哥德巴赫猜想初等證明1

1、哥德巴赫猜想”初等證明王若仲1 譚謨玉 2彭曉 3徐武方1（1.務(wù)川自治縣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 2.務(wù)川自治縣農(nóng)業(yè)局 3.務(wù)川中學(xué) 貴州564300）摘要：“哥德巴赫猜想”確實(shí)存在一種最簡(jiǎn)捷的證明方法，即就是證明存在有“奇素?cái)?shù)+ 奇素?cái)?shù)”的情形可以轉(zhuǎn)換到奇素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)和奇合數(shù)的個(gè)數(shù)上來加以分析，即通過順篩和逆篩 的辦法，從而得到“哥德巴赫猜想”的一種初等證明。關(guān)鍵詞：哥德巴赫猜想 奇素?cái)?shù) 奇合數(shù) 順篩 逆篩哥德巴赫猜想：任何一個(gè)不小于 6 的偶數(shù)均可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。我們知道，只能被 1 和本身整除的正整數(shù)，稱為素?cái)?shù)。定義 1：我們把即是奇數(shù)又是合數(shù)的正整數(shù)，稱為奇合數(shù)。定義2：對(duì)于某一偶數(shù) 加（m2）,

2、若a+b=2m, aN, bN,則稱a和b為偶數(shù)加的對(duì)應(yīng)加數(shù)，記為加（ab）。定義3：對(duì)于2m （ab）, m2 ， mN,若a和b中至少有一個(gè)數(shù)為奇合數(shù)，則稱a和b為偶數(shù)加的合對(duì)子，記為加（a早b）。定義4：對(duì)于2m （ab）, m2 , mN,若a和b均為奇素?cái)?shù)，則稱a和b為偶數(shù)加的素對(duì)子，記為加（a b）。引理1：對(duì)于任一正整數(shù)M （M2）,關(guān)于某一奇素?cái)?shù)p, pVM,設(shè)集合p, 2p, 3p,，mp中元素個(gè)數(shù)與集合 1, 2, 3, 4,5,6,，M 中元素個(gè)數(shù)的比值為t,貝U（1）、當(dāng) mp=M 時(shí)，t=1/p；（2）、當(dāng) mpHM 時(shí)，tV1/p。其中 mp 為不大于正整數(shù) M 的

3、最大正整數(shù)。證明：因?yàn)榧蟨, 2p, 3p,，mp有m個(gè)元素，集合1, 2, 3,4, 5, 6,，M有M個(gè)元素，、當(dāng) mp=M 時(shí)，t二m/mp=l/p；、當(dāng)mpHM時(shí)，又因?yàn)閙p為不大于正整數(shù)M的最大正整數(shù), 那么 mpVM，而 t二m/MVm/mp=l/p。綜上所述，引理 1 成立。引理2：對(duì)于任一奇數(shù)M (M2),關(guān)于某一奇素?cái)?shù)p，pWM,設(shè) 集合p，3p，5p，7p，9p，(2mT) p中元素個(gè)數(shù)與集合1，3, 5，7，9，M中元素個(gè)數(shù)的比值為t,貝U、當(dāng)(2m-1) p=M 時(shí)，t1/p；、當(dāng)(2m-1) p+p-1二M 時(shí)，t = 1/p；、當(dāng)(2m-1) p+pTVM 時(shí)，t

4、V1/p；、當(dāng)(2m-1) p+p-1 M 時(shí)，t1/p；其中(2m-1) p為不大于正整數(shù)M的最大奇數(shù)。證明：因?yàn)榧蟨，3p，5p，7p，9p，(2m-1) p有m個(gè)元素, 集合1，3，5，7，9，M有(M+1)/2 個(gè)元素、當(dāng)(加-1 ) p=M 時(shí)，貝U (M+1)/2=(2mT)p/2mp,所以 t=2m/(M+1) 1/p ；、當(dāng)(2mT) p+pT二M 時(shí)，貝U(M+1)/2=mp，所以 t=m/mp=1/p ；、當(dāng)(2m-1) p+p-1 mp，所以 t=2m/(M+1) M 時(shí)，貝U (M+1)/2 1/p。綜上所述，引理2 成立。引理3：對(duì)于一個(gè)相當(dāng)大的正整數(shù)M,關(guān)于任一小

5、于正整數(shù)M的奇 素?cái)?shù)P，設(shè)集合p, 2p, 3p,，mp中元素個(gè)數(shù)與集合1, 2, 3, 4,5,6,，M中元素個(gè)數(shù)的比值為t,則t1/p (其中mp為不大于 正整數(shù)M的最大正整數(shù))。證明：對(duì)于任一奇素?cái)?shù)p,集合p, 2p, 3p,，mp有m個(gè)元素, 集合1, 2, 3, 4, 5, 6, M有M個(gè)無素、當(dāng) mp=M 時(shí)，t二m/mp=1/p；、當(dāng)mpHM時(shí)，因?yàn)閙p為不大于正整數(shù)M的最大正整數(shù)， 那么 mpVM,我們令 M二mp+h，那么 hVp,所以 mpVM二mp+hV(m+1) p,則m/ (m+1) pVt二m/MVm/mp，因?yàn)檎麛?shù)M相當(dāng)大，那么正整 數(shù)m也相當(dāng)大，故t1/p。綜

6、上所述,引理3成立。引理4：對(duì)于一個(gè)相當(dāng)大的奇數(shù)M,關(guān)于任一小于奇數(shù)M的奇素?cái)?shù) p,設(shè)集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2m-1) p中元素個(gè)數(shù)與集合1, 3, 5, 7, 9,，M中元素個(gè)數(shù)的比值為t,貝Ut1/p (其中(2m-1) p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù))。證明：對(duì)于任一奇素?cái)?shù)p,集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2mT) p有m個(gè)元素，集合1, 3, 5, 7, 9, M有(M+1)/2個(gè)元素(i)、當(dāng)(2mT) p=M 時(shí)，(M+1)/2 二mp- (p-1) /2，因?yàn)?m/ (mp-p) = m/ (m-1) p, M為相當(dāng)大的奇數(shù)，那么m也為相當(dāng)大的正

7、整數(shù)，則 m/ (mp-p) = m/ (mT) p1/p,即 m/mp- (p-1) /21/p, tl/p; 、當(dāng)(2m-1) p+p-1=M 時(shí)，(M+l)/2二mp，則 t=m/mp=1/p；、當(dāng)(2m-1) p+pTVM 時(shí)，我們令(2mT) p+p-l+h二M，然 而lWhVp+1,這是因?yàn)?2m-1) p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)，我 們令 h=p，則(M+1)/2 =mp+p/2 (m+1) p，即 mp mp- (p-1) /2 (m+l)p, M為相當(dāng)大的奇數(shù)，那么m也為相當(dāng)大的正整數(shù)，m/ (m+1) p 1/p，故 tl/p；、當(dāng)(2m-1) p+p-lM 時(shí)，我們令(2

8、mT) p+pT-h二M，然 而lWhWp-1，這是因?yàn)?2m-1) p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)，我 們令 h=p-1，則(M+1)/2 =mp- (p-1) /2(mT)卩，即(mT) p mp-(p-1) /2mp， M 為相當(dāng)大的奇數(shù)，那么 m 也為相當(dāng)大的正 整數(shù)，m/ (m-1) pl/p，故 tl/p。綜上所述，引理4 成立。引理5:對(duì)于任一比較大的正整數(shù)M,設(shè)奇素?cái)?shù)p，p，p， 123p均為不大于，頁(yè)的全體奇素?cái)?shù)(p】 p , ic, b和c均為奇合數(shù)，那么奇合數(shù)c 中必有一個(gè)奇素?cái)?shù)因子q小于丫曠;、當(dāng)M =bc，如果b c, b和c均為奇素?cái)?shù)，那么奇素?cái)?shù)c 小于;、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)

9、間丫，M中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc, a M,如果b=c, b和c均為素?cái)?shù)，那么b素?cái)?shù)為小于奇素?cái)?shù)；(7 )、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間,M中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc, a M,如果b=c, b和c均為奇合數(shù)，那么奇合數(shù)b中必有一個(gè)素?cái)?shù) 因子P小于;、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間丫，M中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc, a M,如果bc, b和c中一個(gè)為素?cái)?shù)和一個(gè)為合數(shù)，那么奇數(shù)b 和 c 必為一大一小的奇數(shù)，不妨設(shè)小的一個(gè)奇數(shù)為素?cái)?shù)，則小的一個(gè) 素?cái)?shù)必為小于j的奇素?cái)?shù)；、設(shè)奇數(shù)a為區(qū)間叮，M中的一個(gè)奇合數(shù)，令奇合數(shù)a=bc, a M,如果bc, b和c中一個(gè)為素?cái)?shù)和一個(gè)為合數(shù)，那么奇數(shù)b 和 c 必為一大

10、一小的奇數(shù),不妨設(shè)大的一個(gè)奇數(shù)為素?cái)?shù)，那么小的一 個(gè)奇數(shù)必為奇合數(shù)，不妨令小的一個(gè)奇數(shù)為C,則奇合數(shù)C總可以分 解為素因子的乘積，其中任何一個(gè)素因子必為小于”的奇素?cái)?shù)；(10)、其它情形同理可得出同樣的結(jié)論。綜上所述，引理5 成立。引理6:對(duì)于一個(gè)相當(dāng)大的奇數(shù)M,關(guān)于任何兩個(gè)均小于正整數(shù)M 的奇素?cái)?shù)p和q (pHq),若在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中篩除 屬于集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2m-l) p中的全體元素和篩除 屬于集合q, 3q, 5q, 7q, 9q, (2mT) q中的全體元素，則有 下列等式成立：W1-( 1/p+1/q) +1/pq=W( 1-1/p

11、) -( 1-1/p) /q=W( 1-1/p) (1-1/q)。其中W為集合1, 3, 5, 7, 9, , M中元素的個(gè)數(shù)，(2m-1) p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)，(2m-l) q為不大于奇數(shù)M的最大奇 數(shù)。證明：對(duì)于一個(gè)相當(dāng)大的奇數(shù)M,由引理4可知，關(guān)于任一小于 奇數(shù)M的奇素?cái)?shù)g,那么集合g, 3g, 5g, 7g, 9g, (2m-1) g 中元素個(gè)數(shù)與集合1, 3, 5, 7, 9,，M中元素個(gè)數(shù)的比值約等于 1/g,其中(2m-l) g為不大于奇數(shù)M的最大正整數(shù)；那么任何兩個(gè) 均小于正整數(shù)M的奇素?cái)?shù)p和q (pHq),若要在集合1, 3, 5, 7, 9, M中篩除屬于集合p,

12、3p, 5p, 7p, 9p, (2m-1) p中的 全體元素和篩除屬于集合q, 3q, 5q, 7q, 9q, (2mT) q中的 全體元素，則有 W-( W/p+W/q) +W/pq= W1-( 1/p+1/q) +1/pq= W (1-1/p) - (1-1/p) /q=W (1-1/p) (1-1/q),其中 W 為集合1, 3, 5, 7, 9, M中元素的個(gè)數(shù)。故引理6成立。引理7:對(duì)于一個(gè)相當(dāng)大的奇數(shù)M,設(shè)奇素?cái)?shù)p , p , p，p23t 均為不大于的全體奇素?cái)?shù)(Pi p , ij, i、j=l, 2, 3,， t),若要在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中篩除全體奇合數(shù)，

13、那么只 須在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中篩除屬于集合p , 3p , 5p , 7p ,11119p ,，(2m-1) p 中的全體元素，篩除屬于集合p , 3p , 5p , 7p , TOC o 1-5 h z 122229p ,(2m-1) p 中的全體元素,篩除屬于集合p , 3p , 5p , 7p ,233339p ,(2m-1) p 中的全體元素，篩除屬于集合p , 3p , 5p ,3ttt7p , 9p，(2m-1) p 中的全體元素；并且有下列等式成立：tttWl(1/p+l/p+l/p+l/p ) + (1/p p+l/p p+l/p p+l/p p )123t

14、1 21 31 4t-1 t(1/ppp+1/ppp +1/p p p + +1/p p p ) + + ( -1 ) tl/ppp12312 4125t-2t-1 t123 p p p =W (1-1/p ) (1-1/p ) (1-1/p )(1T/p ) (1-1/p )。其 t-2t-1 t123t-1t中W為集合1, 3, 5, 7, 9, M中元素的個(gè)數(shù)，(2m-1) p為不1大于奇數(shù) M 的最大奇數(shù)(, 2m-1)p 為不大于奇數(shù) M 的最大奇數(shù)(, 2m-1)2p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)，(2m-1) p為不大于奇數(shù)M的最 TOC o 1-5 h z 3t-1大奇數(shù)，(2m-1

15、) p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)。t證明：因?yàn)?W(1-1/p )(1-1/p )(1-1/p ) =W1-(1/p+1/p+1/p )123123+ (1/p p +1/p p +1/p p ) - (1/p p p ),又因?yàn)樵趨^(qū)間, M中的121323123v任何一個(gè)奇合數(shù)a,奇合數(shù)a均能被集合p , p , p，p 中某一123t個(gè)奇素?cái)?shù) p 整除，故由引理 4 和引理 5 以及引理 6 可知引理 7 成立。 i定義4：對(duì)于某一偶數(shù)加，mN, m$4,若p+a=2m,其中p為奇 素?cái)?shù)，a為奇合數(shù)或者1,則稱奇素?cái)?shù)p為關(guān)于偶數(shù)加的虛合數(shù)，記 為2m (p早)。定義5：在集合1, 3, 5,

16、 7, 9, (M-3), (M-1) 中篩除屬 于集合p, 3p, 5p, 7p, 9p,，(2mT) p中的全體元素，這種篩 除方式，稱之為順篩；其中M為比較大的偶數(shù)，p為小于偶數(shù)M的奇 素?cái)?shù)，(2m-l) p為小于偶數(shù)M的最大奇數(shù)。定義6：在集合1, 3，5，7，9，(M-3), (M-1) 中篩除屬 于集合 (M-p), (M-3p), (M-5p), (M-7p), (M-9p),，M- (2m-1) p 中的全體元素，這種篩除方式，稱之為逆篩；其中 M 為比較大的 偶數(shù)，p為小于偶數(shù)M的奇素?cái)?shù)，(2m-1)p為小于偶數(shù)M的最大奇數(shù)。引理8：設(shè)有一個(gè)相當(dāng)大的正整數(shù)M,對(duì)于任一小于正整

17、數(shù)M的奇 素?cái)?shù)p，集合p，2p，3p，mp中的元素個(gè)數(shù)為m，其中mp為不 大于正整數(shù)M的最大正整數(shù)，則mWM/p。證明：(i)、當(dāng) mp=M 時(shí)，則 m=M/p；、當(dāng)mpHM時(shí)，因?yàn)閙p為不大于正整數(shù)M的最大正整數(shù)， 則 mVM/p。綜上所述，引理 8 成立。引理9：設(shè)有一個(gè)相當(dāng)大的奇數(shù)M,對(duì)于任一小于奇數(shù)M的奇素?cái)?shù) p，集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2m-1) p中的元素個(gè)數(shù)為m,其 中(2m-1) p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)，則mM/p。證明：對(duì)于任一小于奇數(shù)M的奇素?cái)?shù)p,集合p, 3p, 5p, 7p, 9p,，(2m-1)p有 m 個(gè)元素，集合1, 3, 5, 7, 9,

18、，M有(M+1)/2 個(gè)元素(i)、當(dāng)(2m-1) p=M 時(shí)，(M+1)/2 二mp- (p-1) /2，因?yàn)閙p- (p-1) /2/p(m-1) p/p= (m-1), M為相當(dāng)大的奇數(shù)，那么m也 為相當(dāng)大的正整數(shù)，故mM/p；、當(dāng)(2m-1) p+p-1=M 時(shí)，(M+l)/2二mp，則 m=M/p；、當(dāng)(2m-1) p+pTVM 時(shí)，我們令(2mT) p+p-l+h二M，然 而lWhVp+1,這是因?yàn)?2m-1) p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)，我 們令 h=p，則(M+1)/2 =mp+p/2 (m+1) p，即 mp mp- (p-1) /2 (m+1) p， M為相當(dāng)大的奇數(shù)，那么

19、m也為相當(dāng)大的正整數(shù)，故m M/p；、當(dāng)(2m-1) p+p-lM 時(shí)，我們令(2mT) p+pT-h二M，然 而lWhWp-1，這是因?yàn)?2m-1) p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)，我 們令 h=p-1，則(M+1)/2 =mp- (p-1) /2(mT)卩，即(mT) p mp-(p-1) /2mp， M 為相當(dāng)大的奇數(shù)，那么 m 也為相當(dāng)大的正 整數(shù)，故mM/p。綜上所述，引理 9 成立。哥德巴赫定理：任何一個(gè)不小于 6 的偶數(shù)均可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之 和。證明：對(duì)于“ 33 x 106以內(nèi)的偶數(shù)均可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”已經(jīng) 被前人驗(yàn)證，我們現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)非常大的偶數(shù)2m，加不小于33 x 106

20、。設(shè)奇素?cái)?shù)p，p，p， ，p均為不大于J2T的全體奇素?cái)?shù)(p23t*i p ， ij， i、j=1， 2， 3，t)，tWN。j因?yàn)楫?dāng)m為奇數(shù)時(shí)，偶數(shù)加=1+ (2m-1) =3+ (2m-3) =5+ (2m-5) =7+ (2m-7)二二(m-2) + (m+2) =m+m= (2m-7) +7= (2m-5) +5=2m-3) +3=(2m-1) +1。當(dāng) m 為偶數(shù)時(shí)，偶數(shù) 2m=1+（2m-1）=3+（2m-3 ）=5+（2m-5）=7+ （2m-7）=（m-3）+（m+3）=（m-1）+（m+1）=（2m-7）+7= （2m-5）+5=（2m-3）+3=（2m-1）+1。關(guān)于“奇數(shù)

21、+奇數(shù)=2m ”的情形，我們具體分析如下：（i）、對(duì)于偶數(shù)加，當(dāng)m為奇素?cái)?shù)時(shí)，令m=p，則加二p+p，顯 然偶數(shù)加可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。（ii）、對(duì)于偶數(shù)2m，當(dāng)m為奇合數(shù)或者偶數(shù)時(shí)，設(shè)不大于偶數(shù) 加的全體奇數(shù)組成的集合為1, 3，5，7，9,，M，W為集合1, 3, 5, 7, 9，M中元素的個(gè)數(shù)，由引理5可知，若要在集合1， 3，5, 7, 9, M中篩除全體奇合數(shù)，那么只須在集合1, 3, 5, 7, 9, M中篩除屬于集合3p , 5p , 7p , 9p , , （2m -1） p 1 1 1 1 1中的全體元素，篩除屬于集合3p , 5p , 7p , 9p , , （2m -1）

22、 p 22222中的全體元素，篩除屬于集合3p , 5p , 7p , 9p , , （2m -1） p 33333中的全體元素，篩除屬于集合3p , 5p , 7p , 9p ,（2m T）t t t t tp 中的全體元素。其中（2m T）p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù),（2m T）t 1 1 2p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)，（2m-1） p為不大于奇數(shù)M的最大奇33數(shù)，（2m -1） p為不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)，（2m-1） p為不 t-1 t-1 t t大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)。我們令集合 A=3p , 5p , 7p , 9p , , （2m -1） p U 3p , 5p ,1 1 1 1

23、1 2 27p 9p （2m-1） pU3p 5p 7p 9p （2m-1） p2222333333UU 3p , 5p , 7p , 9p ,（2m -1） p ,則集合A中的元素均t t t t t t為奇合數(shù)。設(shè)關(guān)于偶數(shù) 2m 的全體虛合數(shù)組成的集合為 B 由定義 4 可知，因?yàn)榧螦UB中的任一元素都能組成合對(duì)子，所以只要我們 探討得出關(guān)于偶數(shù) 2m 的全體虛合數(shù)組成的集合 B 與全體奇合數(shù)組成 的集合A的并集不包含集合1, 3，5，7, 9,，M；那么集合1, 3, 5，7，9，M與集合AUB的差集中的任一元素必然都能組成 素對(duì)子，即集合1, 3, 5, 7, 9, M與集合AUB的

24、差集中至少 有兩個(gè)奇素?cái)?shù)P和q，使得p+q=2m。、當(dāng)偶數(shù)加中含有奇素?cái)?shù)因子p (i=1, 2, 3,，t)時(shí)，i對(duì)于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p , , (2m T)p中任一奇數(shù)g,奇iiiiii數(shù)(2m-g)仍能被奇素?cái)?shù)p整除；說明奇數(shù)(2m-g)為奇合數(shù)或者為 i關(guān)于偶數(shù)2m的虛合數(shù)。若在集合1, 3, 5, 7, 9, M中篩除屬 于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p , , (2m T)p中的全體元素，由iiiiiii引理 4 和引理 6 以及引理 7 可知 那么篩除后集合1 3 5 7 9 M中剩下元素的個(gè)數(shù)X可轉(zhuǎn)化為下列計(jì)算公式：X=W-W/p =W

25、 (1-1/p )。ii、對(duì)于兩個(gè)均不大于pi丁的奇素?cái)?shù)p和q , pq ,根據(jù)引理4 ,對(duì)于奇數(shù) M 關(guān)于任一小于奇數(shù) M 的奇素?cái)?shù) q 又因?yàn)榕紨?shù) 2m 相當(dāng)大 那么集合q , 3q , 5q , 7q , 9q ,(2uT) q中元素的個(gè)數(shù)與集合 1 , 3 , 5 , 7 , 9, , M中元素的個(gè)數(shù)的比值約等于1/q ,其中(2u-1) q 為不大于奇數(shù) M 的最大奇數(shù)；又因?yàn)樵诩?3 5 7 9M中篩除屬于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p ,(2v-1) p中全體元素 的個(gè)數(shù)不少于在集合1 , 3 , 5 , 7 , 9,M中篩除屬于集合q , 3q , 5q ,

26、7q , 9q ,(2u-1) q 中全體元素的個(gè)數(shù)，其中(2vT) p為 不大于奇數(shù)M的最大奇數(shù)；我們?cè)O(shè)在集合1, 3, 5, 7, 9,，M 中篩除屬于集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2vT) p中的全體元素 后，剩下的元素組成的集合為C,設(shè)集合C中能夠被奇素?cái)?shù)q整除的 元素組成的集合為D,那么集合D中元素的個(gè)數(shù)與集合C中元素的個(gè) 數(shù)的比值不小于集合q, 3q, 5q, 7q, 9q, (2uT) q中元素的 個(gè)數(shù)與集合1, 3, 5, 7, 9, M 中元素的個(gè)數(shù)的比值。這是因 為對(duì)于集合 D 中元素的個(gè)數(shù)與集合 C 中元素的個(gè)數(shù)的比值而言,假設(shè) 我們返還回去，分母中返還的奇

27、數(shù)個(gè)數(shù)為(W/p),分子中返還的奇數(shù) 個(gè)數(shù)為(W/pq),因?yàn)?W/p)(W/pq),所以分母中返還的奇數(shù)個(gè) 數(shù)至少不少于分子中返還的奇數(shù)個(gè)數(shù)；故有(W/q) /WWW (1-1/p) /q/W(1-1/p) ，也就是說按照上述計(jì)算的情形可得出這樣的結(jié)論， 即含有奇素?cái)?shù)因子q的全體奇數(shù)在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中所 占的比例不大于集合 D 中的奇數(shù)在集合 C 中所占的比例，而實(shí)際上在 公式計(jì)算中集合 D 中的奇數(shù)在集合 C 中所占的比例反而被擴(kuò)大了。同理可得，W(1-d/p )(1-d/p )(1-d/p )(1-d /p )(1-d/p ) TOC o 1-5 h z 11223

28、3i-1i-1i i(1-d /p )(1d /p ) /p /W (1-d /p )(1d/p )(1d/p ) i+1i+1t-2t-2t112233(1d /p )(1-d/p )(1-d /p ) (1d /p ) WW(1-d/p )i1 i1 i i i+1 i+1 t2 t2 1 1(1d /p (1d /p )( 1d /p )(1d/p)(1d /p )( 1d /p )233i1i1i ii+1i+1t2t2(1d /p ) /p /W (1d /p ) (1d /p ) (1d /p ) (1-d /p ) t1t1t112233i1i1(1d /p ) (1d /p )

29、 (1-d /p ) (1d /p )，其中 d =1 或i i i+1 i+1 t2 t2 t1 t1 i2 (i=1, 2, 3,，t)；原因是由W (1d /p ) (1d/p ) (1d/p ) 112233( 1d /p ( 1d/p ( 1d /p ( 1d /p ( 1d /p /p/Wi1i1i ii+1i+1t2t2t1t1t(1-d /p )(1-d /p )(1-d /p )(1-d /p )(1-d /p )(1-d /p )1 1 2 2 3 3 i-1 i-1 i i i+1 i+1(1-d /p )(l-d /p )還原到W(l-d/p ) (1-d/p ) (1

30、-d/p )t-2 t-2 t-1 t-1 1 1 2 2 3 3( 1-d /p ( 1-d/p ( 1-d /p ( 1-d /p /p/W( 1-d/pi-1 i-1 i i i+1 i+1 t-2 t-2 t 1 1( 1-d/p( 1-d/p ( 1-d /p ( 1-d/p( 1-d /p 2 3 3 i-1 i-1 i i i+1 i+1(1-d /p，那么分母中要返還實(shí)際上被篩除的含有奇素?cái)?shù)因子t-2 t-2p 的某些奇數(shù)，分子中要在這些奇數(shù)中返還實(shí)際上被篩除的既含有 t-1奇素?cái)?shù)因子p又含有奇素?cái)?shù)因子p的某些奇數(shù)。t-1 t(3 、當(dāng)偶數(shù) 2m 中不含有奇素?cái)?shù)因子 p (i=

31、1，2，3， ，t 時(shí)i對(duì)于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p，(2m T ) p中任一奇數(shù)g,則i i i i i i i奇數(shù)(2m-g)不能被奇素?cái)?shù)p整除；說明奇數(shù)(2m-g)(除g二p夕卜)ii為奇合數(shù)或者為關(guān)于偶數(shù)加的虛合數(shù)。若在集合1, 3, 5, 7, 9,M中除了要篩除屬于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p，(2m T)pi i i i i i i中的全體元素，同時(shí)在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中還要篩除屬于集合 (2m-3p ), (2m-5p ), (2m-7p ), (2m-9p ), (2mTlp ),，i i i i i2m- (2m-1

32、) p中的全體元素，那么由第(2)的情形和引理4以ii及引理 6 和引理 7 以及引理 8 和引理 9 可知,則篩除后集合1, 3, 5,7, 9, M中剩下元素的個(gè)數(shù)X可轉(zhuǎn)化為下列計(jì)算公式：、當(dāng)(2m-p )為奇合數(shù)時(shí)，計(jì)算公式為X=W-2W/p=W (1-2/p )。i i i、當(dāng)(2m-p )為奇素?cái)?shù)時(shí)，計(jì)算公式為X=W-2W/p +2=W (1-2/p )i i i+2。上面第情形的計(jì)算公式中等式右邊為什么要加上 2 呢,原因是奇素?cái)?shù)p和奇數(shù)(2m-p )未必要篩除，當(dāng)奇數(shù)(2m-p )為奇素?cái)?shù)時(shí),i i i奇素?cái)?shù)p和奇數(shù)(2m-p )都不能篩除，當(dāng)奇數(shù)(2m-p )為奇合數(shù)時(shí),i i

33、 i奇素?cái)?shù)p和奇數(shù)(2m-p )都要篩除。然而在計(jì)算篩除的計(jì)算公式中,ii奇素?cái)?shù)P實(shí)際上計(jì)算了兩次，即當(dāng)奇數(shù)(2m-p )為奇素?cái)?shù)時(shí)，奇素ii數(shù)p和奇數(shù)(2m-p)都篩除了，那么多篩除的要返還，所以就有計(jì)ii算公式 X二W-2W/p +2=W (1-2/p ) +2；然而 W (1-2/p ) +2W (1-2/p )。i i i i(4)、在集合1，3，5，7，9,，M中篩除屬于集合p，3p，115p，7p，9p，(2m -1) p 中的全體元素，篩除屬于集合p，3p， TOC o 1-5 h z 11111225p，7p，9p，(2m -1) p 中的全體元素，篩除屬于集合p，3p，222

34、2335p，7p，9p，(2m -1) p 中的全體元素，篩除屬于集合p，3333t3p，5p，7p，9p， ，(2m T)p中的全體元素，以及篩除關(guān)于偶 t t t t t t數(shù) 2m 的全體虛合數(shù)；根據(jù)上述(1)和(2)以及(3)中分析的情形由引理 5 和引理 7 以及引理 8 可知，我們可以把按照上述這樣的情形 篩除后集合1, 3, 5, 7, 9,，M中最后剩下元素的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為下 列計(jì)算公式：Y= W( 1-d/p ) +e ( 1-d/p ) +e ( 1-d/p ) +e t t-13 2 1111 1222 2333 3( 1-d /p ) +e ( 1-d/p ) +e ，其中

35、 d=1 或 2， e=0 或 2，t-2 t-1 t-1 t-1 t-1 t t t t i i(i=1, 2, 3,，t)。第1、當(dāng)偶數(shù)加中含有奇素?cái)?shù)因子p時(shí)，那么d取值為1, eiii取值為 0；第 2、當(dāng)偶數(shù) 2m 中不含有奇素?cái)?shù)因子 p ，(2m-p )為奇素?cái)?shù)時(shí)那ii么 d 取值為 2， e 取值為 2；ii第 3、當(dāng)偶數(shù) 2m 中不含有奇素?cái)?shù)因子 p ，(2m-p )為奇合數(shù)時(shí)，那么 d 取值為 2，e 取值為 0。ii對(duì)于上述計(jì)算公式 Y= W（1-d /p ）+e （1-d /p ）+et t-1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2（1-d /p ）+e （1-d /p

36、）+e（1-d /p ）+e 而言，3 3 3 3 t-2 t-1 t-1 t-1 t-1 t t t t由上述第（2）和第（3）分析的情形可得，原因是：Y=W （1-d /p ）+e ；11 11Y =W（1-d /p ）+e - W（ 1-d/p ）+e d /p +e = W（1-d /p ）+e21 111 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1（1-d /p ）+e ；1 2 2 2 2Y=W （1-d /p ）+e （1-d /p ）+e - W（1-d /p ）+e 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1（ 1-d/p ）+e d/p+e=W（1-d/p

37、）+e （1-d /p ）+e 2 2 2 2 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2（1-d /p ）+e ；3 3 3IIIY =Y= W（ 1-d/p ）+e （1-d /p ）+e （1-d /p ） t t t-1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3+e （1-d /p ）+e（1-d /p ）+e 。3 t-2 t-1 t-1 t-1 t-1 t t t t又因?yàn)槭Ｓ鄠€(gè)數(shù)W （1-2/p ） +2剩余個(gè)數(shù)W （1-2/p ）,我們不妨 ii令 Y，二 W （1-d/p ） （1-d/p ） （1-d/p ）（l-d /p ） （1-d/p ）1 1 2 2 3 3 i-1 i-1 i i（1-d /p ）（1-d /p ）（1-d/p ）；其中 d=1 或 2（i=1， 2， 3， i+1 i+1 t-1 t-1 t t it）。第1、當(dāng)偶數(shù)加中含有奇素?cái)?shù)因子p時(shí)，那么d取值為1； ii第