數(shù)學(xué)模型-數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)-傳染病模型1課件

1、 傳染病模型 王秀蓮一、問題在人類的生活中，一直受傳染病的困繞，盡管諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的疾病已經(jīng)得到有效的控制，但是一些新的、不斷變異著的傳染病卻悄悄向人類襲來，如20世紀(jì)80年代開始的十分險惡的愛滋病；21世紀(jì)第一個在世界范圍內(nèi)傳播的SARS（俗稱非典型肺炎）等等，給人們的生命財產(chǎn)帶來極大的危害。長期以來，建立傳染病模型，描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國專家和官員關(guān)注的課題 。研究傳染病模型，不可能通過實驗獲取數(shù)據(jù)，而從醫(yī)療部門得到的資料也是不完全和不充分的，同時不同的傳染病的傳播過程各有不同的特點，所以，我們在這里只能是按照機

2、理分析的方法，按一般的傳播機理建立幾種簡單的模型。 *機理分析法 根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認(rèn)識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律.、模型的假設(shè) 1、在疾病傳播期內(nèi)，所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康人（易感染者Susceptible）和病人（已感染者Infective）。設(shè)在t時刻它們所占總?cè)藬?shù)的比例分別為s（t）和i（t）2、每個病人在t時刻有效接觸的人數(shù)為 ，在較短時間內(nèi)，可以設(shè)為常數(shù)（成為日接觸率）。3、在開始時刻病人數(shù)為解此微分方程組得 此式中當(dāng) 時， ，說明在不進(jìn)行控制的情況下，最終所有人全變?yōu)椴∪?。同時由（1）式知，當(dāng) 時， 達(dá)到最大，這個時刻為模型2（SIS模型）（控制后的

3、傳播模型）有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等，病人治愈后又成為病人，所以應(yīng)考慮治療情況。設(shè)每天治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為（稱為日治愈率）。顯然，為這種傳染病的平均傳染期。于是模型變?yōu)椋?（2）此微分方程的解為（3）此時（3）式變?yōu)椋寒?dāng) 時，由（4）可 以 看出， 時，達(dá)到最大，預(yù)示著傳染病高潮的到來；同時 當(dāng) 時，病 人 比 例 越 來 小?？梢?是一個閾值。方程（5）無法求出相應(yīng)的解析解，我們利用相軌線討論解的性質(zhì)。平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域為 （5）若微分方程組其右端的函數(shù)不顯含自變量 t，稱為一階n維駐定系統(tǒng)(自治系統(tǒng)、動力系統(tǒng)). 一般二維駐定系統(tǒng)形式為 存在且唯一，則在三維空

4、間(x, y, t)中有且僅有一條解曲線通過點(x0, y0, t0). 基本思想 將空間曲線投影到平面上進(jìn) 行分析. 定義：稱平面 (x, y )為相平面，稱解曲線在相平面上的投影為相軌線，相軌線族稱為相位圖.xytot0(x, y, t)解曲線投影曲線相軌線 軌線方程 由原方程（2）消去 t 而得到, 相點的運動方向由原方程確定. 在（5）式中消去，并注意到的定義，得：解得：1、可以證明極限 都存在，并且，即病人最終全部消失。（6）2、最終未被感染的健康人數(shù)的比例滿足（在（6）式中，令）： （7） 該方程在內(nèi)有根，即取值在內(nèi)。5、（群體免疫和預(yù)防）當(dāng) 時，傳染病不會蔓延，所以除了提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平外，另一控制傳染病蔓延的途徑是降低，從而提高，即通過群體免疫，使開始時的移出者增大。 6、實際中，的值很難估計，在（7）式中求得：可以通過此式來分析傳染病的蔓延過程。7、（被傳染比例的估計）令，則由