巧用因式分解解題

1、巧用因式分解解題因式分解是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形，它的應(yīng)用十分廣泛，變化靈活多樣，幾乎涉及到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域。本文略舉數(shù)例加以說明。用于計算、求值。例1計算1012992.解：原式=（101+99）（10199）=2002=400。例2已知a+b=3,ab=2,求a3b+2a2b2+ab3的值。解：當(dāng)a+b=3,ab=2時原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=232=18。用于解決整除問題。設(shè)是一個兩位數(shù)（ab）,則()2（）2必能被99整除。解：因為=10a+b, =10b+a所以()2（）2 =(10a+b)2(10b+a)2=(10a+b)+ (10b+a)(10a+b)

2、(10b+a)=99(a+b)(ab)。由于a+b,ab是整數(shù)，故()2（）2必能被99整除。用于確定多項式的某些特征。試說明四個連續(xù)整數(shù)的積加上1，是一個奇數(shù)的平方。解：設(shè)這四個連續(xù)的整數(shù)分別為n,n+1,n+2,n+3,則n（n+1）（n+2）（n+3）+1=n（n+3）（n+1）（n+2）+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2（n2+3n)+1=(n2+3n+1)2。 由于n2+3n+1= n2+n+2n+1=n(n+1)+(2n+1),而n(n+1)是連續(xù)兩個整數(shù)的積，必是偶數(shù)；又2n+1是奇數(shù)，所以n2+3n+1是奇數(shù)。故四個連續(xù)整數(shù)的積加上1，是一個奇數(shù)的

3、平方。四、用于確定多項式的系數(shù)。例5 當(dāng)m為何整數(shù)時，二次三項式x2+mx+2能分解成兩個一次因式的積。解：因為2=21=（2）(1),所以當(dāng)x2+mx+2=(x+1)(x+2)時，可得m=3；當(dāng)x2+mx+2=(x1)(x2)時，可得m= 3。因此，當(dāng)m=3，3時，二次三項式x2+mx+2能分解成兩個一次因式的積。五、用于求方程的整數(shù)解。例6 求方程x2y2=29的整數(shù)解。解：原方程可化為（x+y）（xy）=29,而29=291=(29) (1),又x+y,xy都是整數(shù)，故得當(dāng)x+y=29時,xy=1此時x=15,y=14；當(dāng) x+y=29時,xy=1, 此時x=15,y=14；當(dāng) x+y=

4、1時,xy=29 ,此時x=15,y=14；當(dāng)x+y=1時,xy=29, 此時x=15,y=14。六、用于幾何說理例7 已知a、b、c分別是的三邊長，且，試說明是等腰三角形。解：由，得所以。因a、b、c分別是的三邊長，所以，所以，即。所以是等腰三角形。巧用“借術(shù)”分解因式有一次學(xué)生遇到了一道難題，把分解因式，討論未果后，學(xué)生拿來問我。我看后笑著對學(xué)生說：“我先給你們講一個阿拉伯民間流傳的故事”。一個老牧民有19匹馬。臨終前對他的三個兒子說：“我死后，你們要按老大得一半，老二得四分之一，老三得五分之一的比例把馬分了，但不能把馬殺了來分”。不久，這位老人就見“真主”去了。這三個兄弟想盡了各種辦法，

5、總是不能按老人的遺愿把馬分了。無奈，他們只好去請問他們聰明的舅舅。舅舅想了一會兒，就把自己的那一匹馬拉去，添加到這兄弟的19匹馬中，剛好一共20匹馬，然后，再按老人的分馬辦法來分。于是，很容易的得出：老大得10匹，老二得5匹，老三得4匹，最后，剩下的一匹馬物歸原主，由舅舅拉回。這則故事所寓意的道理，反映在數(shù)學(xué)上就叫“借術(shù)”。同學(xué)們，我們可否用數(shù)學(xué)上的“借術(shù)”思想來分解此因式？有同學(xué)馬上就能想到“借式還式”，立即有人寫出解題過程如下： （借式還式） = =其它同學(xué)也都恍然大悟，這樣，學(xué)生既聆聽了故事，也培養(yǎng)了思維能力，打開了解題的思路，生動有趣地掌握了一種數(shù)學(xué)解題技巧“借術(shù)”。類似的例子還有：1、求（2+1）（22+1）（+1）（+1）的值？解析：學(xué)生如用一般方法進(jìn)行乘積計算，算了半天還懷疑自己有否算錯。用“借”與“還”的方法，利用平方差借一個（21）來乘(實際上是乘一個1，并未改變原式的值)，這樣馬上可算出它的乘積值為1。2、已知XY3，YZ2，求X2Y2Z2XYYZXZ的值？解析：這道題學(xué)生一般會考慮采用代入法求，但怎樣使式子中出現(xiàn)x-y,y-z,x-z呢?這時，如果采用“借”與“還”法，那么