華南理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計 (28)課件

1、一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容三、典型例題第一章概率論的基本概念復(fù) 習(xí) 課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)隨機(jī)事件的概念古典概型的概率計算方法概率的加法公式條件概率和乘法公式的應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用2.難點(diǎn)古典概型的概率計算全概率公式的應(yīng)用二、主要內(nèi)容隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)試驗事件的獨(dú)立性隨 機(jī) 事 件基本事件必然事件對立事件概 率古典概型幾何概率乘法定理事件的關(guān)系和運(yùn)算全概率公式與貝葉斯公式性質(zhì)定義條件概率不可能事件復(fù)合事件(4) 事件A與B的交(積事件)圖示事件 A 與 B 的積.SABAB(5) 事件A與B互不相容 (互斥)若事件 A 的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件 B 不出現(xiàn) , B 出現(xiàn)也必然導(dǎo)致 A 不出現(xiàn)

2、,則稱事件 A 與 B互不相容,即圖示 A 與 B 互不相容（互斥） .SAB說明對立事件與互斥事件的區(qū)別SSABAB A，B 對立 A，B 互斥互斥對立設(shè)試驗 E 的樣本空間由n 個樣本點(diǎn)構(gòu)成, A為E 的任意一個事件,且包含 m 個樣本點(diǎn), 則事件 A 出現(xiàn)的概率記為:古典概型中事件概率的計算公式稱此為概率的古典定義.樣本空間的劃分全概率公式與貝葉斯公式全概率公式貝葉斯公式稱此為貝葉斯公式.例如由此可見兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥.請同學(xué)們思考兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.二者之間沒有必然聯(lián)系 甲乙二人相約定6：00-6：30在預(yù)定地點(diǎn)會面，先到的人要等候另一

3、人10分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會面的概率，假定他們在6：00-6：30內(nèi)的任意時刻到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的機(jī)會是等可能的。幾何概型的計算：會面問題 解 設(shè)甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時刻分別為 x 及 y（分鐘）, 則二人會面30301010yx 愛滋病普查：使用一種血液試驗來檢測人體內(nèi)是 否攜帶愛滋病病毒.設(shè)這種試驗的假陰性比例為5% （即在攜帶病毒的人中，有5%的試驗結(jié)果為陰 性），假陽性比例為1%（即在不攜帶病毒的人中， 有1%的試驗結(jié)果為陽性）.據(jù)統(tǒng)計人群中攜帶病毒者約占1，若某人的血液檢驗結(jié)果呈陽性，試問該人攜帶愛滋病毒的概率.（P27練習(xí)33） 作業(yè)（貝葉斯公式） 求 符號引入：“攜帶病毒”

4、為A，“實驗呈陽性”為B，則 一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容三、典型例題第二章隨機(jī)變量及其分布復(fù) 習(xí) 課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)(0-1)分布、二項分布和泊松分布的分布律正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布函數(shù)、密度函數(shù)及有關(guān)區(qū)間概率的計算2.難點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的求法二、主要內(nèi)容隨 機(jī) 變 量離 散 型隨機(jī)變量連 續(xù) 型隨機(jī)變量分 布 函 數(shù)分 布 律密 度 函 數(shù)均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布兩點(diǎn)分布二項分布泊松分布隨機(jī)變量的函數(shù)的 分 布定義(2)說明離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)(4)重要公式(2)性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形(4)重要公式一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容 三、典型例題 第四章隨機(jī)變量的數(shù)

5、字特征復(fù) 習(xí) 課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和計算2.難點(diǎn)數(shù)字特征的計算方差的性質(zhì)和計算相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)和計算二、主要內(nèi)容數(shù)學(xué)期望方 差離散型連續(xù)型性 質(zhì)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定 義計 算性 質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定 義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)定理數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1. 設(shè)C是常數(shù), 則有2. 設(shè)X是一個隨機(jī)變量, C是常數(shù), 則有3. 設(shè)X, Y 是兩個隨機(jī)變量, 則有4. 設(shè)X, Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有方差的計算離散型隨機(jī)變量的方差 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差方差的性質(zhì)1. 設(shè) C 是常數(shù), 則有2. 設(shè) X 是一個隨機(jī)變量, C 是常數(shù), 則有協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義

6、3. 協(xié)方差計算公式Cov(X,Y)=E(XY )E(X)E(Y)（1）若 X與Y獨(dú)立,則Cov(X, Y)=0注（2）D(XY) = D(X) + D(Y)2Cov(X, Y) 4. 協(xié)方差的性質(zhì)（1）Cov(X, Y) = Cov(Y, X) （2）Cov(aX, bY) = abCov(X, Y), a,b 為常數(shù) （3）Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)（4）當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時，有Cov(X, Y) = 0,稱X與Y不相關(guān)。？“X與Y獨(dú)立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？P86大數(shù)定律大數(shù)定理與中心極限定理中心極限定理定理一定理二定理三定理一的另一種

7、表示定理一定理二定理三獨(dú)立同分布的中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn相互獨(dú)立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望 和方差 ，則隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 滿足如下極限式定理的應(yīng)用：對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時，這些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)分布李雅普諾夫定理解例4解實例1數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個應(yīng)用An application of Expected Value in Medicine 考慮用驗血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個人一組，把這10個人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗。如果結(jié)果為陰性，則10個人只

8、需化驗1次；若結(jié)果為陽性，則需對10個人在逐個化驗，總計化驗11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問：這種分組化驗的方法與通常的逐一化驗方法相比，是否能減少化驗次數(shù)？分析：設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗次數(shù)為X我們需要計算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較第五章 樣本及抽樣分布復(fù) 習(xí) 課二、主要內(nèi)容三、典型例題一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)(1) 正態(tài)總體某些常用統(tǒng)計量的分布.2.難點(diǎn)(1) 幾個常用統(tǒng)計量的構(gòu)造.(2) 臨界值的查表計算.(2) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和F分布臨界值的查表計算.總 體個 體樣本常用統(tǒng)計量的分布分位點(diǎn)概率密度函數(shù)二、主要內(nèi)容統(tǒng)計量常用統(tǒng)計

9、量性質(zhì)關(guān)于樣本和方差的定理 t 分布 F 分布 分布關(guān)于樣本和方差的定理關(guān)于正態(tài)總體的樣本和方差的定理定理一定理二定理三關(guān)于正態(tài)總體的樣本和方差的定理定理三關(guān)于正態(tài)總體的樣本和方差的定理解例3第六章 參數(shù)估計復(fù) 習(xí) 課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)三、典型例題二、主要內(nèi)容一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)最大似然估計.一個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計.2.難點(diǎn)顯著性水平 與置信區(qū)間.矩估計量估計量的評選截尾樣本的最大似然估計截尾壽命試驗二、主要內(nèi)容最大似然估計量最大似然估計的性質(zhì)似然函數(shù)無偏性正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限有效性置信區(qū)間和上下限求置信區(qū)間的步驟相合性有效性 由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度, 所

10、以無偏估計以方差小者為好.例2 設(shè)某總體X的數(shù)學(xué)期望為EX=，方差DX=2，X1，X2，Xn為樣本，試求和2的矩估計量。解 總體的k階原點(diǎn)矩為 樣本的k階原點(diǎn)矩為 由矩法估計，應(yīng)有 所以 結(jié)論：不管總體X服從何種分布，總體期望和方差的矩估計量分別為樣本均值、樣本方差，即估計值為 小 結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 （2）方差未知，對均值的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造T-統(tǒng)計量，查t-分布臨界值表，確定T的雙側(cè)分位數(shù) 得EX的區(qū)間估計為 正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間7 假設(shè)檢驗 統(tǒng)計假設(shè)通過實際觀察或理論分析對總體分布形式 或?qū)傮w分布形式中的某些參數(shù)作出某種 假設(shè)。假設(shè)檢

11、驗根據(jù)問題的要求提出假設(shè)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng) 計量，按照樣本提供的信息，以及一定的 規(guī)則，對假設(shè)的正確性進(jìn)行判斷?；驹瓌t小概率事件在一次試驗中是不可能發(fā)生的?；静襟E 1、提出原假設(shè)，確定備擇假設(shè)； 2、構(gòu)造分布已知的合適的統(tǒng)計量； 3、由給定的檢驗水平，求出在H0成立的條件下的 臨界值（上側(cè)分位數(shù)，或雙側(cè)分位數(shù)）；4、計算統(tǒng)計量的樣本觀測值，如果落在拒絕域內(nèi)， 則拒絕原假設(shè)，否則，接受原假設(shè)。合適的統(tǒng)計量第二步：選擇檢驗用的統(tǒng)計量。u 檢驗t 檢驗F檢驗 常用統(tǒng)計量一元回歸分析 回歸分析的概念 研究一個隨機(jī)變量與一個（或幾個）可控變量之間的相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計方法稱為回歸分析。 只有一個自變量的回歸分析稱為一元回歸分析；多于一個自變量的回歸分析稱為多元回歸分析。引進(jìn)回歸函數(shù)稱為回歸方程 回歸方程反映了