2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案

1、 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算考試要求1.通過實例分析，了解平均變化率、瞬時變化率了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.了解利用導(dǎo)數(shù)定義，求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(axb)的導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)的概念(1)如果當x0時，平均變化率 eq f(y,x)無限趨近于一個確定的值，即 eq f(y,x)有極根，則稱yf(x)在xx0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f(x0)或y eq blc|(avs4alco1(xx0)，即f(x0)

2、eq o(lim,sdo6(x0) eq f(y,x) eq o(lim,sdo6(x0) eq f(f（x0 x）f（x0）,x).(2)當xx0時，f(x0)是一個唯一確定的數(shù)，當x變化時，yf(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為yf(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，記為f(x)(或y)，即f(x)y eq o(lim,sdo6(x0) eq f(f（xx）f（x）,x).提醒：f(x0)代表函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，且(f(x0)0.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率，相應(yīng)的切線

3、方程為yf(x0)f(x0)(xx0)提醒：求曲線的切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q，0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x) eq f(1,x ln a)f(x)ln xf(x) eq f(1,x)4導(dǎo)數(shù)的運算法則若f(x)，g(x)存在，則有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g

4、(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) eq blcrc(avs4alco1(f(f（x）,g（x）) eq f(f（x）g（x）f（x）g（x）,g（x）2)(g(x)0)；(4)cf(x)cf(x)5復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)(1)一般地，對于兩個函數(shù)yf(u)和ug(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)yf(u)與ug(x)的復(fù)合函數(shù)，記作yf(g(x)(2)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積常用結(jié)論函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時

5、變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡” 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)f(x0)是函數(shù)yf(x)在xx0附近的平均變化率()(2)求f(x0)時，可先求f(x0)，再求f(x0).()(3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線()(4)函數(shù)f(x)sin (x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)cos x()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1某跳水運動員離開跳板后， 他達到的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式是h(t)104.9t28t(距離單位：米，時間單位：秒)，則他在0.5秒時的瞬時速度為()A9.1

6、米/秒B6.75米/秒C3.1米/秒 D2.75米/秒Ch(t)9.8t8，h(0.5)9.80.583.1.2已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)C由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，0f(3)f(3)f(2)f(2)，故選C.3若yln (2x5)，則y_ eq f(2,2x5)令v2x5，則y eq f(v,v) eq f(2,2x5).4函數(shù)f(x)ex eq f(1,x)在x1處的切線方程為_y(e1)x2f(x

7、)ex eq f(1,x2)，f(1)e1，又f(1)e1，切點為(1，e1)，切線斜率kf(1)e1，即切線方程為y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x2. 考點一導(dǎo)數(shù)的運算1設(shè)f(x)是函數(shù)f(x) eq f(cos x,ex)x的導(dǎo)函數(shù)，則f(0)的值為_0f(x) eq f(（sin x）excos xex,（ex）2)1 eq f(sin xcos x,ex)1，f(0)110.2若函數(shù)f(x)eaxln (x1)，f(0)4，則a_3f(x)aeax eq f(1,x1)，f(0)a14，a3.3已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，f(x)2x23xf(1)，則f(1)_1f(

8、x)2x23xf(1)，f(x)4x3f(1)，將x1代入，得f(1)43f(1)，得f(1)1.f(x)2x23x，f(1)1.4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yx2sin x；(2)yln x eq f(1,x)；(3)yx sin eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)cos eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)；(4)f(x) eq r(2x1).解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2x sin xx2cos x.(2)y eq blc(rc)(avs4alco1(ln xf(1,x)(ln x) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1

9、,x) eq f(1,x) eq f(1,x2).(3)yx sin eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)cos eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2) eq f(1,2)x sin (4x) eq f(1,2)x sin 4x，y eq f(1,2)sin 4x eq f(1,2)x4cos 4x eq f(1,2)sin 4x2x cos 4x.(4)f(x) eq f(1,2r(2x1)(2x1) eq f(1,r(2x1) eq f(r(2x1),2x1).導(dǎo)數(shù)的運算方法(1)乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)或利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求解(乘積形

10、式).(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)(3)指數(shù)或?qū)?shù)形式：先化為和或差的形式，再求導(dǎo)(4)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo) 考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象典例11已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()ABCDB由yf(x)的圖象是先上升后下降可知，函數(shù)yf(x)圖象的切線的斜率先增大后減小，故選B.求切線方程典例12(1)(2021全國甲卷)曲線y eq f(2x1,x2)在點(1，3)處的切線方程為_真題衍生若直

11、線x2yc0是函數(shù)f(x)的圖象的一條切線，則函數(shù)f(x)不可能是()Af(x)exBf(x)x4Cf(x)sin x Df(x) eq f(1,x)D直線x2yc0的斜率為k eq f(1,2).由f(x)ex的導(dǎo)數(shù)為f(x)ex，而ex eq f(1,2)，解得xln 2，故A不滿足題意；由f(x)x4的導(dǎo)數(shù)為f(x)4x3，而4x3 eq f(1,2)，解得x eq f(1,2)，故B不滿足題意；由f(x)sin x的導(dǎo)數(shù)為f(x)cos x，而cos x eq f(1,2)有解，故C不滿足題意；由f(x) eq f(1,x)的導(dǎo)數(shù)為f(x) eq f(1,x2)，即所有切線的斜率均小于

12、0，故D滿足題意故選D.(2)已知函數(shù)f(x)x ln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為_(1)y5x2(2)xy10(1)y eq blc(rc)(avs4alco1(f(2x1,x2) eq f(2（x2）（2x1）,（x2）2) eq f(5,（x2）2)，所以y|x1 eq f(5,（12）2)5，所以切線方程為y35(x1)，即y5x2.(2)點(0，1)不在曲線f(x)x ln x上，設(shè)切點為(x0，y0).又f(x)1ln x，直線l的方程為y1(1ln x0)x.由 eq blc(avs4alco1(y0 x0ln x0，,y01（1ln

13、x0）x0，)解得 eq blc(avs4alco1(x01，,y00.)直線l的方程為yx1，即xy10.求參數(shù)的值(范圍)典例13若曲線f(x)x ln x2m上點P處的切線方程為xy0.(1)求實數(shù)m的值；(2)若過點Q(1，t)存在兩條直線與曲線yf(x)相切，求實數(shù)t的取值范圍解(1)設(shè)點P坐標為(n，n).f(x)x ln x2m的導(dǎo)數(shù)為f(x)1ln x，點P(n，n)處的切線斜率為1ln n1，可得n1，即切點為(1，1)，則12m，解得m eq f(1,2).(2)f(x)x ln x1.設(shè)切點為(u，v)，則切線的斜率為f(u)1ln u，即有切線的方程為yu ln u1(

14、1ln u)(xu).代入點Q(1，t)，即有tu ln u1(1ln u)(1u).即為t2ln uu在(0，)上有兩實數(shù)解，記g(u)ln uu，導(dǎo)數(shù)為g(u) eq f(1,u)1.當u1時，g(u)單調(diào)遞減，當0u1時，g(u)單調(diào)遞增，可得當u1時，取得最大值g(1)1，即有t21，解得t0.又4x eq f(1,x)2 eq r(4xf(1,x)4，當且僅當x eq f(1,2)時取“”a422.實數(shù)a的取值范圍是2，).(3)設(shè)l與f(x)ex的切點為(x1，ex1)，與g(x)ln x2的切點為(x2，ln x22).因為f(x)ex，g(x) eq f(1,x)，所以l：ye

15、x1xx1ex1ex1y eq f(1,x2)xln x21. eq blc(avs4alco1(ex1f(1,x2)，,（1x1）ex1ln x21，)解得 eq blc(avs4alco1(x10，,x21，)或 eq blc(avs4alco1(x11，,x2f(1,e)切線方程為yx1或yex.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第1課時函數(shù)的單調(diào)性考試要求1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件結(jié)論函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f(x)0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞

16、增f(x)0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減f(x)0f(x)在(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)提醒：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)是解不等式，求解時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則常用結(jié)論1在某區(qū)間內(nèi)f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件2可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性()(2)在(a，b)內(nèi)f(x)0且f(x)0的根有

17、有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減()(3)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f(x)0，則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增()(4)函數(shù)f(x)xsin x在R上是增函數(shù)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1.如圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A在區(qū)間(3，1)上f(x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1，3)上f(x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4，5)上f(x)是增函數(shù)D在區(qū)間(3，5)上f(x)是增函數(shù)C由圖象可知，當x(4，5)時，f(x)0，故f(x)在(4，5)上是增函數(shù)2函數(shù)f(x)cos xx在(0，)上的單調(diào)性是()A先增后減B先減后增C增函數(shù) D減函數(shù)

18、D因為f(x)sin x10在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上是減函數(shù)，故選D.3函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)遞減區(qū)間為_(0，1)函數(shù)f(x)的定義域為x|x0，由f(x)1 eq f(1,x)0，得0 x1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1).4已知f(x)x3ax在1，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的最大值是_3f(x)3x2a0，即a3x2，又因為x1， )，所以a3，即a的最大值是3. 考點一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)f(x)x22ln x的遞減區(qū)間是()A(0，1)B(1，) C(，1) D(1，1)Af(x)2x eq f(2,x) eq f(2（x1）（x1）,x)

19、(x0)，當x(0，1)時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)故選A.2函數(shù)f(x)(x3)ex的遞增區(qū)間是()A(，2) B(0，3)C(1，4) D(2，)Df(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，故選D.3已知定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)f(x)x2cos x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_ eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,6)， eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)，)f(x)12sin x，x(0，)，令f(x)0，得x eq f(,6)或x eq f(5,6)，當0 x eq f(,6)時，f(x)0，當 eq f(,6

20、)x eq f(5,6)時，f(x)0，當 eq f(5,6)x時，f(x)0，f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,6)和 eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)，)上單調(diào)遞增，在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(5,6)上單調(diào)遞減利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f(x)的零點；第3步，用f(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，判斷f(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)yf(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性 考點二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 eq avs4al(典例1)已知函數(shù)f(x) eq

21、f(1,2)ax2(a1)xln x，a0，試討論函數(shù)yf(x)的單調(diào)性解函數(shù)的定義域為(0，)，f(x)ax(a1) eq f(1,x) eq f(ax2（a1）x1,x) eq f(（ax1）（x1）,x).當0a1，x(0，1)和 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，)時，f(x)0；x eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,a)時，f(x)1時，0 eq f(1,a)0；x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，1)時，f(x)0，函數(shù)f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)和(1，)上單調(diào)遞增，在 e

22、q blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，1)上單調(diào)遞減綜上，當0a1時，函數(shù)f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)和(1，)上單調(diào)遞增，在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，1)上單調(diào)遞減母題變遷若將本例中參數(shù)a的范圍改為aR，其他條件不變，試討論f(x)的單調(diào)性解當a0時，討論同例題解析；當a0時，ax10；x(1，)時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減綜上，當a0時，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；當0a1時，函數(shù)f(x)在 eq blc(rc)(avs4alc

23、o1(0，f(1,a)和(1，)上單調(diào)遞增，在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，1)上單調(diào)遞減對于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，常見的分類討論點按討論的先后順序有以下三個：分類討論點1：求導(dǎo)后，考慮f(x)0是否有實數(shù)根，從而引起分類討論；分類討論點2：求導(dǎo)后，f(x)0有實數(shù)根，但不清楚f(x)0的實數(shù)根是否落在定義域內(nèi)，從而引起分類討論；分類討論點3：求導(dǎo)后，f(x)0有實數(shù)根，f(x)0的實數(shù)根也落在定義域內(nèi)，但不清楚這些實數(shù)根的大小關(guān)系，從而引起分類討論跟進訓(xùn)練1(2021新高考卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)(x1)exax2b，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解f(x)xex2ax

24、x(ex2a)，當a0時，令f(x)0 x0，且當x0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當x0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當0a eq f(1,2)時，令f(x)0 x10，x2ln 2a0，且當xln 2a時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當ln 2ax0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當x0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當a eq f(1,2)時，f(x)x(ex1)0，f(x)在R上單調(diào)遞增；當a eq f(1,2)時，令f(x)0 x10，x2ln 2a0，且當x0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當0 xln 2a時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當xln 2a時，f(x

25、)0，f(x)單調(diào)遞增 考點三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(范圍) eq avs4al(典例2)若函數(shù)f(x)x3ax21在區(qū)間1，2上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍四字解題讀想算思f(x)在1，2上單調(diào)遞減f(x)0對x1，2恒成立函數(shù)的最值分離變量 eq blc(avs4alco1(f（1）0，,f（2）0，)數(shù)形結(jié)合解不等式f(x)0子集思想解法一(分離變量法)：f(x)3x22ax.由f(x)在1，2上單調(diào)遞減知f(x)0，即3x22ax0在1，2上恒成立，即a eq f(3,2)x在1，2上恒成立故只需a eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x) eq sdo7(max

26、)，故a3.所以a的取值范圍是3，).法二(數(shù)形結(jié)合法)：f(x)3x22ax.由f(x)在1，2上單調(diào)遞減知f(x)0對x1，2恒成立所以 eq blc(avs4alco1(f（1）32a0，,f（2）124a0，)解得a3.所以a的取值范圍是3，).法三(集合關(guān)系法)：f(x)3x22ax.當a0時，f(x)0，故yf(x)在(，)上單調(diào)遞增，與yf(x)在區(qū)間1，2上單調(diào)遞減不符，舍去當a0時，由f(x)0得0 x eq f(2,3)a，即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 eq blcrc(avs4alco1(0，f(2,3)a).由f(x)在1，2上單調(diào)遞減得 eq f(2,3)a2，得a3.

27、綜上可知，a的取值范圍是3，).利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩類熱點問題的處理方法(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間方法一：轉(zhuǎn)化為“f(x)0(0)在區(qū)間D上有解”；方法二：轉(zhuǎn)化為“存在區(qū)間D的一個子區(qū)間使f(x)0(或f(x)0)成立”(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減).方法一：轉(zhuǎn)化為“f(x)0(0)在區(qū)間D上恒成立”；方法二：轉(zhuǎn)化為“區(qū)間D是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子集”跟進訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)2cos x(msin x)3x在(，)上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是()A1，1B eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)

28、C eq blcrc(avs4alco1(1，f(1,2) D eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)(2)已知函數(shù)f(x)x3kx在(3，1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是_(1)B(2)(0，27)(1)f(x)2sin x(msin x)2cos x(cos x)3.因為f(x)在(，)上單調(diào)遞減，所以f(x)0恒成立，整理得4sin2x2m sinx50.設(shè)sin xt(1t1)，則不等式g(t)4t22mt50在區(qū)間1，1上恒成立于是有 eq blc(avs4alco1(g（1）42m50，,g（1）42m50，)即 eq blc(avs4alco

29、1(mf(1,2)，,mf(1,2)故實數(shù)m的取值范圍是 eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2).故選B.(2)法一(間接法)：若f(x)x3kx在(3，1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則f(x)3x2k0在(3，1)上恒成立，即k3x2在(3，1)上恒成立，故k0.若f(x)x3kx在(3，1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則f(x)3x2k0在(3，1)上恒成立，即k3x2在(3，1)上恒成立，故k27.所以當函數(shù)f(x)x3kx在(3，1)上是單調(diào)函數(shù)時，實數(shù)k的取值范圍是k0或k27，當函數(shù)f(x)x3kx在(3，1)上不是單調(diào)函數(shù)時，實數(shù)k的取值范圍是0k0時，由f(x)3x2k

30、0，得 eq r(f(k,3)x0，得x eq r(f(k,3).在 eq blc(rc)(avs4alco1(，r(f(k,3)， eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(k,3)，)上f(x)是增函數(shù)要滿足函數(shù)f(x)x3kx在(3，1)上不是單調(diào)函數(shù)，由對稱性得， eq r(f(k,3)3，所以kf(x)，則不等式ex1f(x)f(x)，F(xiàn)(x)0，即函數(shù)F(x)在定義域上單調(diào)遞增ex1f(x)f(2x1)， eq f(f（x）,ex) eq f(f（2x1）,e2x1)，即F(x)F(2x1)，x1，不等式ex1f(x)0時，xf(x)f(x)0成立的x的取值范圍是()A.(

31、，1)(0，1)B(1，0)(1，)C.(，1)(1，0)D(0，1)(1，)(2)設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)0時，g(x)0，從而f(x)0；當x(1，)時，g(x)0，從而f(x)0；當x(1，0)時，f(x)0f(x)g(x) 0，所以函數(shù)yf(x)g(x)在(，0)上單調(diào)遞增又由題意知函數(shù)yf(x)g(x)為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，且過點(3，0)，(0，0)，(3，0).數(shù)形結(jié)合可求得不等式f(x)g(x)0(或k(或0(或0(或0(或0(或0(或0(或0)，構(gòu)造函數(shù)F(x) eq f(f（x）,enx

32、).f(x)、f(x)與sin x，cos x的組合型 eq avs4al(典例7)(2021重慶模擬)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，對任意x eq blc(rc)(avs4alco1(，0)，f(x)sin xf eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)B.f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6) eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)C. eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)D.f eq blc(rc)(avs4alco1(f(

33、5,6) eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)C因為對任意x eq blc(rc)(avs4alco1(，0)，f(x)sin xf(x)cos x恒成立，即對任意x eq blc(rc)(avs4alco1(，0)，f(x)sin xf(x)cos x0恒成立，又x eq blc(rc)(avs4alco1(，0)時，sin x0，所以 eq blcrc(avs4alco1(f(f（x）,sin x) eq f(f（x）sin xf（x）cos x,sin2x)0，所以 eq f(f（x）,sinx)在 eq blc(rc)(avs4alco1(，0)上單

34、調(diào)遞減，因為 eq f(5,6) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(3,4),sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，即 eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(5,6),f(1,2) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(3,4),f(r(2),2)，所以 eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，故選C.sin x，cos x的導(dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性，其常見考查形式如下：F(x)f(x)sin x，F(xiàn)(x)f(x)sin xf(x)co

35、s x；F(x) eq f(f（x）,sin x)，F(xiàn)(x) eq f(f（x）sin xf（x）cos x,sin2x)；F(x)f(x)cosx，F(xiàn)(x)f(x)cos xf(x)sin x；F(x) eq f(f（x）,cos x)，F(xiàn)(x) eq f(f（x）cos xf（x）sin x,cos2x).跟進訓(xùn)練4定義在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上的函數(shù)f(x)，函數(shù)f(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f(x)f(x)tanx成立，則()A. eq r(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq r(2)f eq blc(rc)(avs4a

36、lco1(f(,3) Bf(1)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sin 1C. eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) D eq r(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)Df(x)f(x)tan xf(x)sin xf(x)cos x0，令F(x) eq f(f（x）,sin x)，則F(x) eq f(f（x）sin xf（x）cos x,sin2x)0，即函數(shù)F(x)在 eq blc(rc)(avs

37、4alco1(0，f(,2)上是增函數(shù)，A項，F(xiàn) eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，即 eq f(fblc(rc)(avs4alco1(f(,4),sin f(,4) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(,3),sin f(,3)， eq r(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，故A項錯誤；B項，F(xiàn) eq blc(rc)(avs4alco1(1)F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，即

38、 eq f(f（1）,sin 1) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(,6),sin f(,6)，f(1)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sin 1，故B項錯誤；C項，F(xiàn) eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，即 eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(,6),sin f(,6) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(,4),sin f(,4)， eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f eq blc(rc)(avs

39、4alco1(f(,4)，故C項錯誤；D項，F(xiàn) eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，即 eq f(fblc(rc)(avs4alco1(f(,6),sin f(,6) eq f(fblc(rc)(avs4alco1(f(,3),sin f(,3)， eq r(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，故選D.5設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1)0，當x0時，有xf(x)f(x)0恒成立，則不等式f(x)0的解集為_(，1)(1，)構(gòu)造F(

40、x) eq f(f（x）,x)，則F(x) eq f(f（x）xf（x）,x2)，當x0時，xf(x)f(x)0，可以推出當x0時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在(，0)上單調(diào)遞增f(x)為偶函數(shù)，yx為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)在(0，)上也單調(diào)遞增根據(jù)f(1)0可得F(1)0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖象(如圖所示)，根據(jù)圖象可知f(x)0的解集為(，1)(1，).6若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)0，f(0)1，則不等式f(x)e2x的解集為_(0，)構(gòu)造F(x) eq f(f（x）,e2x)，則F(x) eq f(e2xf（x）2e2xf（x）,e4x) eq

41、f(f（x）2f（x）,e2x)，函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)0，則F(x)0，F(xiàn)(x)在R上單調(diào)遞增又f(0)1，則F(0)1，f(x)e2x eq f(f（x）,e2x)1F(x)F(0)，根據(jù)單調(diào)性得x0.第2課時函數(shù)的極值與最大(小)值考試要求1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值1函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點xa附近的左側(cè)f(x)0則a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的

42、極小值(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0則b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值提醒：(1)函數(shù)f(x)在x0處有極值的必要不充分條件是f(x0)0，極值點是f(x)0的根，但f(x)0的根不都是極值點(例如f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點).(2)極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)極值點是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點，不會是端點2函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f

43、(x)在區(qū)間a，b上有最值的條件：如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在區(qū)間a，b上的最大(小)值的步驟：求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值常用結(jié)論1若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在a，b上一定有最值2若函數(shù)f(x)在a，b上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值3若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)

44、的極大值不一定比極小值大()(2)函數(shù)yf(x)的零點是函數(shù)yf(x)的極值點()(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值()(4)函數(shù)在某區(qū)間上的極大值是唯一的()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1. f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的極小值點的個數(shù)為()A.1B2C3D4A由題意知在x1處f(1)0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號為左負右正，f(x)在x1左減右增故選A.2函數(shù)f(x)2xx ln x的極大值是()A. eq f(1,e) B eq f(2,e) Ce De2Cf(x)2(ln x1)1ln x令f(x)0，得xe.當0 xe時，f(x)0；當xe時，f(x)0

45、.所以xe時，f(x)取到極大值，f(x)極大值f(e)e.3若函數(shù)f(x)x(xc)2在x2處有極小值，則常數(shù)c的值為()A.4 B2或6 C2 D6C函數(shù)f(x)x(xc)2的導(dǎo)數(shù)為f(x)3x24cxc2.由題意知，f(x)在x2處的導(dǎo)數(shù)值為128cc20，解得c2或6.又函數(shù)f(x)x(xc)2在x2處有極小值，故導(dǎo)數(shù)在x2處左側(cè)為負，右側(cè)為正當c2時，f(x)x(x2)2的導(dǎo)數(shù)在x2處左側(cè)為負，右側(cè)為正，即在x2處有極小值而當c6時，f(x)x(x6)2在x2處有極大值故c2.4若函數(shù)f(x) eq f(1,3)x34xm在0，3上的最大值為4，則m_4f(x)x24，x0，3，當x

46、0，2)時，f(x)0，所以f(x)在0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3上單調(diào)遞增又f(0)m，f(3)3m.所以在0，3上，f(x)maxf(0)4，所以m4. 考點一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值根據(jù)函數(shù)的圖象判斷極值典例11(2021鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D由題圖可知，當x2時，f(x)0；當2x1時，f(x)0

47、；當1x2時，f(x)0；當x2時，f(x)0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值求已知函數(shù)的極值 eq avs4al(典例12)已知函數(shù)f(x)ln xax(aR).(1)當a eq f(1,2)時，求f(x)的極值；(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù)解(1)當a eq f(1,2)時，f(x)ln x eq f(1,2)x，定義域為(0，)，且f(x) eq f(1,x) eq f(1,2) eq f(2x,2x).令f(x)0，解得x2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞增ln 21單調(diào)遞

48、減故f(x)在定義域上的極大值為f(2)ln 21，無極小值(2)由(1)知，函數(shù)的定義域為(0，)，f(x) eq f(1,x)a eq f(1ax,x).當a0時，f(x)0在(0，)上恒成立，即函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)在定義域上無極值點；當a0，x eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)時，f(x)0，當x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，)時，f(x)0時，函數(shù)f(x)有一個極大值點，且為x eq f(1,a).已知極值(點)求參數(shù) eq avs4al(典例13)(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1處有極值0

49、，則ab_(2)(2021全國乙卷)設(shè)a0，若xa為函數(shù)f(x)a eq blc(rc)(avs4alco1(xa)2 eq blc(rc)(avs4alco1(xb)的極大值點，則()A.abC.aba2(1)11(2)D(1)f(x)3x26axb，由題意得 eq blc(avs4alco1(f（1）0，,f（1）0，)解得 eq blc(avs4alco1(a1，,b3)或 eq blc(avs4alco1(a2，,b9，)當a1，b3時，f(x)3x26x33(x1)20，f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)無極值，所以a1，b3不符合題意，當a2，b9時，經(jīng)檢驗滿足題意ab11.(2)f

50、(x)a2(xa)(xb)(xa)2a(xa)(3xa2b)，令f(x)0，結(jié)合a0，解得xa，或x eq f(a2b,3)，由題意得f(x)在直線xa的附近時，左側(cè)為正值，右側(cè)為負值，當a0時，作出f(x)圖象如圖所示，則a eq f(a2b,3)，即0ab；當a0時，作出f(x)的大致圖象如圖所示，則a eq f(a2b,3)，即0ab，綜上，a與ab始終異號，即a(ab)0，所以a2ab.圖圖與函數(shù)極值相關(guān)的兩類熱點問題(1)求函數(shù)f(x)極值的一般解題步驟確定函數(shù)的定義域求導(dǎo)數(shù)f(x).解方程f(x)0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根列表檢驗f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號(2)

51、根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的兩個要領(lǐng)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解驗證：求解后驗證根的合理性跟進訓(xùn)練1(1)已知x2是f(x)x33ax2的極小值點，那么函數(shù)f(x)的極大值為_(2)已知函數(shù)f(x)x3ax2 eq f(4,27).若f(x)在(a1，a3)上存在極大值，則a的取值范圍是_(1)18(2)(9，0)(0，1)(1)函數(shù)f(x)x33ax2的導(dǎo)數(shù)f(x)3x23a，由題意得，f(2)0，即123a0，解得a4.f(x)x312x2，f(x)3x2123(x2)(x2)，由f(x)0，得x2或x2，即函數(shù)f(x)在(，2)和(2，)上單調(diào)遞增；

52、由f(x)0，得2x2，函數(shù)f(x)在(2，2)上單調(diào)遞減；故f(x)在x2處取極小值，x2處取極大值，且f(2)824218.即f(x)極大值18.(2)f(x)3x22axx(3x2a)，令f(x)0，得x10，x2 eq f(2a,3).當a0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)無極值，不合題意當a0時，f(x)在x eq f(2a,3)處取得極小值，在x0處取得極大值，則a100，所以0a1.當a0時，f(x)在x eq f(2a,3)處取得極大值，在x0處取得極小值，則a1 eq f(2a,3)a3，又a0，所以9a0.所以a的取值范圍為(9，0)(0，1). 考點二利用導(dǎo)數(shù)求

53、函數(shù)的最值 eq avs4al(典例2)已知函數(shù)f(x)axln x，其中a為常數(shù)(1)當a1時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e上的最大值為3，求a的值解(1)易知f(x)的定義域為(0，)，當a1時，f(x)xln x，f(x)1 eq f(1,x) eq f(1x,x)，令f(x)0，得x1.當0 x0；當x1時，f(x)0.f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減f(x)maxf(1)1.當a1時，函數(shù)f(x)在(0，)上的最大值為1.(2)f(x)a eq f(1,x)，x(0，e， eq f(1,x) eq blcrc)(avs4alco1(f(1,e

54、)，).若a eq f(1,e)，則f(x)0，從而f(x)在(0，e上單調(diào)遞增，f(x)maxf(e)ae10，不符合題意若a0得a eq f(1,x)0，結(jié)合x(0，e，解得0 x eq f(1,a)；令f(x)0得a eq f(1,x)0，結(jié)合x(0，e，解得 eq f(1,a)xe.從而f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)上單調(diào)遞增，在 eq blc(rc(avs4alco1(f(1,a)，e)上單調(diào)遞減，f(x)maxf eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1ln eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a).令1ln e

55、q blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)3，得ln eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)2，即ae2.e2 eq f(1,e)，ae2為所求故實數(shù)a的值為e2.求函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟跟進訓(xùn)練2(2021北京高考節(jié)選)若函數(shù)f(x) eq f(32x,x2a)在x1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值解因為f(x) eq f(32x,x2a)，則f(x) eq f(2blc(rc)(avs4alco1(x2a)2xblc(rc)(avs4alco1(32x),blc(rc)(avs4alco1(x2a)2) eq f(2blc

56、(rc)(avs4alco1(x23xa),blc(rc)(avs4alco1(x2a)2)，由題意可得f(1) eq f(2blc(rc)(avs4alco1(4a),blc(rc)(avs4alco1(a1)2)0，解得a4，故f(x) eq f(32x,x24)，f(x) eq f(2blc(rc)(avs4alco1(x1)blc(rc)(avs4alco1(x4),blc(rc)(avs4alco1(x24)2)，當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下：x(，1)1(1，4)4(4，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，

57、1)、(4，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，4).極大值為f(1)1，極小值為f(4) eq f(1,4).當x0；當x eq f(3,2)時，f(x)0.所以，f(x)maxf(1)1，f(x)minf(4) eq f(1,4). 考點三導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用 eq avs4al(典例3)(2020江蘇高考)某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示，谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO為鉛垂線(O在AB上).經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離h1(米)與D到OO的距離a(米)之間滿足關(guān)系式h1 eq f(1,40)a2；右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離h2(米)

58、與F到OO的距離b(米)之間滿足關(guān)系式h2 eq f(1,800)b36b.已知點B到OO的距離為40米(1)求橋AB的長度；(2)計劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)，橋墩CD每米造價 eq f(3,2)k(萬元)(k0)，問OE為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？解(1)如圖，設(shè)AA1，BB1，CD1，EF1都與MN垂直，A1，B1，D1，F(xiàn)1是相應(yīng)垂足由條件知，當OB40時，BB1 eq f(1,800)403640160，則AA1160.由 eq f(1,40)OA2160，得OA80.所以ABO

59、AOB8040120(米).(2)以O(shè)為原點，OO為y軸建立平面直角坐標系xOy(如圖所示).設(shè)F(x，y2)，x(0，40)，則y2 eq f(1,800)x36x，EF160y2160 eq f(1,800)x36x.因為CE80，所以O(shè)C80 x.設(shè)D(x80，y1)，則y1 eq f(1,40)(80 x)2，所以CD160y1160 eq f(1,40)(80 x)2 eq f(1,40)x24x.記橋墩CD和EF的總造價為f(x)，則f(x)k eq blc(rc)(avs4alco1(160f(1,800)x36x) eq f(3,2)k eq blc(rc)(avs4alco1

60、(f(1,40)x24x)k eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,800)x3f(3,80)x2160)(0 x40).f(x)k eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,800)x2f(3,40)x) eq f(3k,800)x(x20)，令f(x)0，得x20.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下：x(0，20)20(20，40)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當x20時，f(x)取得最小值答：(1)橋AB的長度為120米；(2)當OE為20米時，橋墩CD和EF的總造價最低利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的四個步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，建立實際