現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法課件-第13章-桿系結(jié)構(gòu)有限元法

1、第13章 桿系結(jié)構(gòu)第13章 桿系結(jié)構(gòu)重慶朝天門大橋 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)2重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院重慶朝天門大橋 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)2重慶大13.1 一維桿單元13.1.1 一維桿單元及其位移模式 一維桿單元如圖13.1所示，單元長度為L，橫截面積為A，材料彈性模量為E。單元的兩個結(jié)點(diǎn)記為i、j，單元只承受軸向力。取一維坐標(biāo)O x為由i 指向 j，結(jié)點(diǎn)位移向量記為 結(jié)點(diǎn)力向量記為 線性位移模式為 圖13.1 一維桿單元 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)3重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（13-3） 13.1 一維桿單元13.1.1 一維桿單元及其位移模式13.1.2 一維桿單元的形函數(shù) 利

2、用單元兩結(jié)點(diǎn)處的位移條件：解出 并回代入（13-3），按結(jié)點(diǎn)位移 整理 （13-4） 形函數(shù) （13-5） 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)4重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)4重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院14.1.3 一維桿單元的應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣和單元剛度矩陣 從材料力學(xué)可知將式(13-3)代入上式可得： （13-6） 式中 （13-7）由胡克定理： （13-8）應(yīng)力矩陣 （13-9） 單元剛度矩陣為現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)5重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院14.1.3 一維桿單元的應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣和單元剛度矩陣現(xiàn)將（13-7）代入得 （13-11） 單元的結(jié)點(diǎn)平衡方程為 （13-12）

3、現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)6重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院將（13-7）代入得現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)6重現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院7例13-1 用有限元法求圖13-2（a）所示受拉階梯桿的位移和應(yīng)力。已知桿截面面積 材料彈性模量各段桿長作用于桿端的拉力 解： (1) 單元劃分 如圖（b），為2單元3結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)。(2) 單元剛度矩陣 由（13-12）得：單元： 單元：現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院7例現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院8單元編號 結(jié)點(diǎn)i結(jié)點(diǎn)j 1 2 2 3(3) 整體方程 列出單元及其整體結(jié)點(diǎn)編號表格 將各段的長度，截

4、面積，材料模量和桿端拉力F3的值代入（c）式，可得（c）現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院8單現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院9(4) 計(jì)入邊界條件，解方程組 代入位移邊界條件為u1 = 0，得解得 。 這與材料力學(xué)求得的結(jié)果相同。(5) 計(jì)算單元應(yīng)力 由式（13-8）和式（13-9）對于單元， 對于單元， 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院9(14.2 平面桿單元13.2.1 平面桿單元 平面桿單元如圖13.2所示。單元的截面積為A，材料彈性模量為E，長度為l。整體坐標(biāo)下的結(jié)點(diǎn)位移分量為 結(jié)點(diǎn)力向量為 圖13.2 二維桿單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13

5、章 桿系結(jié)構(gòu)10重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院14.2 平面桿單元13.2.1 平面桿單元圖13.2 13.2.2 坐標(biāo)變換由圖可知 （13-15）結(jié)點(diǎn)位移向量的轉(zhuǎn)換 （13-16） 即 （13-17）式中圖13.3 坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)11重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院13.2.2 坐標(biāo)變換圖13.3 坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換現(xiàn)代設(shè)而方向余弦可由結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算: T 是正交矩陣,即： 單元結(jié)點(diǎn)力向量的轉(zhuǎn)換 （13-19） 即：（13-20） 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)12重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院而方向余弦可由結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算: 單元結(jié)點(diǎn)力向量的轉(zhuǎn)換 （1(c)兩端右乘（13-21）由上(c) (d)

6、兩式可得由 的任意性可得現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)13重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院單元剛度矩陣的轉(zhuǎn)換：(d)式（13-17）代入（13-13）式（13-14）代入（13-20）(c)兩端右乘（13-21）由上(c) (d)兩式可得由 （13-23） 式（13-23）即為二維桿單元的單元剛度矩陣。引入一維桿單元的單元剛度矩陣（13-11）并擴(kuò)展為 （13-22） 可得現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)14重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（13-23） 式（13-23）即為二維桿單元的單元剛度矩陣13.2.3 應(yīng)力的計(jì)算應(yīng)變可以由下式計(jì)算： 單元應(yīng)力可由胡克定理 給出 由式（13-17）可得注意到 ，可得：現(xiàn)代設(shè)計(jì)方

7、法第13章 桿系結(jié)構(gòu)15重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院13.2.3 應(yīng)力的計(jì)算應(yīng)變可以由下式計(jì)算： 單元桿件應(yīng)力為（13-24） 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)16重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院桿件應(yīng)力為（13-24） 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)例2 平面桁架，尺寸如圖13-5所示，各桿截面積，材料彈性模量，試確定各桿應(yīng)力和各結(jié)點(diǎn)位移。解：1） 結(jié)點(diǎn)編號，結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，各單元方向余弦 單元結(jié)點(diǎn) i131j223 結(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 123 x(m)050 y(m)005 單元方向余弦 l(m)57.075cos10.7070sin0-0.7071現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)17重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院圖13-5 例題13-2例

8、2 平面桁架，尺寸如圖13-5所示，各桿截面積，材料計(jì)算單元剛度矩陣得現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)18重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院由式（13-23）計(jì)算單元剛度矩陣得現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)18重3） 組集整體剛度矩陣得整體平衡方程式現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)19重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3） 組集整體剛度矩陣得整體平衡方程式現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第14） 因消除整體剛度矩陣中對應(yīng)的行和列以及載荷向量中對應(yīng)元素解得于是位移向量現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)20重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院4） 因消除整體剛度矩陣中對應(yīng)的行和列以及載荷向量中對應(yīng)元素5） 計(jì)算各桿應(yīng)力，由式（13-24）現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)

9、21重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院5） 計(jì)算各桿應(yīng)力，由式（13-24）現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第1313.3 平面梁單元結(jié)點(diǎn)位移向量 結(jié)點(diǎn)力向量 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)22重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院圖13-6 平面梁單元13.3 平面梁單元結(jié)點(diǎn)位移向量 結(jié)點(diǎn)力向量 現(xiàn)代設(shè)計(jì)13.3.1 單元的位移模式軸向位移取為坐標(biāo)的一次式，撓度取為坐標(biāo)的三次多項(xiàng)式： （13-25） 寫為矩陣形式： 式中：（a） 為待定常數(shù)。 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)23重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院13.3.1 單元的位移模式軸向位移取為坐標(biāo)的一次式，撓將對應(yīng)于梁單元的結(jié)點(diǎn)軸向位移記為：對應(yīng)于梁單元的結(jié)點(diǎn)撓度和轉(zhuǎn)角記為：將梁單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入式

10、（13-25）并注意到 ：可得 ：（b） (c )由式（b）可獲得待定常數(shù)（d） 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)24重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院將對應(yīng)于梁單元的結(jié)點(diǎn)軸向位移記為：對應(yīng)于梁單元的結(jié)點(diǎn)撓度和轉(zhuǎn)（e） 將（d）代入（a），可得用結(jié)點(diǎn)位移表示的位移模式（f） 式中可改寫式（f）為 （13-26） (a)現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)25重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（e） 將（d）代入（a），可得用結(jié)點(diǎn)位移表示的位移模式（f式中：形函數(shù)表示為位于第1，4行、列位于2，3，5，6行、列現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)26重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院式中：形函數(shù)表示為位于第1，4行、列位于2，3，5，6行、列（13-

11、27） 13.2.2 單元的應(yīng)變和應(yīng)力 梁單元的應(yīng)變可以分為拉壓應(yīng)變 和彎曲應(yīng)變 。如不考慮剪切應(yīng)變對于梁撓度的影響，則（13-28） （13-29） 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)27重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（13-27） 13.2.2 單元的應(yīng)變和應(yīng)力 單元的應(yīng)力為：（13-30）13.2.3 單元剛度矩陣單元內(nèi)的虛應(yīng)變?yōu)?單元內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上作的虛功為（g） 單元外力作的虛功有兩部分：梁上分布載荷 在虛位移上作的虛功和單元結(jié)點(diǎn)力 在結(jié)點(diǎn)虛位移上作的虛功，即(h) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)28重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院單元的應(yīng)力為：（13-30）13.2.3 單元剛度矩陣單由（g）（h）兩式得

12、出即（i） 令（i）式改寫為 （13-31）式中：（j） 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)29重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院由（g）（h）兩式得出即（i） 令（i）式改寫為 （13-3單元剛度矩陣為將（13-29）代入上式，積分得 （13-33）式中是梁截面對主軸的慣性矩，A是梁的截面積 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)30重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院單元剛度矩陣為將（13-29）代入上式，積分得 （13-13.3.4 等效結(jié)點(diǎn)力的計(jì)算 由式（j）知，按靜力等效原理將分布載荷移置到單元結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力為 （13-34） 對于分布軸向力、分布橫向力、分布彎矩等的等效結(jié)點(diǎn)力可以分別計(jì)算。這里給出幾種分布載荷的計(jì)算結(jié)果

13、，其它載荷情況可以自行推導(dǎo)。也可以由材料力學(xué)手冊查得相應(yīng)的梁端反力的計(jì)算式并反號作為等效結(jié)點(diǎn)載荷?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)31重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院13.3.4 等效結(jié)點(diǎn)力的計(jì)算 由式（j）知，按載荷現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)32重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院載荷現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)32重慶大學(xué)機(jī)械工程13.3.5 整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣 整體坐標(biāo)下的梁單元載荷向量為 單元剛度矩陣為 梁單元的位移和載荷向量的坐標(biāo)變換公式與桿單元的坐標(biāo)變換公式（13-17）和（13-20）類似。為（13-36） （13-37） （13-35） 結(jié)點(diǎn)位移向量為現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)33重慶大學(xué)機(jī)

14、械工程學(xué)院13.3.5 整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣（13-36） 其中變換矩陣為 （13-38）單元剛度矩陣的變換式為 （13-39） 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)34重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院其中變換矩陣為 （13-38）單元剛度矩陣的變換式為 （13.3.6 梁單元的梁端內(nèi)力 求解整體平衡方程 ：獲得整體坐標(biāo)下的結(jié)點(diǎn)位移和約束反力，據(jù)此可計(jì)算梁單元的內(nèi)力。梁單元的桿端內(nèi)力在局部坐標(biāo)下計(jì)算。由（13-36）得（13-40） 上式代入(13-31)， 計(jì)算獲得結(jié)點(diǎn)力 ， 為梁端載荷和梁分布載荷的等效結(jié)點(diǎn)力之和 于是可得梁單元的梁端內(nèi)力為 （13-41） 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)35重慶大學(xué)機(jī)械

15、工程學(xué)院13.3.6 梁單元的梁端內(nèi)力 求解整體平衡。例13-3 試求解圖示框架各結(jié)點(diǎn)位移。桿件截面為圓管，外徑 ，內(nèi)徑 ，材料彈性模量為 。解: 1） 求解桿件截面常數(shù) 截面積 慣性矩 2） 求出局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣 框架離散為兩個梁單元，單元結(jié)點(diǎn)編號如下表 單元結(jié)點(diǎn)i13j21現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)36重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院圖13-7 兩桿框架。例13-3 試求解圖示框架各結(jié)點(diǎn)位移。桿件截面為圓管，外兩單元的尺寸、材料和結(jié)點(diǎn)編號相同，故其單元剛度矩陣相同。 由（13-33）現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)37重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院兩單元的尺寸、材料和結(jié)點(diǎn)編號相同，故其單元剛度矩陣相同

16、。 由3） 整體剛度矩陣單元的局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系重合，不必進(jìn)行轉(zhuǎn)換。單元與整體坐標(biāo)系的夾角為90， , ，現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)38重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3） 整體剛度矩陣單元與整體坐標(biāo)系的夾角為90， 由（13-38）得變換矩陣現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)39重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院由（13-38）得變換矩陣現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)由此可由直接剛度法組集整體剛度矩陣現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)40重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院由此可由直接剛度法組集整體剛度矩陣現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 4） 等效結(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算單元局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)方向相同，單元受均布載荷，由表13-1直接得整體坐標(biāo)下的結(jié)點(diǎn)載荷向量因無軸向載荷，故 單元受集中載荷，由表13-1得同理 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第13章 桿系結(jié)構(gòu)