淺談函數(shù)圖像的兩種對(duì)稱問(wèn)題

1、PAGE PAGE 6安徽省濉溪職教中心 李磊郵政編碼：235100 E-mail： HYPERLINK mailto: 電話談函數(shù)圖像的兩種對(duì)稱問(wèn)題函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，它廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題中，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，是高考的?？純?nèi)容，本文主要從函數(shù)自身以及兩個(gè)函數(shù)之間兩個(gè)方面來(lái)探討有關(guān)函數(shù)對(duì)稱的性質(zhì)。一、自身的對(duì)稱問(wèn)題定理1：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是證明：必要性：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，由于點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，所以有，即，用替換得：，故必要性得證。充分性：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任

2、意一點(diǎn)，則。由于，故，用替換得：，即，也就是說(shuō)也在函數(shù)圖像上，又因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由點(diǎn)的任意性可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，充分性得證。定理1常用結(jié)論：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱推論：函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是定理2：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是證明：必要性：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，由于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，故有，即，必要性得證。充分性：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，則。由于，故有即，也就是說(shuō)點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由點(diǎn)的任意性可知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，充分性得證。定理2常用結(jié)論：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論：函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是定理3

3、：若函數(shù)的圖像同時(shí)關(guān)于直線和直線成軸對(duì)稱，則函數(shù)是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。若函數(shù)的圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)成中心對(duì)稱，則函數(shù)是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。若函數(shù)的圖像既關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱又有關(guān)于直線成軸對(duì)稱，則函數(shù)是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。的證明留給讀者，這里只給出的證明，如下：函數(shù)的圖像同時(shí)關(guān)于直線和直線成軸對(duì)稱函數(shù)是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。二、兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題定理4：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱證明：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，則。記點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則有：，代入得：，即，所以點(diǎn)在函數(shù)圖像上。由點(diǎn)的任意性知，函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上。同理可證函數(shù)圖像上的任意

4、一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也都在函數(shù)的圖像上。即證定理4成立。定理5：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱證明：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，則。記點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則有：，代入得：，所以點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，由點(diǎn)的任意性知，函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖像上。同理可證函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也都在函數(shù)的圖像上。即證定理5成立。定理5常用結(jié)論：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱三、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用舉例填空1是定義在上的函數(shù)，若，則函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱。2是定義在上的函數(shù)，則函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱。3函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于_對(duì)稱。答案：1直線， 2直線， 3點(diǎn)例2、已知是定義在上的偶函數(shù)，是上

5、的奇函數(shù)，且，若（為常數(shù)），則。解析： 由題意得：又， 即函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱4為函數(shù)的一個(gè)周期故例3、（2006重慶）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)是奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：函數(shù)是周期函數(shù) 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)在上述的四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是（寫出所有真命題的序號(hào)）解析： 由得：T=3, 為真命題；由函數(shù)是奇函數(shù)，得：，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，為真命題；由得：，知函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對(duì)稱，故函數(shù)是偶函數(shù)。為真命題；顯然為假命題；所以填例4、（2007東北三校）定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，則的值是（）A B 0 C 1 D 2解析： 由，可得：函數(shù)的圖像既關(guān)于原點(diǎn) 成中心對(duì)稱，又關(guān)于直線成軸對(duì)稱，所以函數(shù)是周