初等矩陣以及初等變換

1、關(guān)于初等矩陣和初等變換第1頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四2.5 初等變換與初等矩陣求矩陣的秩求可逆矩陣的逆矩陣解線性方程組 2.5.1 矩陣的初等變換2.5.2 初等矩陣 2.5.3* 分塊矩陣的初等變換第2頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四2.5.1 矩陣的初等變換定義2.5.1 矩陣A的下列變換稱為它的初等行（或列）變換：(1)互換矩陣A的第 i行與第 j行（或第 i列與第 j列）的位置，記為 rirj(或cicj );（互換）(2)用常數(shù) k0去乘矩陣 A的第 i行(或第 j列)，記為kri(或 kcj );（倍乘）第3頁(yè)，共63頁(yè)，202

2、2年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四(3)將矩陣 A的第 j行（或第 j列）各元素的 k倍加到第 i行(或第 i列)的對(duì)應(yīng)元素上去，記為 ri+krj(或ci+kcj ); （倍加）矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換. 第4頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四定義2.5.2 如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為矩陣 B,則稱 A與 B等價(jià)， 記為 AB ，或 AB.第5頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四等價(jià)是矩陣間的一種關(guān)系，具有以下基本性質(zhì): (1) 自反性：AA ； (2) 對(duì)稱性：若 AB, 則 AB; (3) 傳遞性： 若AB, BC

3、, 則AC .在數(shù)學(xué)中把具有上述三個(gè)基本性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系.第6頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四利用矩陣的初等變換，可以把矩陣化為簡(jiǎn)單的階梯形矩陣階梯形矩陣對(duì)求逆、求秩、求解線性方程組都非常有用 第7頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四定義2.5.3 如果矩陣A滿足下列條件：(1) 若有零行，則零行全在矩陣A的下方； (2) A的各非零行的第一個(gè)非零元的列序數(shù)小于下一行中第一個(gè)非零元的列序數(shù)；則稱 A為行階梯形矩陣，或階梯形矩陣. 例如 第8頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四階梯形矩陣的一般形式為上述矩陣中,bk(1kr)為

4、非零常數(shù)，*號(hào)表示某一常數(shù). 第9頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四如果矩陣 A除滿足上述條件(1) 、(2)外，還滿足條件： (3) 各非零行的第一個(gè)非零元素均為1，且所在列的其它元素都為零，則稱 A為簡(jiǎn)化階梯形矩陣. 例如 為簡(jiǎn)化階梯形矩陣；第10頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四定理2.5.1 任何非零矩陣都可以通過(guò)初等行變換化為階梯形矩陣.第11頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四證 設(shè)矩陣第12頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四記 依次減去第一行的 倍，則A可化為 .從矩陣的第二行起，再對(duì)矩陣 A1

5、應(yīng)用上述方法，繼續(xù)進(jìn)行下去，即可把 A化為階梯形矩陣. 證畢. 第13頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四設(shè)矩陣A已通過(guò)初等行變換化為階梯形矩陣，我們?cè)賹?duì)它的第k行分別乘以 初等行變換，則矩陣A就可以化為簡(jiǎn)化階梯形 ，然后再對(duì)矩陣作第三種第14頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四（2.5.2） 再對(duì)矩陣（2.5.2）作初等列變換和初等行變換，則可以把它化成如下更加簡(jiǎn)單的形式 第15頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四（2.5.3） 矩陣（2.5.3）的左上角是一個(gè)單位矩陣，我們稱（2.5.3）為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形. 第16頁(yè)，共63頁(yè)，2

6、022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四由以上討論，我們可以得到如下結(jié)論定理2.5.2 任意非零矩陣A=(aij)mn都與它的標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià),即存在矩陣 ，使 其中Er為 r階單位矩陣,1rmin m,n.后面還要說(shuō)明： 一個(gè)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，它反映了矩陣在初等變換下的一種不變性. 第17頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四例2.5.1 用初等行變換把矩陣化為階梯形和簡(jiǎn)化階梯形.第18頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四解r4+r1第19頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四第20頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四

7、這就是矩陣 A的階梯形. 再對(duì)其進(jìn)行初等行變換 第21頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四r2+(-2)r3第22頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四此即到矩陣A的簡(jiǎn)化階梯形矩陣. 如果再對(duì) A的簡(jiǎn)化階梯形作列的初等變換,可得矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形 第23頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四第24頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四c4c5第25頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四2.5.2 初等矩陣定義2.5.4 由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.由于矩陣的初等變換有三種，所以對(duì)應(yīng)的

8、初等矩陣有三類：第26頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四i 行j行(1)互換E的第i行（列）與第 j 行（列），第27頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四(2) 用數(shù)k0乘 E的第i行(列)，記為 i行第28頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四(3) 用數(shù)k乘 E的第j行(i列)加到第i行(j列)上，記為 i 行j 行第29頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四我們把 分別稱為互換、倍乘、倍加初等矩陣. (1) 初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為同類型的初等矩陣；初等矩陣的性質(zhì)：(3) 初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，且 (2)

9、 初等矩陣都是可逆矩陣；第30頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四對(duì)于初等矩陣，我們有如下定理定理2.5.3 設(shè)A是一個(gè) mn矩陣, 對(duì) A作一次初等行變換，相當(dāng)于在 A的左邊乘以相應(yīng)的 m階初等矩陣；對(duì) A作一次初等列變換，相當(dāng)于在 A的右邊乘以相應(yīng)的 n階初等矩陣.這個(gè)定理建立了初等變換和初等矩陣的聯(lián)系.第31頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四證 僅就對(duì)行作第三種初等變換的情形給出證明.設(shè)矩陣 A=(aij)mn，用m階初等矩陣E(i,j(k)左乘以A ，則 第32頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四上式右端相當(dāng)于對(duì)矩陣A作第三

10、種初等行變換(即把矩陣 A的第 j行乘以常數(shù) k加到第 i行上). 證畢.第33頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四利用定理2.5.3和矩陣等價(jià)的定義, 立即可以得到如下定理 定理2.5.4 mn矩陣A與B等價(jià)有m階初等矩陣P1,P2,Ps與n階初等矩陣 Q1,Q2,Qt ,使得 若記P=Ps P2P1，Q=Q1Q2Qt ，則 P為 m階可逆矩陣， Q為 n階可逆矩陣，于是得到以下推論。第34頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四推論1 mn矩陣A與B等價(jià)存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣 Q ,使得 推論2 對(duì)于任意非零mn矩陣A，必存在m階可逆矩陣 P與

11、 n階可逆矩陣Q,使得 （2.5.4） 這里 是矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形. 第35頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四推論3 若A為n階可逆矩陣，則A E 若不然，它的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣主對(duì)角線上至少含有一個(gè)零元素，對(duì)（2.5.4）兩端取行列式，|PAQ|=0即|P|A|Q|=0此與矩陣A,P,Q可逆， |A|P|Q|0矛盾.第36頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四 若n階矩陣A可逆，由推論3，存在 n階初等矩陣 P1,P2,Pt,Pt+1,Ps ，使 即可逆矩陣 A可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積；反之，若A能表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積，根據(jù)可逆矩陣的乘積仍為可逆矩陣的

12、結(jié)論， A一定是可逆的. 第37頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四因此，得到如下結(jié)論推論4 n階矩陣 A可逆的充分必要條件是它可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積. 應(yīng)用這個(gè)結(jié)論，可以得到一個(gè)應(yīng)用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法. 設(shè)矩陣A可逆，則 A-1可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積，即 A-1 = P1P2Pt.由 A-1A=E，有 （2.5.5） (2.5.6) 即第38頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四（2.5.5）式表明，可逆矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換可化為單位矩陣 E ；(2.5.6)式則表明，這些初等行變換同時(shí)可以把單位矩陣 E化為 A-1.根據(jù)

13、分塊矩陣的乘法，（2.5.5），(2.5.6)兩式可合并為或第39頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四 例2.5.2 設(shè)用初等行變換法求A-1 第40頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四解 第41頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四r3+r2 第42頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四r2+(-3)r3第43頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四所以第44頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四作業(yè)Page 67 習(xí)題2.4：2. ； 3. （1）、（2）. 第45頁(yè)，共63頁(yè)，2

14、022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四 2.5.3* 分塊矩陣的初等變換前面介紹了矩陣的初等變換，它在求可逆矩陣的逆矩陣等方面有著重要的應(yīng)用，下面我們把它推廣到分塊矩陣的情形.這里僅以22分塊矩陣為例進(jìn)行討論. 將n階單位矩陣進(jìn)行如下分塊 ， 其中k+s=n 第46頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四對(duì)其分別進(jìn)行兩行(列)的互換，某一行(列)左乘（右乘）一個(gè)矩陣P(Q) ，把某一行(列)的 M倍(N倍)( M,N為矩陣）加到另一行(列)上的初等變換，可得如下三種分塊初等矩陣： (1)分塊互換初等矩陣 第47頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四(2) 分

15、塊倍乘初等矩陣 這里P為k階可逆矩陣, Q為s階可逆矩陣； (3) 分塊倍加初等矩陣 這里M為ks矩陣，N為 sk矩陣.第48頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四同初等矩陣與初等變換的關(guān)系一樣，對(duì)分塊矩陣進(jìn)行初等行變換或初等列變換，只需選擇適當(dāng)?shù)姆謮K初等矩陣去左乘或右乘該矩陣即可. 例如，對(duì)于分塊矩陣 （2.5.7） 為了求逆矩陣或矩陣的行列式，往往需要把它的子塊B或C化為零矩陣.為此，只要對(duì)該矩陣作第三種初等變換即可. 第49頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四對(duì)矩陣（2.5.7）左乘一個(gè)倍加分塊初等矩陣，則為了消去（2.5.7）中的子塊C，可選擇適當(dāng)

16、的 N，使NA+C=O 當(dāng)A可逆時(shí)，只需取N=-CA-1，則 （2.5.8） 第50頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四若要消去矩陣（2.5.7）中的子塊B，可右乘一個(gè)倍加分塊初等矩陣， 同樣，在上式中可適當(dāng)選擇M，使 AM+B=O. 當(dāng)A可逆時(shí)，只需取M=-A-1B，則 (2.5.9) 第51頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四 下面我們舉例說(shuō)明分塊初等矩陣的應(yīng)用. 例2.5.3 設(shè)其中A為k階可逆矩陣，B為s階可逆矩陣，求D-1 第52頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四解 由于第53頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四所以第54頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四例2.5.4 設(shè)A,B,C,D均為n階方陣，矩陣A可逆，且AC=CA，證明第55頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四即上式兩端取行列式證 由（2.5.9）第56頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四第57頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四例2.5.5 設(shè)A,B均為3階方陣，且|B|0，試求 第58頁(yè)，共63頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2分，星期四左上角的子塊-B化為零矩陣，然后利用行列式的