新課標(biāo)2022年版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值課件理

1、第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)習(xí)要求:1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義:必備知識整合 增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2當(dāng)x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)當(dāng)x1f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù),則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)

2、單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.提醒(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域.(2)一個函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“”連接.(3)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個不同的概念,顯然NM.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)對于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M結(jié)論M為函數(shù)y=f(x)的最大值M為函數(shù)y=f(x)的最小值1.單調(diào)性定義的等價形式設(shè)任意x1,x2a,b,x1x2.(1)

3、若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,則f(x)在閉區(qū)間a,b上是增函數(shù).(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同;若k0)與y=-f(x),y=在公共定義域內(nèi)的單調(diào)性相反.(4)函數(shù)y=f(x)(f(x)0)與y=在公共定義域內(nèi)的單調(diào)性相同.1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)(0,+).()(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為a,b.()(3)若f(x)是增函數(shù),g(x)是增函數(shù),則f(x)g(x)也是增函數(shù).()(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.(

4、)(5)已知函數(shù)y=f(x)在R上是增函數(shù),則函數(shù)y=f(-x)在R上是減函數(shù).()2.(新教材人教A版必修第一冊P79例3改編)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減的是()A.y=-xB.y=x2-xC.y=ln x-xD.y=ex-xA解析選項A,y1=在(0,+)內(nèi)是減函數(shù),y2=x在(0,+)內(nèi)是增函數(shù),則y=-x在(0,+)內(nèi)是減函數(shù);選項B,C中的函數(shù)在(0,+)上均不單調(diào);選項D,y=ex-1,當(dāng)x(0,+)時,y0,所以函數(shù)y=ex-x在(0,+)上是增函數(shù).3.(新教材人教A版必修第一冊P86 T7改編)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-,-2

5、)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)D解析由x2-2x-80得x4或x0)在(0,+)上的單調(diào)性. 解析(1)x,函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函數(shù),排除A、C;當(dāng)x時, f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),則f (x)=-=0,f(x)在上單調(diào)遞增,排除B;當(dāng)x時, f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),則f (x)=-=0,f(x)在上單調(diào)遞減,D正確.(2)設(shè)x1,x2是任意兩個正數(shù),且x1x2,則f(x1)-f(x2)=-=(x1x2-a).

6、當(dāng)0 x1x2時,0 x1x2a,x1-x20,即f(x1)f(x2),所以函數(shù)f(x)在(0,上是減函數(shù);當(dāng)x1a,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)在(0,上是減函數(shù),在,+)上是增函數(shù).名師點(diǎn)評1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性:轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)性的定義求解.(3)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的,或f(x)的圖象易作出,那么可由圖象的直觀性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.求復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)的

7、定義域.(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y=f(u),u=g(x).(3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)根據(jù)“同增異減”的原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.函數(shù)f(x)=在()A.(-,1)(1,+)上是增函數(shù)B.(-,1)(1,+)上是減函數(shù)C.(-,1)和(1,+)上是增函數(shù)D.(-,1)和(1,+)上是減函數(shù)C2.求函數(shù)f(x)=-x2+2|x|+1的單調(diào)區(qū)間.解析易知f(x)=f(x)=畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:由圖可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1和0,1,單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)和(1,+).角度一比較函數(shù)值的大小典例2已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,當(dāng)

8、x2x11時,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bac考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用D解析f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,f=f.由當(dāng)x2x11時,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0恒成立,知f(x)在(1,+)上單調(diào)遞減.12ff(e),即f(2)ff(e),bac.角度二解不等式典例3已知函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù),若f(a2-a)f(a+3),則實數(shù)a的取值范圍是.(-,-1)(3,+)解析函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù),且f(a2-a)f(a+3),a2-aa+3,即a2-2a-30,解得a3或a-1,即a的取值范圍是(-,-1)(3,+).角度三求參數(shù)的值或取

9、值范圍典例4(1)已知函數(shù)f(x)=滿足對任意的實數(shù)x1x2都有 0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)B.C.D.(2)已知函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-,6)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是()A.3,+)B.(-,3C.(-,-3)D.(-,-3CD解析(1)由題意知函數(shù)f(x)在定義域R上為減函數(shù),則解得a0,即a1時,由題意知1a3;當(dāng)a-10,即a0,即a0)在區(qū)間2,4上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的值是.8解析f(x)=x|2x-a|=|2x2-ax|(a0),由f(x)的圖象(圖略)得該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(-,0),所以解得a=8.4.若定義在-2,2上的函數(shù)f(x)滿

10、足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,且f(a2-a)f(2a-2),則實數(shù)a的取值范圍為.0,1)解析因為函數(shù)f(x)滿足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,所以函數(shù)f(x)在-2,2上單調(diào)遞增,所以解得所以0a1.典例5(1)函數(shù)f(x)=的最大值為 2 .(2)函數(shù)y=2x-1-的值域為.(3)當(dāng)-3x-1時,函數(shù)y=的最小值為.(4)函數(shù)y=2x+的值域為.考點(diǎn)三求函數(shù)的最值(值域)解析(1)當(dāng)x1時,函數(shù)f(x)=為減函數(shù),所以f(x)在x=1處取得最大值,為f(1)=1;當(dāng)x1時,易知函數(shù)f(x)=-x2+2在x=0處取得最大值,為f(0)=2.故函數(shù)f

11、(x)的最大值為2.(2)易知函數(shù)的定義域是,易證得函數(shù)y=2x-1-在其定義域上是一個單調(diào)增函數(shù),所以當(dāng)x=時,函數(shù)取得最大值,故原函數(shù)的值域是.(3)由y=,可得y=-.-3x-1,-,y3,所求函數(shù)的最小值為.(4)令t=(t0),則x=,y=-t2+t+1=-+.當(dāng)t=,即x=時,y取得最大值,ymax=,且y無最小值,函數(shù)的值域為.方法技巧求函數(shù)最值的五種常用方法(1)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法:先作出函數(shù)的圖象,再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)求最值.(3)基本不等式法:先對解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求最值.(4)導(dǎo)數(shù)法:先求導(dǎo),然后求出在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點(diǎn)值求最值.(5)換元法:對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求最值.1.函數(shù)y=的值域為 .y|yR且y3解析y=3+,因為0,所以3+3,所以函數(shù)y=的值域為y|yR且y3.2.已知函數(shù)f(x)的值域為,則函數(shù)g(x