數(shù)學(xué)思維的開(kāi)拓性論述

1、13/13第四講 數(shù)學(xué)思維的開(kāi)拓性一、概述數(shù)學(xué)思維開(kāi)拓性指的是對(duì)一個(gè)問(wèn)題能從多方面考慮；對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多種角度觀看；對(duì)一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部?jī)?nèi)容，使之融會(huì)貫穿”，那個(gè)地點(diǎn)所講的橫向聯(lián)系，要緊是靠一題多解來(lái)完成的。通過(guò)用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既能夠開(kāi)拓解題思路，鞏固所學(xué)知識(shí)；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開(kāi)發(fā)潛能，進(jìn)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和制造能力。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要緊密注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)覺(jué)解題規(guī)律，

2、從中發(fā)覺(jué)最有意義的簡(jiǎn)捷解法。數(shù)學(xué)思維的開(kāi)拓性要緊體現(xiàn)在：一題的多種解法例如 已知復(fù)數(shù)滿足，求的最大值。我們能夠考慮用下面幾種方法來(lái)解決：運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式；運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義；運(yùn)用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)（三角不等式）；運(yùn)用復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系；（數(shù)形結(jié)合）運(yùn)用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓與有公共點(diǎn)時(shí)，的最大值。一題的多種解釋例如，函數(shù)式能夠有以下幾種解釋?zhuān)耗軌蚩闯勺杂陕潴w公式能夠看成動(dòng)能公式能夠看成熱量公式又如“1”那個(gè)數(shù)字，它能夠依照具體情況變成各種形式，使解題變得簡(jiǎn)捷。“1”能夠變換為：，等等。思維訓(xùn)練實(shí)例例1 已知求證：分析1 用比較法。本題只要證為了同時(shí)利用兩個(gè)已知

3、條件，只需要觀看到兩式相加等于2便不難解決。證法1 因此 分析2 運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式動(dòng)身，運(yùn)用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)確實(shí)是查找命題成立的充分條件。因此，證明過(guò)程必須步步可逆，并注意書(shū)寫(xiě)規(guī)范。證法2 要證 只需證 xMxMyd圖421O因?yàn)?因此只需證 即 因?yàn)樽詈蟮牟坏仁匠闪?，且步步可逆。因此原不等式成立。分? 運(yùn)用綜合法（綜合運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理（要緊是平均值不等式）進(jìn)行推理、運(yùn)算，從而達(dá)到證明需求證的不等式成立的方法）證法3 即 分析4 三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于1的形式，符合三角函數(shù)同角關(guān)系

4、中的平方關(guān)系條件，具有進(jìn)行三角代換的可能，從而能夠把原不等式中的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運(yùn)算關(guān)系，給證明帶來(lái)方便。證法4 可設(shè) 分析5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件可看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的單位圓，而聯(lián)系到點(diǎn)到直線距離公式，可得下面證法。證法5 （如圖4-2-1）因?yàn)橹本€通過(guò)圓的圓心O，因此圓上任意一點(diǎn)到直線的距離都小于或等于圓半徑1，即 簡(jiǎn)評(píng) 五種證法差不多上具有代表性的差不多方法，也差不多上應(yīng)該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法差不多上好方法?？稍诰唧w應(yīng)用過(guò)程中，依照題目的變化的需要適當(dāng)進(jìn)行選擇。例2 假如求證：成等差數(shù)列。分析1 要證，必須有成

5、立才行。此條件應(yīng)從已知條件中得出。故此得到直接的方法是展開(kāi)已知條件去查找轉(zhuǎn)換。證法1 故 ，即 成等差數(shù)列。分析2 由于已知條件具有輪換對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)，此特點(diǎn)的充分利用確實(shí)是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運(yùn)算帶來(lái)便利。證法2 設(shè)則因此，已知條件可化為：因此成等差數(shù)列。分析3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判不式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)引人注目，提供了構(gòu)造一個(gè)適合上述條件的二次方程的求解的試探的機(jī)會(huì)。證法3 當(dāng)時(shí)，由已知條件知即成等差數(shù)列。當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程：其判不式故方程有等根，顯然1為方程的一個(gè)根，從而方程的兩根均為1，由韋達(dá)定理知 即 成等差數(shù)列。簡(jiǎn)評(píng)：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡(jiǎn)單明了

6、，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價(jià)值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強(qiáng)，給人以新奇的感受和啟發(fā)。已知，求的最小值。分析1 盡管所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個(gè)字母，但已知條件恰有的關(guān)系式，可用代入法消掉一個(gè)字母，從而轉(zhuǎn)換為一般的二次函數(shù)求最值問(wèn)題。解法1 設(shè)，則二次項(xiàng)系數(shù)為故有最小值。當(dāng)時(shí)， 的最小值為分析2 已知的一次式兩邊平方后與所求的二次式有緊密關(guān)聯(lián)，因此所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。解法2 即即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。 的最小值為分析3 配方法是解決求最值問(wèn)題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的形式，從而達(dá)到求最值的目的。解法3 設(shè) 當(dāng)時(shí)，即的最小

7、值為11O11Oxy圖422解法4 如圖422，表示直線表示原點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方。顯然其中以原點(diǎn)到直線的距離最短?，F(xiàn)在，即因此的最小值為注 假如設(shè)則問(wèn)題還可轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，半徑的最小值。簡(jiǎn)評(píng) 幾種解法都有特點(diǎn)和代表性。解法1是差不多方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點(diǎn)，與相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，因此具有靈巧簡(jiǎn)捷的優(yōu)點(diǎn)，特不是解法4，形象直觀，值得效仿。設(shè)求證：分析1 由已知條件為實(shí)數(shù)這一特點(diǎn)，可提供設(shè)實(shí)系數(shù)二次方程的可能，在該二次方程有兩個(gè)虛根的條件下，它們是一對(duì)共軛虛根，運(yùn)用韋達(dá)定理能夠探求證題途徑。證法1 設(shè)當(dāng)時(shí)，可得與條件不合。因此有 該方程有一對(duì)共軛虛根，設(shè)為，因此

8、又由韋達(dá)定理知 分析2 由于實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍然是那個(gè)實(shí)數(shù)，利用這一關(guān)系能夠建立復(fù)數(shù)方程，注意到這一重要性質(zhì)，即可求出的值。證法2 設(shè)當(dāng)時(shí)，可得與條件不合，則有 ，即 但 而 即分析3 因?yàn)閷?shí)數(shù)的倒數(shù)仍為實(shí)數(shù)，若對(duì)原式取倒數(shù)，可變換化簡(jiǎn)為易于進(jìn)行運(yùn)算的形式。再運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立復(fù)數(shù)方程，具有更加簡(jiǎn)捷的特點(diǎn)。證法3 即從而必有簡(jiǎn)評(píng) 設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代入已知條件化簡(jiǎn)求證，一般也能夠證明，它是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的差不多方法。但這些方法通常運(yùn)算量大，較繁。現(xiàn)在的三種證法都應(yīng)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強(qiáng)，思路都建立在方程的觀點(diǎn)上，這是需要體會(huì)的關(guān)鍵之處。證法3利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的

9、方法。例5 由圓外一點(diǎn)引圓的割線交圓于兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。分析1 （直接法）依照題設(shè)條件列出幾何等式，運(yùn)用解析幾何差不多公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。那個(gè)地點(diǎn)考慮在圓中有關(guān)弦中點(diǎn)的一些性質(zhì)，圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，可得下面解法。解法1 如圖423，設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，則，在中，由兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理有整理，得 其中圖423PM圖423PMBAOyx曲線類(lèi)型，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程。解法2 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，因此，因此點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心為,半徑為該圓的方程為：化簡(jiǎn)，得 其中分析3 （交軌法）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問(wèn)題。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)可看作直線與割線的交

10、點(diǎn)，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。解法3 設(shè)過(guò)點(diǎn)的割線的斜率為則過(guò)點(diǎn)的割線方程為：.且過(guò)原點(diǎn)，的方程為 這兩條直線的交點(diǎn)確實(shí)是點(diǎn)的軌跡。兩方程相乘消去化簡(jiǎn)，得：其中分析4 （參數(shù)法）將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)。由于動(dòng)點(diǎn)隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，因此動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。解法4 設(shè)過(guò)點(diǎn)的割線方程為：它與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.解方程組 利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得點(diǎn)的軌跡方程為：其中分析5 （代點(diǎn)法）依照曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程。設(shè)而不求，代點(diǎn)運(yùn)算。從整體的角度看待問(wèn)題。那個(gè)地點(diǎn)由于中點(diǎn)的坐標(biāo)與兩交點(diǎn)通過(guò)中點(diǎn)公式聯(lián)系起來(lái)，又點(diǎn)構(gòu)成4點(diǎn)共線的和諧關(guān)系，依照它們的斜率相等，可求得軌跡方程。解法5 設(shè)則兩式相減，整理