微積分課件：D11-2續(xù)格林公式1

1、第二節(jié)一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的 等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用 第十一章 三、二元函數(shù)的全微分求積四、全微分方程平面曲線積分與二重積分之間的關(guān)系一、 格林(Green)公式1、單、復(fù)連通區(qū)域及正向邊界單連通區(qū)域：設(shè)D是一區(qū)域,若D內(nèi)任何閉曲線可不越過(guò)D的邊界而連續(xù)地縮為一點(diǎn),或D內(nèi)任一條閉曲線所包含復(fù)連通區(qū)域：的 區(qū)域?qū)儆贒,則稱D為單連通區(qū)域（無(wú)洞區(qū)域）單連通區(qū)域挖去若干個(gè)洞后所得的區(qū)域（有洞區(qū)域）域D邊界的 正向：平面閉曲線L圍成區(qū)域D,若觀察者沿L行進(jìn)時(shí),D的內(nèi)部靠左(總保持在左邊),則稱行進(jìn)的方向?yàn)長(zhǎng)的正向,反向?yàn)樨?fù)向,記為-L或復(fù)連通區(qū)域外邊界L1的正向就是逆時(shí)針方向單

2、連通區(qū)域L的正向就是逆時(shí)針方向復(fù)連通區(qū)域內(nèi)邊界L2的正向就是順時(shí)針方向分段光滑且自身不相交的閉曲線稱為簡(jiǎn)單曲線定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有( 格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或2、格林公式證明:1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且則即同理可證、兩式相加得:2) 若D不滿足以上條件,則可通過(guò)加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖3)若D是復(fù)連通區(qū)域,則將D劃分為單連通區(qū)域推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積格林公式例如, 橢圓所圍面積例1. 設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明證: 令則利用格林公式 ,

3、 得說(shuō)明：若L不是閉曲線,可適當(dāng)添加輔助線使L補(bǔ)為閉曲線，所加曲線為平行于坐標(biāo)軸的 直線例2. 計(jì)算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解: 令, 則利用格林公式 , 有例3. 計(jì)算其中L 為上半從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段它與L 所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則例4. 計(jì)算其中L是拋物線上從點(diǎn)A(-1,1)到點(diǎn)B(1,1)的一段練習(xí)：求其中L是拋物線上點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)(/2,1)的一段例5 設(shè)L是平面區(qū)域D的正向邊界曲線,DOxyz證明：如圖例6. 計(jì)算其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑

4、正向閉曲線.解: 令設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知在D 內(nèi)作圓周取逆時(shí)針方向, 對(duì)區(qū)域應(yīng)用格記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得練習(xí)：求其中L為橢圓形區(qū)域:二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件1、第二型曲線積分在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)設(shè)D是XOY平面上的區(qū)域,P,Q是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù),若對(duì)D內(nèi)任兩條共起點(diǎn)與終點(diǎn)的分段光滑曲線都有則稱在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)定理. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 D 內(nèi)是

5、某一函數(shù)的全微分,即 2、等價(jià)條件說(shuō)明: 積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí), 曲線積分可記為 證明 (1) (2)設(shè)為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1)證明 (2) (3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無(wú)關(guān),有函數(shù) 證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得則P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有證明 (4) (1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖) ,利用格林公式 , 得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢說(shuō)明:根據(jù)定理 , 若在某區(qū)域內(nèi)則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = P

6、 dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;4)若函數(shù)P或Q在L內(nèi)部某點(diǎn)不連續(xù)或 D為 復(fù)連通區(qū)域 ,則上述結(jié)果不適用,但有下列結(jié)論定理 設(shè)除點(diǎn)外,P,Q處處有 連續(xù)的 一階偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)任何包圍點(diǎn)的正向簡(jiǎn)單閉曲線L,積分取同一值(與環(huán)路徑無(wú)關(guān)).ABLC例7. 在上半平面(不含X軸)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),求a與由題意有即由此推出：取L為從點(diǎn)(1,1)經(jīng)點(diǎn)(0,2)的折線三、二元函數(shù)的全微分求積全微分求積公式定理 設(shè)D是平面單連通區(qū)域,P,Q在D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且在D內(nèi)有若有函數(shù)說(shuō)明：在單連通

7、區(qū)域D內(nèi)有才可用此公式并不是總有類似原函數(shù),有也不一定易求例8. 驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證: 設(shè)則由定理 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使。例9. 驗(yàn)證在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證: 令則由定理 可知存在原函數(shù)或例10. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)作用下沿曲線 L :由移動(dòng)到求力場(chǎng)所作的功W解:令則有可見, 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān).思考: 積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意, 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān) !求1）曲線積分法2）不定積分法3）湊微分法原函數(shù)的求法：四、全微分方程一階微分方程若 （*）右端為全微分,即存在則稱(*)為全微分方程，其通解為若P,Q在平面單連通區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則(*)是全微分方程此時(shí)通解為或例 求以下方程的解若(*)本身不是全微分方程,但能找到非零因子,使得稱為積分因子例 求以下方程的解內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式2. 等價(jià)條件在 D 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).在 D 內(nèi)有對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線 L 有在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有思考與練習(xí)1. 設(shè)且都取正向, 問(wèn)下列計(jì)算是否正確 ?提示:2. 設(shè)提示:設(shè) C 為沿從點(diǎn)依逆時(shí)針的半圓, 計(jì)算解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .原式 =到點(diǎn)2. 質(zhì)點(diǎn)M 沿