離散數(shù)學代數(shù)結(jié)構(gòu)

1、離散數(shù)學代數(shù)結(jié)構(gòu)第1頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/25數(shù)學的基本結(jié)構(gòu)序結(jié)構(gòu)：數(shù)的大小，次序拓撲結(jié)構(gòu)：平面幾何，立體幾何（歐氏空間）代數(shù)結(jié)構(gòu)：群第2頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/25Chapter 4Algebra System第3頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.1 代數(shù)系統(tǒng)的引入 (1) 一個代數(shù)系統(tǒng)需要滿足下面三個條件：（1）有一個非空集合 S；（2）有一些建立在 S 上的運算；（3）這些運算在集合 S 上是封閉的。第4頁，共130頁，2022年，5月20

2、日，11點10分，星期五2022/9/254.2 運算 (1) 4.2.1 運算的概念定義 假設(shè) A 是一個集合，AA 到 A 的映射稱為 A 上的二元運算。 一般地，An 到 A 的映射稱為 A 上的 n 元運算。第5頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.2 運算 (2) 4.2.2 運算的性質(zhì)（1）封閉性 如果 SA，對任意的 a,bS，有a*bS，則稱 S 對運算 * 是封閉的。 假設(shè) *,+ 都是集合 A 上的運算第6頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.2 運算 (3) 4.2.2 運算的性質(zhì)（2

3、）交換律 如果對任意的 a,bA，都有 a*b=b*a，則稱運算 * 是可交換的。 （3）結(jié)合律 如果對任意的 a,b,cA，都有(a*b)*c=a*(b*c)，則稱運算 * 是可結(jié)合的。 第7頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.2 運算 (4) （4）分配律 如果對任意的 a,b,cA，都有a*(b+c)=(a*b)+(a*c) 則稱 * 對 + 運算滿足左分配； 如果對任意的a,b,c A，都有(b+c)*a=(b*a)+(c*a) 則稱 * 對 + 運算滿足右分配。 如果運算 * 對 + 既滿足左分配又滿足右分配， 則稱運算 * 對 + 滿足

4、分配律。 第8頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.2 運算 (5) （5）消去律 如果對任意的 a,b,cA，當 a*b=a*c，必有 b=c，則稱運算 * 滿足左消去律； 如果對任意的 a,b,cA，當 b*a=c*a，必有 b=c，則稱運算 * 滿足右消去律； 如果運算 * 既滿足左消去律又滿足右消去律，則稱運算 * 滿足消去律。第9頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.2 運算 (6) （6）吸收律 如果對任意的 a,bA，都有a*(a+b)=a，則稱運算 * 關(guān)于運算 + 滿足吸收律。 （7）等冪

5、律 如果對任意的 aA，都有 a*a=a，則稱運算 * 滿足等冪律。 第10頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.2 運算 (7) 第11頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (1) 4.3.1 代數(shù)系統(tǒng)的概念定義 假設(shè) A 是一個非空集合，f1,f2,fn 是 A 上的運算（運算的元素可以是不相同的），則稱 A 在運算 f1,f2,fn 下構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)，記為： 第12頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (2) 4.3.1 代數(shù)系

6、統(tǒng)的概念定義 假設(shè) 是一個代數(shù)系統(tǒng)，SA，如果 S 對* 是封閉的，則稱 為 的子代數(shù)系統(tǒng)。第13頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (3) 4.3.2 代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（1）單位元（幺元） 假設(shè) 是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果 eLA,對于任意元素 xA，都有 eL*x=x,則稱 eL為 A 中關(guān)于運算 * 的左單位元; 如果 erA,對于任意元素 xA，都有 x*er=x,則稱 er 為 A 中關(guān)于運算 * 的右單位元; 如果 A 中一個元素 e 既是左單位元又是右單位元，則稱 e 為 A 中關(guān)于運算 * 的單位元。第14頁，共130頁

7、，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (4) 第15頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (5) 4.3.2 代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（1）單位元（幺元） 定理 假設(shè) 是代數(shù)系統(tǒng)，并且 A 關(guān)于運算 * 有左單位元 eL和右單位元 er，則 eL=er=e 并且單位元唯一。第16頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (6) 4.3.2 代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（2）零元 假設(shè) 是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果 LA,對于任意元素 xA，都有 L*x=L,則

8、稱 L為 A 中關(guān)于運算 * 的左零元; 如果 rA,對于任意元素 xA，都有 x*r=r,則稱 r 為 A 中關(guān)于運算 * 的右零元; 如果 A 中一個元素 既是左零元又是右零元，則稱 為 A 中關(guān)于運算 * 的零元。第17頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (7) 第18頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (8) 4.3.2 代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（2）零元 定理 假設(shè) 是代數(shù)系統(tǒng)，并且 A 關(guān)于運算 * 有左零元 L 和右零元 r，則 L=r= 并且零元唯一。第19頁，共

9、130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (9) 4.3.2 代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（3）逆元 假設(shè) 是一個代數(shù)系統(tǒng)，e 是 的單位元。對于元素 aA，如果存在 bA，使得 b*a=e，則稱 a 為左可逆的，b 為 a 的左逆元；如果存在 cA，使得 a*c=e，則稱元素 a 是右可逆的，c 為 a 的右逆元。如果存在 a A，使得 a*a=a*a=e，則稱 a 是可逆的，a 為 a 的逆元。a 的逆元記為：a-1。第20頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (10) 第21頁，共130頁，

10、2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (11) 4.3.2 代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（3）逆元 定理 設(shè) 是一個代數(shù)系統(tǒng)，且 A 中存在單位元 e，每個元素都存在左逆元。如果運算 * 是可結(jié)合的，那么，任何一個元素的左逆元也一定是該元素的右逆元，且每個元素的逆元唯一。第22頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (12) 4.3.2 代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（4）冪等元 定義：在代數(shù)系統(tǒng)中，如果元素 a 滿足a*a=a，那么稱 a 是 A 中的冪等元。第23頁，共130頁，2022年，5月20日，11點1

11、0分，星期五2022/9/254.3 代數(shù)系統(tǒng) (12) 第24頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (1) 4.4.1 基本概念定義 設(shè) 和 是代數(shù)系統(tǒng)，f:AB, 如果 f 保持運算，即對 x,yA,有f(x*y)=f(x) f(y)。稱 f 為代數(shù)系統(tǒng) 到 的同態(tài)映射，簡稱同態(tài)。也稱之為兩代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)。第25頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (2) 4.4.1 基本概念定義 設(shè) 和 是代數(shù)系統(tǒng)，f 是 A 到 B 的同態(tài)。如果 f 是單射的，稱 f 為單同態(tài)；如果

12、f 是滿射的，稱 f 為滿同態(tài)；如果 f 是雙射的，稱 f 為同構(gòu)映射，簡稱為同構(gòu)。第26頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (3) 4.4.1 基本概念定義 設(shè) 是代數(shù)系統(tǒng)，若存在函數(shù)f:AA,并且對 x,yA,有 f(x*y)=f(x)*f(y)。稱 f 為 的自同態(tài)；如果 f 是雙射的，則稱 f 為 的自同構(gòu)。第27頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (4) 4.4.2 同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)（1）如果兩函數(shù)是同態(tài)、同構(gòu)的，則復合函數(shù)也是同態(tài)、同構(gòu)的。 定理 假設(shè) f 是

13、 到 的同態(tài)，g是 到 的同態(tài)，則gf是 到 的同態(tài)；如果 f 和 g 是單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu)時，則gf也是單同態(tài)、滿同態(tài)和同構(gòu)。 第28頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (5) 4.4.2 同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)（2）滿同態(tài)保持結(jié)合律 定理 假設(shè) f 是 到 的滿同態(tài)。如果 * 運算滿足結(jié)合律，則 運算也滿足結(jié)合律，即滿同態(tài)保持結(jié)合律。 （3）滿同態(tài)保持交換律 第29頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (6) 4.4.2 同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理 假設(shè) f 是 到 的滿同態(tài)。e

14、 是 的單位元，則 f(e) 是的單位元。（4）滿同態(tài)保持單位元 第30頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (7) 4.4.2 同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理 假設(shè) f 是到的滿同態(tài)。eA和 eB 分別是和的單位元，如果 A 中元素 x 和 x 互逆，則 B 中元素 f(x) 和 f(x)也互逆。（5）滿同態(tài)保持逆元 第31頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (8) 4.4.2 同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理 假設(shè) f 是 到 的滿同態(tài)。 是 的零元，則 f() 是的零元。（6）滿同態(tài)保持零

15、元 第32頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (9) 4.4.2 同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理 假設(shè) f 是到的滿同態(tài)。并且xA是的冪等元，則 f(x)B 是的冪等元。（7）滿同態(tài)保持冪等元 第33頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.4 同態(tài)與同構(gòu) (10) 4.4.2 同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理 假設(shè) f 是 到 的同構(gòu)映射。則 f-1是 到 的同構(gòu)映射。（8）同構(gòu)映射運算性質(zhì)雙向保持 第34頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.5 同余關(guān)系與商代數(shù) 選講

16、4.5.1 同余關(guān)系定義 假設(shè) 是一個代數(shù)系統(tǒng)，E 是 A 上的等價關(guān)系。如果對x1,x2,y1,y2A，當x1Ex2,y1Ey2時，必有(x1*y1)E(x2*y2)，則稱 E 是 A 上的同余關(guān)系。第35頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.6 直積 (1) 定義： 設(shè) 和 為兩個代數(shù)系統(tǒng)， 稱為兩代數(shù)系統(tǒng)的直積。其中 AB 是 A 和 B 的笛卡爾乘積， 定義如下：對任意的,AB，=。 第36頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/254.6 直積 (2) 定理： 假設(shè) 和 為兩個代數(shù)系統(tǒng)，且分別有單位元 eA

17、,eB，在兩代數(shù)系統(tǒng)的直積中存在子代數(shù)系統(tǒng) S,T，使得 ， 。 第37頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/25Chapter 5Group theory第38頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.1 半群 (1) 5.1.1 半群的定義 定義： 設(shè) 是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果 * 運算滿足結(jié)合律，則稱 是一個半群。 第39頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.1 半群 (2) 例：假設(shè)S=a,b,c，在S上定義運算，如運算表給出。證明是半群。 第40頁，共130頁，2022

18、年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.1 半群 (3) 5.1.1 半群的定義 定義： 假設(shè) 是一個半群，aS，n 是正整數(shù)，則 an 表示 n 個 a 的計算結(jié)果，即 an = a*a*a。對任意的正整數(shù) m,n， am * an = am+n，(am)n = amn。 第41頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.1 半群 (4) 5.1.2 交換半群 定義： 如果半群 中的 * 運算滿足交換律，則稱 為交換半群。 在交換半群 中，若a,bS，n 是任意正整數(shù)，則 (a*b)n = an * bn 第42頁，共130頁，2022

19、年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.1 半群 (5) 5.1.3 獨異點（含幺半群） 定義： 假設(shè) 是一個半群，如果 中有單位元，則稱 是獨異點，或含幺半群。 第43頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.1 半群 (6) 5.1.3 獨異點（含幺半群） 定理： 假設(shè) 是獨異點，如果a,bS，并且 a,b 有逆元 a-1,b-1存在，則：（1）(a-1)-1 = a；（2）(a*b)-1 = b-1 * a-1。 第44頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.1 半群 (7) 5.1.4

20、子半群 定義： 假設(shè) 是一個半群，若 TS，且在 *運算下也構(gòu)成半群，則稱 是 的子半群。 第45頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.1 半群 (8) 假設(shè)A=a,b， 是一個含幺半群。若B=a則P(B)P(A)并且構(gòu)成半群，是的子半群。第46頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.1 半群 (9) 5.1.4 子半群 定義： 設(shè) 是含幺半群，若 是它的子半群，并且 的單位元 e 也是 單位元，則稱 是 的子含幺半群。 第47頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.

21、1 半群 (10) 例：設(shè)是可交換的含幺半群，T=a|aS，且a*a=a，則是的子含幺半群。 第48頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (1) 5.2.1 群的基本概念 定義： 設(shè) 是一代數(shù)系統(tǒng)，如果滿足以下幾點： (1) 運算是可結(jié)合的； (2) 存在單位元 e； (3) 對任意元素 a 都存在逆元 a-1； 則稱 是一個群。第49頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (2) 例：假設(shè)R=0,60,120,180,240,300表示平面幾何上圖形繞形心順時針旋

22、轉(zhuǎn)的角度集合。*是定義在R上的運算。定義如下：對任意的a,bR，a*b表示圖形順時針旋轉(zhuǎn)a角度，再順時針旋轉(zhuǎn)b角度得到的總旋轉(zhuǎn)度數(shù)。并規(guī)定旋轉(zhuǎn)360度等于原來的狀態(tài)，即該運算是模360的。整個運算可以用運算表表示。第50頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (3) 第51頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (4) 5.2.1 群的基本概念 一個群如果運算滿足交換律，則稱該群為交換群，或Abel群。第52頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五

23、2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (5) 5.2.2 群的性質(zhì) (1) 任何群都沒有零元。(2) 設(shè) 是群，則 G 中消去律成立。(3) 設(shè) 是群，單位元是 G 中的唯一等冪元。 第53頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (6) 5.2.2 群的性質(zhì) (4) 設(shè),是群，f是 G 到 H 的同態(tài)，若 e 為的單位元，則 f(e) 是 的單位元，并且對任意 aG，有 f(a-1)= f(a)-1。 (5) 設(shè)是群，是任意代數(shù)系統(tǒng)，若存在 G 到 H 的滿同態(tài)映射，則必是群。 第54頁，共130頁，2022年，5月20日，

24、11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (7) 5.2.3 半群與群 (1) 假設(shè)是半群，并且 中有一左單位元 e，使得對任意 的 aG，有 e * a = a； 中任意元素 a 都有“左逆元”a-1， 使得 a-1 * a = e。 則 是群。 第55頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (8) 5.2.3 半群與群 (2) 假設(shè) 是半群，對任意的 a,bG，方程 a*x = b，y*a = b 都在 G 中有解。 則 是群。 (3) 有限半群，如果消去律成立，則必為群。第56頁，共130頁，2022年

25、，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (9) 5.2.4 有限群的性質(zhì) 定理： 設(shè) 是一個 n 階有限群，它的運算表中的每一行（每一列）都是 G 中元素的一個全排列。第57頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (10) 5.2.4 有限群的性質(zhì) 第58頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (11) 5.2.4 有限群的性質(zhì) 第59頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及

26、其性質(zhì) (12) 例：假設(shè)是一個二階群，則是一個Klein群。第60頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期 (1) 5.3.1 子群 定義： 設(shè) 是一個群，非空集合 HG。如果 H 在 G 的運算下也構(gòu)成群，則稱 是 的子群。第61頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期第62頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期 (2) 5.3.1 子群 定理： 設(shè) 是 的子群，則 (1) 的單位元 eH 一定是 的 單位元，

27、即 eH = eG。 (2) 對 aH，a 在 H 中的逆元 a，一定是 a 在 G 中的逆元。 第63頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期 (3) 5.3.2 由子集構(gòu)成子群的條件 (1) 設(shè) H 是群 中 G 的非空子 集，則 H構(gòu)成 子群的充要條 件是： 對 a,bH，有 a*bH； 對 aH，有a-1H。第64頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期 (4) 5.3.2 由子集構(gòu)成子群的條件 (2) 推論 假設(shè) 是群，H 是 G 的非空子集，則 是 子群的充要條件

28、是： 對 a,bH，有 a*b-1H。第65頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期 (5) 5.3.2 由子集構(gòu)成子群的條件 (3) 假設(shè) 是一個群，H 是 G 的非空有限子集，則 是 子群的充要條件是： 對 a,bH，有 a*bH。 第66頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期 (6) 5.3.3 元素的周期 （1）群中元素的冪運算 假設(shè) 是一個群，aG。 則 a0 = e；ai+1 = ai * a； a-i =(a-1)i (i 0)； am * an = am+n

29、； (am)n = amn （m,n為整數(shù)）。 第67頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期 (7) 5.3.3 元素的周期 （2）元素的周期 定義：設(shè)是一個群，aG。若存在正整數(shù) n，使得an = e，則將滿足該條件的最小正整數(shù) n 稱為元素 a 的周期或階。若這樣的 n 不存在，則稱元素 a 的周期無限。元素 a 的周期記為：|a|。第68頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期例3：是一個群，其中Z4 =0,1,2,3，其運算表如右圖。 0=0 |0|=114=0 |

30、1|=422=0 |2|=2 34=0 |3|=4第69頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期 (8) 5.3.3 元素的周期 （3）元素周期的性質(zhì)設(shè)是一個群，aG。 a 的周期等于 a 生成的循環(huán)子群(a)的階。即 |a| = |(a)|； 若 a 的周期為 n，則 am = e 的充分必要條件是 n|m。 第70頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.3 子群與元素周期 (9) 5.3.3 元素的周期 （3）元素周期的性質(zhì)推論： 設(shè) 是一個群，aG。若 a的周期為 n，則 (a)= a0

31、,a1,.,an-1。 第71頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.4 循環(huán)群 (1) 5.4.1 定義 設(shè) 是一個群，若在 G 中存在一個元素 a，使得 G 中任意元素都由 a 的冪組成，即 G = (a) =ai | iZ，則稱該群為循環(huán)群，元素 a 稱為循環(huán)群的生成元。第72頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.4 循環(huán)群 (2) 5.4.2 循環(huán)群的性質(zhì) （1）設(shè) 是一個循環(huán)群。 若 是 n 階有限群，則 ； 若 是無限群，則 。第73頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五20

32、22/9/255.4 循環(huán)群 (3) 5.4.2 循環(huán)群的性質(zhì) （2）循環(huán)群的子群必為循環(huán)群（3）設(shè) 是 n 階循環(huán)群，m 是正整 數(shù)，并且 m|n，則 G 中存在唯一一個 m 階子群。第74頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.4 循環(huán)群 (3) 設(shè)有一個由a生成的循環(huán)群 ,則我們有若a的周期無限,則 與 同構(gòu)。若a的周期為m,則 與 同構(gòu)。第75頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.5 置換群 (1) 5.5.1 置換及其運算 （1）有限集 S 到其自身的雙射稱為 S 上 的一個置換。當 |S| = n

33、 時，S 上的 置換稱為 n 次置換。第76頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.5 置換群 (2) 5.5.1 置換及其運算 （2）定義：設(shè) S 上有如下置換 稱該置換為循環(huán)置換，記為(a1,a2,ai)，i為循環(huán)長度。當i=2 時稱為對換。單位置換，即恒等映射也視為循環(huán)置換，記為（1）或（n）。第77頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.5 置換群 (3) 5.5.2 置換群 （1）定義：一個階為n的有限集合S上所有的置換所組成的集合Sn及其復合運算構(gòu)成群,稱 為 n 次對稱群(Symmetric gr

34、oup of degree n)，而 的任意子群稱為 n 次置換群。n 次對稱群的階？|Sn|=？第78頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.5 置換群 (4) 5.5.2 置換群 例1：假設(shè) S=1,2,3，寫出 S 的 3 次對稱群和所有的 3 次置換群。 解：S3=f1,f2,f3,f4,f5,f6，并且 f1 =(1),f2=(1,2),f3=(1,3),f4=(2,3), f5=(1,2,3),f6=(1,3,2)第79頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/25第80頁，共130頁，2022年，5月20日

35、，11點10分，星期五2022/9/25f1是單位元，（f1）=f1f2，f3，f4，的階是2，（f2）=f2， =f1，f2（f3）=f3， =f1，f3（f4）=f4， =f1，f4 f5，f6 的階是3 , （f5）=f5， , =f1，f5, f6（f6）=f6， , =f1，f5, f6 f1,f1，f2,f1，f3,f1，f4f1，f5, f6是子群，即3次置換群第81頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/25例：有那些對稱群是可交換群（ABEL群）？第82頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.5 置換

36、群 (6) 5.5.2 置換群 （2）性質(zhì)：（Cayley 凱利定理） 任意 n 階群必同構(gòu)于一個 n 次置換群。例2：給定一個正四邊形，如圖所示。四個頂點的集合為 S=1,2,3,4。第83頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (1) 5.6.1 左同余關(guān)系（左陪集關(guān)系） 定義： 設(shè)是一個群，是其子群。利用 H 在 G 上定義關(guān)系： RH=|a,bG,b-1*aH RH=|a,bG,a*b-1H則稱 RH 為 G 上的模 H 左同余關(guān)系（左陪集關(guān)系）； RH為 G 上的模 H 右同余關(guān)系（右陪集關(guān)系）。第84頁，共130頁，2022年，5

37、月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (2) 5.6.1 左同余關(guān)系（左陪集關(guān)系） 定理： 設(shè) 是 的一個子群，則 G 中模 H 左同余關(guān)系是等價關(guān)系。第85頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (3) 5.6.2 左陪集 定義： 設(shè) 是 的一個子群，則 aG 為代表元的模 H 同余關(guān)系的等價類a=a*h|hH，稱為 H 在 G 內(nèi)由 a 確定的左陪集。簡記為：aH=a。第86頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (4) 5.6.2 左陪集 定理： 設(shè) 是 的一個

38、子群，則：(1) eH = H；(2) 對a,bH，aH = bH b-1*aH(3) 對aG，aH = H aH第87頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (5) 5.6.2 左陪集 例：G=e,a,b,c,d,e,f。1、寫出子群（a）2、證明（a）*c=c*（a） 3、找出所有兩個元素的子群4、求（d）的有陪集第88頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (5) 5.6.2 左陪集 例：設(shè)是一個群，Z6 =0,1,2,3,4,5,試寫出中每個子群及相應的左陪集。 第89頁，共130頁

39、，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (6) 5.6.3 左商集和右商集 定義： 設(shè) 是 的一個子群，由 H 所確定的 G 上所有元素的左陪集構(gòu)成的集合稱為 G對 H 的左商集，記為:SL= aH|aG ; 所有右陪集構(gòu)成的集合稱為 G 對 H 的右商集，記為:SR= Ha|aG 。第90頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集設(shè) 是群 的子群。（1）利用 H 定義 G 上的關(guān)系 RH=|a,bG,b-1*aH RH=|a,bG,a*b-1H 則稱 RH 和 RH分別為 G 上的模 H 左同余關(guān)系（左陪集

40、關(guān)系）和右同余關(guān)系（右陪集關(guān)系）。（2）H 在 G 內(nèi)由 a 確定的左、右陪集簡記為： aH=a =a*h|hH=ah|h H Ha=a =h*a|hH=ha|h H （3）左、右商集SL=aH|aG、 SR=Ha|aG第91頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (7) 5.6.3 左商集和右商集 定理： 設(shè) 是任意群 的子群，則 G 關(guān)于 H 的左、右商集必等勢。 定義映射 f:SLSR, 對aG，f(aH)=Ha-1第92頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/25例：設(shè)是一個群，Z6 =0,1,2,3

41、,4,5,運算表如下： 群的子群5.6 陪集第93頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/25, H1=0, SL=0H1, 1H1, 2H1, 3H1, 4H1, 5H1 SR=H10, H11, H12, H13, H14, H15, H2=0,3, SL=0H2, 1H2, 2H2 SR=H20, H21, H22 所以SL與SR等勢5.6 陪集第94頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (8) 5.6.3 左商集和右商集 定義： 設(shè) 是群 的子群，SL的基數(shù)稱為 H 在G 內(nèi)的指數(shù)。記為：G:H=|

42、SL|。第95頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (9) 5.6.3 左商集和右商集 定理： 設(shè) 是群 的子群，H 的任意左陪集（右陪集）與 H 等勢。第96頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (10) 5.6.4 Lagrange 定理定理： 假設(shè) 是有限群， 是 的子群，則 H 的階必整除 G 的階，并且 |G|=G:H|H|。 n階群的子群的階一定是 n的因子。 第97頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.6 陪集 (11) 5.6.

43、4 Lagrange 定理（1）任何素數(shù)階的群不可能有非平凡的子群。（2）素數(shù)階的群必為循環(huán)群 。（3）假設(shè)是 n 階有限群，則對 aG,|a| n （形象表示？）。（4）假設(shè)是 n 階有限群，則對 aG,an = e。第98頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (1) 5.7.1 正規(guī)子群的定義 設(shè) 是群 的子群，如果對 aG 有 aH = Ha，則稱 是 的正規(guī)子群（不變子群）。 第99頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (2) 例：假設(shè) S=1,2,3,S3=f1,f2,

44、.,f6 第100頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (3) , ,是三次置換群，是三次對稱群的子群，是否為正規(guī)子群？第101頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (3) H1=f1,aS3 是否都有 aH1 = H1af1f1,f2=f1,f2=f2f1,f2, f1,f2f1=f1,f2=f1,f2f2f3f1,f2=f3,f5=f5f1,f2, f1,f2f3=f3,f6=f1,f2f6f4f1,f2=f4,f6=f6f1,f2, f1,f2f4=f4,f5=f1,f2f

45、5第102頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (4) 5.7.2 判定正規(guī)子群的條件定理： 設(shè) 是群的一個子群，則以下條件滿足： (1) 對aG, aH=Ha (2) 對aG,hH,必存在hH,使 h*a=a*h (3) 對aG,hH, a*h*a-1H，或者 a-1*h*a H。第103頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (3) 5.7.2 判定正規(guī)子群的條件定理： 群 的子群 是正規(guī)子群的充要條件是： 對 aG，hH 有 a*h*a-1H，或者 a-1*h*a H。第10

46、4頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (3) 5.7.3 商群定義：子群 是群 的正規(guī)子群在G/H上定義新的運算 ： 對 a,bG，有 aHbH=(a*b)H ，稱為G對H的商群。第105頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (4) 5.7.3 商群例：N6,+6, H=0,2,4，H為N6的正規(guī)子群，故有商群 N6/H=0H,1H,* (0H=H;1H=1,3,5),其運算如下: (0H)*(0H)=0H;(1H)*(1H)=2H=0H; (0H)*(1H)=(1H)*(0H

47、)=1H; (0H)-1=0-1H=0H;(1H)-1=1-1H=5H=1H.第106頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (5) 5.7.4 子集的乘積 假設(shè) 是一個群，A,B 是 G的子集 ，集合 ab| aA,bB 稱為A,B的乘積，記為A*B 或 AB。（1）定義第107頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (6) 5.7.4 子集的乘積（I）子集的乘積滿足結(jié)合律。即 (A*B)*C=A*(B*C)（2）性質(zhì)（II）在子集的運算下，任何子群都為冪等元，即HH=H。第108

48、頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.7 正規(guī)子群 (7) 5.7.4 子集的乘積定理： 設(shè)是群的正規(guī)子群，則對a,bG，aH*bH=(a*b)H第109頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/25Ring and FieldsChapter 6第110頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/256.1 定義及基本性質(zhì) (1) 6.1.1 環(huán) 假設(shè) 是一個代數(shù)系統(tǒng)，其中，和 * 都是集合 A 上的二元運算，如果滿足：（1） 是交換群（Abel群）；（2） 是半群；（3） * 對 是可

49、分配的；則稱 是一個環(huán)。第111頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/256.1 定義及基本性質(zhì) (2) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì) 假設(shè) 是一個環(huán)。（1）因為是Abel群，所以滿足結(jié)合性、交換性、消去律，中有單位元。 第112頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/25 約定：an = aaa = na； 對a,bA, (ab)n = nanb; am+n = aman = (m+n)a; amn = (am)n = n(ma)。 6.1 定義及基本性質(zhì) (3) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì)第113頁，共130頁，2022年，5月20日

50、，11點10分，星期五2022/9/256.1 定義及基本性質(zhì) (4) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì)（2）假設(shè) e 是的單位元，對a,b,cA有： e * a = a * e = e a * b-1 = a-1 * b = (a*b)-1 a-1 * b-1 = a * b a*(bc-1) = (a*b)(a*c)-1 (b c-1) * a = (b*a)(c*a)-1第114頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/256.1 定義及基本性質(zhì) (5) 6.1.3 由 * 運算確定的幾種環(huán)（1）在環(huán) 中，如果 是含幺半群，并且 e 是單位元，則稱 e 為環(huán)的單位元。

51、這時稱 A 為有單位元的環(huán)（有 1 環(huán)）。如果元素 a 在 中有逆元，則在含有單位元的環(huán)中，該元素的逆也稱為環(huán)中元素的逆。 第115頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/256.1 定義及基本性質(zhì) (6) 6.1.3 由 * 運算確定的幾種環(huán)（2）如果環(huán)中只含有一個元素，此時該元素應該是 中的單位元，當然也是 中的單位元和零元，所以這種環(huán)稱為零環(huán)。 （3）設(shè) 是環(huán)，當 是可交換半群時，稱 是可交換環(huán)。第116頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/255.2 群的概念及其性質(zhì) (12) 例1：假設(shè)是一個二階群，則是一個Klein群。第117頁，共130頁，2022年，5月20日，11點10分，星期五2022/9/256.1 定義及