課件第六章6.2二次型

1、6.2 正定二次型返回 f (x1, x2 , , xn) = x12 + x22 + + xn2 正定矩陣 A 首先是一個實(shí)對稱矩陣. (a1, a2, , an) 0, ai R, f (a1, a2 , , an) = a12 + a22 + + an2 0. 定義 如果任一非零實(shí)向量 X = (x1, x2 , , xn)T 都使f (X) = X TAX 0, 則稱 f (X) 為正定二次型， f (X)的矩陣A 稱為正定矩陣. f (X) = X TAX 為正定二次型 A 為正定矩陣.例1 設(shè)A, B 都是n 階正定矩陣. 證明：kA + lB也是正定矩陣 (k 0, l 0).證

2、 A, B 都是n 階正定矩陣 X Rn , X 0 , 有 X TAX 0 , X TBX 0 X T (kA + l B)X = k X TAX + l X TBX 0 kA + l B 為正定矩陣.例2 設(shè)A = (aij)nn 是正定矩陣. 證明: aii 0(i=1,n).證 設(shè)某 aii 0， 取 X = (0, , 0, 1, 0, , 0)T第 i 個分量 則 X TAX = aii 0， 矛盾. 所以 aii 0， (i = 1, , n).定理1 f (X) = X TAX 正定 A 的特征值全大于零.證： X Rn , X 0 , 有 Y = P -1X 0 , f (X

3、)是正定二次型.：若 A正定且有某i 0,不妨設(shè)1 0, 取 Y = (1, 0, , 0)T, 則 X = PY 0,f (X) = g(Y) = 1 1 + 2 0 + + n 0 = 1 0與f (X) 0 矛盾，故 i 0, (i = 1, , n) 例3 設(shè)A是n 階正定矩陣，證明: |A + I | 1.證 A是正定矩陣 A的特征值全為正實(shí)數(shù)：1 ，2 ，n存在正交矩陣C, 使 C-1AC = = diag(1，2 ，n)|A + I | = | C C-1 + I |= | C C-1 + C I C-1 |= | C ( + I ) C-1 |= | C | | + I | |

4、C-1 | = | + I | = (1+ 1)(2 + 1) (n + 1) 1 f (X) = X TAX 可用正交變換X = PY 化為標(biāo)準(zhǔn)形 1 y12 + 2 y22 + + n yn2其中 1 , 2 , , n 是A 的特征值. 由此可得定理1 的 推論 n 元二次型 f (X) = X TAX正定 f (X)的正慣性指數(shù)為 n. 合同變換不改變二次型的正負(fù)慣性指數(shù)，因此合同變換也不改變二次型的正定性.定理2 f (X) = X TAX 正定 A 與I 合同.證：設(shè) f (X)=X TAX 正定, 則存在正交變換X=PY使 1 y12 + 2 y22 + + n yn2 ， i

5、0(i=1,n) X = PY = P Z = QZ, (Q = P)則 f (X) = z12 + z22 + + zn2 = ZT I Z.QT A Q = I.所以， A 與 I 合同.：設(shè) A 與 I 合同，則存在可逆矩陣P, 使 PT A P = I.令 X = PY ，則 f (X)=X TAX =(PY)TA(PY) = YT PT APY = YT I Y.X 0 可得 Y = Q-1 X 0 f (X) = X TAX = g(Y) = y12 + y22 + + yn2 所以 f (X)是正定二次型.例5 設(shè)A是正定矩陣，證明：A-1是正定矩陣.證因 A 是正定矩陣，所以，

6、存在可逆矩陣 P， 使 PT A P = I.（PT A P)-1 = P-1 A-1 (PT )-1 = P-1 A-1 (P-1 )T = I令 Q = (P-1 )T, 則 QT A-1 Q = I. 所以， A-1 為正定矩陣. 定理3 f (X) = X TAX 正定 A 的順序主子式全大于零.例6 討論下面二次型的正定性：f3 (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 2x2 x3;f3 (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 2x2 x3; f3 的矩陣 所以 f3 是正定二次型.例

7、7 f (x1, x2 , x3) = x12 + 4x22 + 2x32 + 2t x1x2 + 2 x1x3,t 為何值時，f 為正定二次型？解需所以，當(dāng)時f 為正定次型 f (X) = X TAX 為正定二次型 A 為正定矩陣. 定理4 對于實(shí)對稱矩陣 A，以下命題等價：(1) A為正定矩陣；(2) A的特征值全為正實(shí)數(shù)；(3) A與單位矩陣合同；(4) A的各階順序主子式全大于零.例2 設(shè)實(shí)對稱矩陣A = (aij)nn 是正定矩陣. b1, b2, , bn是任意n個非零實(shí)數(shù)，證明: B = (aii bibj)nn為正定矩陣.證正定矩陣A的k 階順序主子式 | Ak | 0 , (k = 1, , n).所以， | Bk | 0 , (k = 1, , n). B 為正定矩陣. 定義2 對于二次型 f (X) = X TAX及任一實(shí)向量X,(1)如果f (X) = X TAX 0 (k