近世代數(shù)知識題解答四章

1、近世代數(shù)習題解答 第四章整環(huán)里的因子分解1素元唯一分解證明：0不是任何元的真因子。證當a。0時若a = 0b貝U a = 0古攵矛盾當a = 0時，有0 = 8 0（ 是單位）就是說0是它自己的相伴元我們看以下的整環(huán)/ , /剛好包含所有可以寫成（m是任意整數(shù)，n Z 0的整數(shù)）形式的有理數(shù)，/的哪些個元是單位，哪些個元是素元？證1）I的單位總可以把表為m = 2kp（p是?；蚱鏀?shù)，k非負整數(shù)）我們說p = 1時，即m = 2k是單位，反之亦然2）1的素元依然是m = 2kP（P,k的限制同上）我們要求|） P 力 0II） P 1iii） 2kp只有平凡因子滿足i）iii）的p是奇素數(shù)故m

2、= 2 kP而p是奇素數(shù)是是素元，反之亦然，2nI是剛好包含所有復數(shù)a + bi （a, b整數(shù)）的整環(huán)，證明5不是/的素元，5有沒有 唯一分解？證（1 ） 1的元8是單位，當而且只當812 =1時，事實上，若8 = a + bi是單位則 1 = 88 -1 |1|2=8 |218 j2即 1=|8 |2 |8 |2但8 I2 = a2 + b2是一正整數(shù)，同樣8 I2也是正整數(shù)，因此，只有8 |2 = 1反之，若 8 |2 = a 2 + b 2 =1，則 a = 1, b = 0或a = 0, b = 1這些顯然均是單位此外，再沒有一對整數(shù)a，b滿足a2 + b2 = 1 ,所以I的單位只

3、有土 1,i。適合條件區(qū)|2 = 5的1的元a 一定是素元。事實上，若a |2 = 5則a。0又由(1)a也不是單位若 a = pX,5 = a |2 = |P |21 |2則 |P2| =1 或|P 2| = 5|P|2 = 1 n。是單位n |X |2 = p_似nX是a的相伴元|P |2 = 5 n |X|2 = 1 n X 是單位 n P = X-1a n P 是a 的相伴元 不管哪種情形，a只有平凡因子，因而a是素元。I的元5不是素元。若5 = pa 則25 = |p|2X|2這樣，IP|2只可能是1,5,25當p |2 = 5由P是單位當|p|2 = 5 n |X|2 =1由X是單

4、位此即p，X中有一是5的相伴元現(xiàn)在看|P |2 = 5的情形P=a+所,IP |2=a 2+b2=5可能的情形是 a = 1a = 1 J a = 1Ta = 1,b = 1 . b ： 顯然 5 = (2 +,b = 1 . b ： 顯然 5 = (2 +i)(2 -=-1I b = 1i)由(2)知|p |2 = 5的p是素元，故知5是素元之積5的單一分解5 = (1 + 2i)(1 2i) = (1)(1 + 2i)(1)(1 2i)=(i)(1 + 2i )(i )(1 2i) = (i)(1 + 2i)(i )(1 2i) 1,i均為單位2唯一分解環(huán)證明本節(jié)的推論證本節(jié)的推論是；一個

5、唯一分解環(huán)1的n個元a1,a2,a在I里一定有最大公因子，a1, a2,a”的兩個最大公因子只能查一個單位因子。用數(shù)學歸納法證當n = 2時，由本節(jié)定理3知結論正確。假定對n -1個元素來說結論正確。看n的情形 設七a,.有最大公因子為氣。幺_1 ,匕的最大公因子為d(i = 1,2,n -1)即 d|d而d|a(i = 1,2(i = 1,2,n -1)又d|an故d是a a , a , a的公因子1, 2, n-1 n假定 d a i = 1,2,.,n -1, nn-1這就是說，d是a1 a2 ,a ,a的最大公因子 若d是an 1,a.的最大公因子 那么，|d且dd，n d = ud

6、d = vd n d = uvd若 d = 0 則 d - = od豐0貝U uv = 1即u是單位& 故 d = d2 .假定在一個唯一分解環(huán)里a = db ,a = db，,a = db1122 n n證明 當而且只當d是a ,a，,a的一個最大公因子的時候，b ,b ,b互素 12 n12 n證”n”假定d是a,an的一個最大公因子若 b ,b，b不互素 12 n則有 b = d c，, b = d c而d不是單位那么a = dd c (i =1,n)這就是說dd是a,a的公因子所以 dd |d 即 d = dd d故 d d = 1d是單位矛盾”u”假定,b互素令d是a1，-an的最大

7、公因子則有d|d即d|da = d c = dd c(i = 1,2,n)b = dc n d是b，,b的公因子i 1 i11 n于是d 是單位d- = s d那么d是a,a”的最大公因子* *3 .假定I是一個整環(huán)，0)和(力)是/的兩個主理想 證明(a) = (b)當而且只當b是/的相伴元的時候證*假定(a) = (b)a = cb, b = c a a = cca cc = 1c, c，是單位所以b是a的相伴元假定b = a( 8 單位)b e (a),(b) u (a)a = -ib，(a) u (a)故(a) = (b)3 主理想1 .假定I是一個主理想環(huán)，并且(a, b) = d證

8、明d是a和b的一個最大公因子，因此a和b的何最大公因子d都可寫成以下形式：d = sa + tb (s, t e I)證 由于(a, b) = (d)有a e (d),a = ad b e (d),b = bdd是a ,b的公因子仍由(a,b) = (d)知 d e (a, b)故有 d = s a +1 b設d 是a, b的任一公因子由(A)知djd即d是a, b的最大公因子又d =d( 單位 )=(s a +1 b) = (s )a + (t )b = sa + tb,(s, t e I)一個主理想環(huán)的每一個最大理想都是由一個元素所生成的。證 設(P)是主理想環(huán)/的最大理想，并設(P)力0

9、若p是單位，則(p) = 1若P不是素元則p = bc , b, c是p的真因子(P) u (b)(p)最大理想. (b) = I1 e (b) n b是單位，矛盾。3 我們看兩個主理想環(huán)I和10是I的子環(huán)，假定a和b是10的兩個元，d是這兩個元在I里的一個最大公因子。證明：d也是這兩個元在I里的一個最大公因子。證10是主理想環(huán)的子環(huán)，所以在10里(a, b) = (d) 由本節(jié)習題1知d是a, b的最大公因子，而且最大公因子d有以下形式：d = sa + tb(s，t g I )10 u I, d也是a, b在I里的公因子。設d 1是a, b在I里任意公因子貝 U a = a d , b =

10、 b d那么 d = sa + tbd = (sa + tb ) 1 1 1 1 1d|d故d是a, b在I里的最大公因子。4歐氏環(huán)證明:一個域一定是一個歐氏環(huán).證設F是域，則F 一定是整環(huán) x g F, x 04 : x - n, n是某一個固定 0的整數(shù)，這符合條件(i)II) a g F, a 0 對 F 的任何元 b 都有 b = a (a - 1 b) + 0這里r = 0我們看有理數(shù)域F上的一元多項式環(huán)Fx理想等于怎樣的一個主理想?證 我們說(X2 + 1 , X5 + X3 + 1) = F XX2 + 1, X5 + X3 + 蠟素. -X3(X2 + 1) + 1(X5 +

11、X3 + 1) = 1即1 G (X 2 + 1, X 5 + X 3 + 1)因而(x2 + 1, X5 + X3 + 1)=F(X)證明由所有復數(shù)a + bi (a, b是整數(shù))所作成的環(huán)是一個歐氏環(huán)取(4 (a) = a)證 a = a + bia, b 整數(shù)令 4 (a) = |a |2 = a 2 + b 2設 a。0 則 a |2 = a 2 + b 2 0任取P = c + dic, d 整數(shù)其中、-ac + bd b, _ ad - bc2 + b 2 a 2 + b 2故a,b是有理數(shù)取入-x + yi,x, y是有理數(shù)，且滿足條件a - x V L, lb - y 令 ri

12、=U-人_ha以貝u p-入以+門以因為P,入，以,的實部與虛部系數(shù)均為整數(shù)所以門a的實部與 虛部系數(shù)亦均為整數(shù)h以I2設門a - rh|2 -人-入|2 - (a - x)2 + (b - y)2 (：)h以I2設門a - r-hl2 a I2國2r |2 爭 |2P-Xa + r |2 爭 |2即Nr )奴以)，主意:取入-x + yi”，主意:取入-x + yi”-y| 1的整數(shù)x -心妒例如|aac + bd只要取x -即可使a 2 什 b 2a，-x| 2使 a - x 2x, y是可以做到的-x,、ac + bd或廠_ a 2 + b 25多項式環(huán)的因子分解1.假定!是一個唯一分解

13、環(huán),Q是/的商域，證明,lx的一個多項式若是在Qx里可約，它在lx里已經(jīng)可約.證 若/(x)在lx里不可約，令f (x) - dfx)f(x)是本原多項式顯然，f0(x)在lx里也不可約,由引理3 f0(x)在Qx里不可約, 這與f 4)在Q x里可約的假設矛盾.2.假定lx是整環(huán)I上的一元多項式環(huán).!屬于f (x)但不屬于I，并且f (x)的最高系 數(shù)是I的一個單位，證明f (x)在Ix里有分解.證f (x)的最高系數(shù)是I的單位，所以f (x)的系數(shù)的最大公因子是單位也就是說 f (x)是本原多項式.f (x) e I (x)而 f (x) e I即f (x)次數(shù)0根據(jù)本節(jié)引理4證明的前一部

14、分f (x)在I(x)里有分解。6因子分解與多項式的根假定R是模16的剩余類環(huán),R幻的多項式X2在R里有多少個根？證X2在R里的所有根是0,4,8,12這里因為m是x 2的根，則需4 m假定F是模3的剩余類環(huán),我們看FX的多項式f (X) = X3 - X證明,f (a) = 0不管 a是F的哪一個元.證 f (X) = X3 - X = X(X + 1)(X - 1) = X(X + 1)(X + 2)不管a是F的0,1,或2均使f (a) = 0證明本節(jié)的導數(shù)計算規(guī)則證 f (x) = a Xn + a Xn-1 + a Xm + a x + ag (x) = b xm + b x + b

15、i) f ( x) + g ( x)=a Xn+ aXm+1+ (a + b)Xm+ (a+ b)x + (a + b)nm+1m m1100=na xn-1 + . + (m + 1)a xm +m(a + b )Xm-1 + (a + b )=na Xn-1 + (m +1)a Xm + ma Xm-1+ a + mb xm-1 + b = f,(x) + g,(x)f ( x) g ( x ) = ab Xn + m + (a b + a b )Xn + m-1+ (a b + a b )x + a b TOC o 1-5 h z 0 11 00 0=(n + m)a b xn+m-1 + (n + m 一 1)(a b+ a b )Xn +m - 2 + (a b + a b )n-1 m0 110f(x)g(x) + g(x) f (x) = (na Xn-1 + (n 一1)a Xn-2 + a )(b xm + b + b )+ (mb Xm-1 + b )(a Xn + a Xn-1 + a )=(n + m)abx + (a b + a b )故有0 11(ii) f(x)g (x) = f,( x ) g (x) + g，(x) f (x)現(xiàn)在證