高等數(shù)學i6-4偏導數(shù)和全微分

1、 對一元函數(shù)：導數(shù)描述了函數(shù)在處的瞬時變化率，它的幾何意義就是函數(shù)曲線上點處的切線的斜率。 對于多元函數(shù)，我們同樣感興趣它在某處的瞬時變化率問題，以二元函數(shù) 為例，我們分別討論：相對于以及相對于的瞬時變化率偏導數(shù)6-4 偏導數(shù)與全微分1. 一階偏導數(shù)(偏微商)的定義定義 設函數(shù) 在點 的某一鄰域內(nèi)有定義，若 存在，則稱此極限為若存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對 的偏導數(shù)，記作函數(shù)在點處對 的偏導數(shù)，記作或或如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)每一點處對 和對 的的偏導數(shù)都存在，那么我們就說函數(shù)在 D 內(nèi)可導，它在 D 內(nèi)的偏導數(shù)仍是和的二元函數(shù)，稱為偏導函數(shù)，簡稱偏導數(shù)，記為或求偏導方法：只需將其它變量視為常

2、數(shù)，按一元函數(shù)求導則可。連續(xù)偏導數(shù)存在。連續(xù)偏導數(shù)存在。連續(xù)，可導對比一元函數(shù)，我們有：可導連續(xù)，但函數(shù)在該點處并不連續(xù).xyzO.偏導數(shù)的幾何意義 ,(00tan)0b=yyxfxx平面上在偏導數(shù)的幾何意義說明了: 二元函數(shù)的偏導數(shù)存在 , 只是表明函數(shù)沿 x 和 y 軸方向是連續(xù)的 , 而二元函數(shù)在一點處連續(xù)必須是沿空間的任何方向均連續(xù), 故由偏導數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù).2. 高階偏導數(shù) 由于二元函數(shù)的偏導數(shù)仍是二元函數(shù)，故可據(jù)實際需要再求偏導數(shù)，稱之為二階偏導數(shù)，同理有三階、四階等高階偏導數(shù)。的二階偏導數(shù)有四個:或或或或及稱為混合偏導數(shù) 若函數(shù) 的兩個混合偏導數(shù)和 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),則在該

3、區(qū)域內(nèi)這兩個二階偏導數(shù)必相等, 即:定理13. 全微分如同一元函數(shù)，為解決函數(shù)增量的近似計算問題，引入全微分。設二元函數(shù)為 全增量：稱 為函數(shù)在點 處的全增量。 關于x的偏增量：稱 為函數(shù)在點 處關于x的偏增量。 關于y的偏增量：稱 為函數(shù)在點 處關于y的偏增量。 定義為函數(shù)在 處的全微分,記為：設 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義, 其中 只與點 有關而與自變量的改變量 無關,則稱 在 處可微，并稱- 全增量 的線性主要部分當 在區(qū)域 內(nèi)每一點都可微時,稱函數(shù)在 可微.若 的全增量可寫成 (6. 3)定理2若 在 處可微,定理3若 在 處可微,則它在 處的兩個偏導數(shù)存在,且 若 在區(qū)域D 內(nèi)可微,則在D內(nèi)任一點的全微分可寫成證則 在 處必連續(xù).證或寫成 若 的偏導數(shù) 與 在點 的某個鄰域內(nèi)存在, 且這兩個偏導數(shù)在處連續(xù),則 在點 處可微.證定理4 (可微的充分條件)推論若 是 中的一個區(qū)域, 而也即 在區(qū)域 中有連續(xù)的一階偏導數(shù), 則 在 內(nèi)可微. 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的,所以對于初等函數(shù), 只要偏導數(shù)存在就一定可微. 全微分、偏導數(shù)、連續(xù)性之間的關系 全微分存在連續(xù)可微偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)存在一元函