2022/9/2833定理 3（微積分基本公式）三、牛頓萊布尼茨公式34定理 3（微積分基本公式）三、牛頓萊布尼茨公式34例1 求 例

11、2 設(shè) , 求 . 原式解解2022/10/235例1 求 例2 設(shè) 思想：整體分割（一組垂直于x軸直線） 小矩形面積近似表達(dá)小曲邊梯形的面積求和得整體近似值。當(dāng)分割無(wú)限細(xì)密時(shí)，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值。（1）任取分點(diǎn)：把曲邊梯形的底a,b分成n個(gè)小區(qū)間小區(qū)間 的長(zhǎng)度記為第 個(gè)小曲邊梯形的面積記為2022/10/236思想：整體分割（一組垂直于x軸直線） 小矩形面積近似表達(dá)（2）在第 個(gè)小曲邊梯形的底 上任取一點(diǎn) 它所對(duì)應(yīng)的值是（3）把n個(gè)小矩形面積相加得和式即（4）分割越細(xì)， 就越接近于曲邊梯形的面積A，當(dāng)最大的小區(qū)間長(zhǎng)度越近于零，即 時(shí)，和式 的極限就是A，即可見(jiàn)，

12、曲邊梯形的面積是一個(gè)和式的極限。2022/10/237（2）在第 個(gè)小曲邊梯形的底 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)一物體沿直線運(yùn)動(dòng)，已知速度 是時(shí)間區(qū)間a,b上t的連續(xù)函數(shù)，且 ，求這物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)路程。對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)：路程=速度時(shí)間，現(xiàn)在速度是變量。因此，所示路程S不能直接求，因在很短的一段時(shí)間里速度的變化很小，近似于等速，仿照前例來(lái)計(jì)算路程S。（1）任取分點(diǎn)：（2）（3）2022/10/238變速直線運(yùn)動(dòng)的路程（1）任取分點(diǎn)：2022/9/2838（4）當(dāng) 時(shí)，和式 的極限就是路程S的精確值，即可見(jiàn)，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程也是一個(gè)和式的極限。變力的功 當(dāng)力與物體移動(dòng)方向一致時(shí)，物體由位置 移到

13、 的過(guò)程中，恒力F作功為 若力F是隨位置變化的，即F是S的函數(shù)：F=F（S）則Sa=S0S1S2Sn=SbF2022/10/239（4）當(dāng) 時(shí)，和式 在上述例子中，雖然所計(jì)算的量具有不同的實(shí)際意義，前者是幾何量，后者是物理量，若抽去它們的實(shí)際意義，可以看出計(jì)算這些量的思想方法和步驟是相同的。 為了求整體量F，先把這個(gè)整體分割成n個(gè)部分量 ，在每一個(gè)小的部分上，以“直”代“曲”，或以“不變”代“變”，求得每個(gè)部分量的近似值 ，然后把這些值累加起來(lái)，就得到整體量的近似值，當(dāng)把整體越分越細(xì)時(shí)，整體量的近似值也越來(lái)越接近于它的精確值。定義：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間a,b上有定義，任取分點(diǎn)將區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)

14、間 ，其長(zhǎng)度為在每個(gè)小區(qū)間上 任取一點(diǎn)2022/10/240 在上述例子中，雖然所計(jì)算的量具有不同的實(shí)際意如果不論對(duì)區(qū)間a,b采取何種分法及 如何選取，當(dāng)最大小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零，和式極限存在，則此極限值叫做函數(shù) 在區(qū)間a,b上的定積分。記作即a,b積分區(qū)間積分號(hào)；被積函數(shù)；被積表達(dá)式；積分變量； 積分的下限與上限。2022/10/241如果不論對(duì)區(qū)間a,b采取何種分法及 如何選根據(jù)定義，以上幾式可寫(xiě)作為：和式極限直接求往往非常麻煩，可用牛頓萊布尼茲公式去求。（通過(guò)不定積分計(jì)算定積分！）定積分的幾何意義：在不同的實(shí)際問(wèn)題中，積分 可以有完全不同的實(shí)際意義，但在幾何圖形上，它都表示由曲線 x軸及直

15、線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形的面積。2022/10/242根據(jù)定義，以上幾式可寫(xiě)作為：和式極限直接求往往非常麻煩，可用OxyA3A1A2a cdbxyab2022/10/243OxyA3A1A2a cdbxyab2022/9/2843 總之，定積分的幾何意義就是它的數(shù)值在幾何上都可用曲邊梯形面積的代數(shù)和來(lái)表示。2022/10/244 總之，定積分的幾何意義就是它的數(shù)值在幾何上都一、原函數(shù)與不定積分的概念如果在區(qū)間 內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 即 都有 原函數(shù)：那么函數(shù)就稱為 dF(x)=f(x)dx或 在區(qū)間 內(nèi)原函數(shù).不定積分：在區(qū)間 內(nèi)，函數(shù) 的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù) 稱為 在區(qū)間 內(nèi)的

16、不定積分，記為 .I或F(x)f(x)f(x)dxIII2022/10/245一、原函數(shù)與不定積分的概念如果在區(qū)間 內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù) 的任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量2022/10/246任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量2022/9/2二、 基本積分表積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.是常數(shù));2022/10/247二、 基本積分表積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)2022/10/2482022/9/2848三、 不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)函數(shù) 及 的原函數(shù)存在，則性質(zhì)2 設(shè)函數(shù) 的原函數(shù)存在， 為非零常數(shù)，則性質(zhì)1可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情

17、況往往利用性質(zhì)對(duì)被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.2022/10/249三、 不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)函數(shù) 及 的原例1 求當(dāng) 時(shí)，是 在 內(nèi)的一個(gè)原函數(shù) 即在內(nèi)，是 在 內(nèi)的一個(gè)原函數(shù) 即在內(nèi)當(dāng)時(shí)，解：2022/10/250例1 求當(dāng) 時(shí)，是 在 內(nèi)的一個(gè)例2 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解：設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知即 是 的一個(gè)原函數(shù)由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為函數(shù) 的原函數(shù)的圖形稱為 的積分曲線。微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.2022/10/251例2 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這

18、例3 求積分解：根據(jù)積分公式（2）2022/10/252例3 求積分解：根據(jù)積分公式（2）2022/9/2852例4求解：例5求解：例6求解：2022/10/253例4求解：例5求解：例6求解：2022/9/2853二、矢量1 矢量及其解析表示 物理學(xué)中有各種物理量，像質(zhì)量、密度、能量、溫度、功等，在選定單位后僅需用一個(gè)數(shù)字來(lái)表示其大小，這類(lèi)物理量叫做標(biāo)量；而像位移、速度、加速度、動(dòng)量、力等，除數(shù)量的大小外還具有一定的方向，這類(lèi)物理量叫做矢量。嚴(yán)格地說(shuō)，作為一個(gè)矢量，還必須遵從一定的合成法則與隨坐標(biāo)變換的法則。 通常手寫(xiě)時(shí)用字母上加箭頭（如 ）來(lái)表示一個(gè)矢量，印刷中則常用黑體字（如A）。在作圖

19、時(shí)，用一個(gè)加箭頭的線段來(lái)代表矢量，線段的長(zhǎng)度正比于矢量的大小，箭頭的方向表示矢量的方向。2022/10/254二、矢量 物理學(xué)中有各種物理量，像質(zhì)量、密度、 用直角坐標(biāo)系來(lái)描述空間和表示其中的矢量，是最基本的方法。n維的直角坐標(biāo)系有n個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸。我們先從二維空間說(shuō)起。 如圖所示，在平面上取二維直角坐標(biāo)系xOy，在平面某點(diǎn)P上有矢量A，其大小為A，與x軸的夾角為 ，則它在x、y軸上的投影分別為 分別稱為矢量A的x分量和y分量。應(yīng)注意，一個(gè)矢量的分量是代數(shù)量，即其值是可正可負(fù)的。分別沿坐標(biāo)軸Ox和Oy取單位矢量（即長(zhǎng)度為1的矢量） 和 ，則有這里 、 稱為坐標(biāo)系的基矢。當(dāng)坐標(biāo)系及其基矢選定

20、后，數(shù)列（ ）可以把矢量A的全部特征確定下來(lái)，所以我們也可以說(shuō)矢量是個(gè)按一定順序AAPxyO2022/10/255 用直角坐標(biāo)系來(lái)描述空間和表示其中的矢量，是最排列的數(shù)列，如數(shù)列（2，1）代表 的矢量，數(shù)列（0，5）代表 的矢量，等等。矢量大小的平方等于它的分量的平方和：如圖所示為三維空間里的直角坐標(biāo)系，這里有三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸Ox、Oy和Oz，在空間某點(diǎn)P上的矢量A大小為A，方向與Ox、Oy、Oz軸的夾角分別為 、 、 ，則它在Ox、Oy、 Oz軸上的投影，即x、y、z三個(gè)分量，分別為這里 稱為這矢量的方向余弦。因?yàn)榉较蛴嘞覞M足下列恒等式：xyz2022/10/256排列的數(shù)列，如數(shù)列（2

21、，1）代表 三個(gè)數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，它們把矢量的方向唯一地確定下來(lái)。 通常用 、 、 來(lái)代表三維直角坐標(biāo)系的基矢。在三維的情況下，正交基矢有左手和右手兩種系統(tǒng)。設(shè)想基矢 沿小于180的角度轉(zhuǎn)向基矢 。如圖a所示將右手的四指彎曲，代表上述旋轉(zhuǎn)方向，則伸直的姆指向基矢 。如此規(guī)定的正交基矢系統(tǒng)稱為右手系統(tǒng)。若用左手代替上述操作過(guò)程所規(guī)定的正交基矢系統(tǒng)如圖b，則是左手系統(tǒng)。我們按照國(guó)際慣例，一律采用右手系統(tǒng)。a.右手系b.左手系2022/10/257三個(gè)數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，它們把矢量的方向唯一地確定下來(lái)。a有了正交基矢，矢量可以寫(xiě)成解析形式：三維的矢量要用長(zhǎng)度為3的數(shù)列（ ）來(lái)表示，如（1，3，0）、（2，0，1）等。與二維的情況類(lèi)似，我們有2 矢量的加減法 從上面我們看到，一個(gè)n維的矢量要看成是一個(gè)長(zhǎng)度為n的有序數(shù)列（ ）。從這種意義上說(shuō)，標(biāo)量是個(gè)一維的矢量。把標(biāo)量的加減運(yùn)算推廣到矢量，我們有2022/10/258有了正交基矢，矢量可以寫(xiě)成解析形式：2 矢量的加減法 從矢量的疊加圖不難看出，上述運(yùn)算（解析運(yùn)算）與通常矢量合成的平行四邊形法則（幾何運(yùn)算）是一致的。OA+BBAPAxBxAx+BxAyByAy +By2022/10/259從矢量的疊加圖不難看出，上述運(yùn)算（解析運(yùn)算）與通常矢量合成的3 矢量的標(biāo)積 設(shè)A和B是兩個(gè)任