隨機(jī)建模論文

1、基于條件期望的最優(yōu)預(yù)測(cè)我不得不承認(rèn)我的孤陋寡聞：在隨機(jī)建模與優(yōu)化的課堂上，我還是第一次知道有 條件期望E (X | Y)這個(gè)概念。雖然之前我學(xué)習(xí)過(guò)條件概率和期望這兩個(gè)重要的概念，但對(duì) 于條件期望我完全不知道。對(duì)我來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)了條件期望這個(gè)全新的概念及性質(zhì)，我對(duì)它產(chǎn)生 了興趣。通過(guò)后面的繼續(xù)學(xué)習(xí)以及我自己在課外找到的許多相關(guān)資料，我嘗試著去發(fā)現(xiàn)條件 期望在現(xiàn)實(shí)中的具體應(yīng)用。條件期望是現(xiàn)代概率體系中的一個(gè)重要概念，在實(shí)際生活中許多問(wèn)題都可以利用它解決, 在概率論的理論與應(yīng)用上也起著重要的作用。直接的理論應(yīng)用，根據(jù)條件期望的性質(zhì)我們可 以利用條件期望求隨機(jī)變量的期望和方差。在保險(xiǎn)業(yè)中就有很多利用條件期

2、望求隨機(jī)變量方 差的例子。確實(shí)，在實(shí)際生活中，只要你仔細(xì)觀察，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)條件期望的應(yīng)用還是比較廣 泛。在條件期望的諸多應(yīng)用中，利用條件數(shù)學(xué)期望解決預(yù)測(cè)問(wèn)題是我最感興趣的。有時(shí)我們會(huì)遇到聯(lián)合分布隨機(jī)向量的各分量之間的預(yù)測(cè)問(wèn)題。比如，人的身高&與體重 n，在網(wǎng)上有一個(gè)流行的公式是n =& -110,其中&以厘米為單位，而n以公斤為單位，可以 拿它作為用身高預(yù)測(cè)體重的公式，但是為了評(píng)價(jià)這個(gè)預(yù)測(cè)公式的好壞，就要提出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)， 以“均方誤差最小”作為目標(biāo)，即若得到R.VY的觀察值，根據(jù)這些觀察值試圖預(yù)測(cè)另一個(gè) R.VY的取值，令g(Y)表示這個(gè)預(yù)測(cè)，即若Y的觀察值等于y，那么g(y)就是對(duì)R.VX的預(yù)測(cè)

3、 值，即選擇一個(gè)函數(shù)g，使g(Y)盡可能接近X，選擇函數(shù)g的一種準(zhǔn)則就是使Ex-g(Y)2 的取值達(dá)到最小，我們可以證明在這種準(zhǔn)則下，對(duì)Y的最優(yōu)可能預(yù)測(cè)為g(Y)=EX|Y。由于在最小預(yù)測(cè)誤差方差意義下的最優(yōu)預(yù)測(cè)值就是它的條件期望。條件期望在預(yù)測(cè)問(wèn)題 中有重要作用.若X與Y是相依的隨機(jī)變量，如何找出X與Y的函數(shù)關(guān)系？下面命題說(shuō)明在均方 意義下，在已知隨機(jī)變量X的條件下，E(Y|X)是丫的最佳預(yù)測(cè)。命題:設(shè)X, Y是隨機(jī)變量，g(x)是Borel 函數(shù)，則E(Y-g(X)2 3E(Y-E(Y|X)2證明：E(Y-g(X)2|X=E(Y-E(Y|X)+E(Y|X)-g(X)2|X=E(Y-E(Y|

4、X)2|X+E(E(Y|X)-g(X)2|X+2E(Y-E(Y|X)(E(Y|X)-g(x)|X上面最后項(xiàng)中，因式E(Y|X)-g(X)當(dāng)X取定值時(shí)是常數(shù)，所以E(Y-E(Y|X)(E(Y|X)-g(X)|X = (E(Y|X)-g(X) - E(Y-E(Y|X)|X=0 故得 E(Y-g(X)2|X 3E(Y-E(Y|X)2|X。由全數(shù)學(xué)期望公式得，兩邊取數(shù)學(xué)期望,就得到命題的證明。通常當(dāng)觀察到X=x時(shí)，EY|X=x 是一切對(duì)Y的估計(jì)值中均方誤差最小的一個(gè)，則稱(chēng)之為Y關(guān) 于X的回歸。例設(shè)身高為x (cm)的男子其成年兒子的身高服從均值為x+3，方差為10的正態(tài)分布，問(wèn)身高 為175cm的男子

5、，其成年兒子的身高的最佳預(yù)測(cè)值是多少？分析：令X表示父親身高，Y表示兒子身高，則Y = X + 3 +Z ,其中,ZN (0 ,10) , Z與X獨(dú) 立，由上面的結(jié)論可知，Y的最佳預(yù)測(cè)是E(Y|X=175)=E(X+3+Z |X=175)=175+3+ E(Z |X=175)=178+EZ =178(cm)再如某大型商場(chǎng)的服裝銷(xiāo)售量已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)期，因此，其月銷(xiāo)量記錄，可認(rèn)為是一個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)序列?，F(xiàn)有48個(gè)月的銷(xiāo)售記錄，其月平均銷(xiāo)量為3萬(wàn)件，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示：表1每月銷(xiāo)量與平均銷(xiāo)量之差ty tty tty tty tty tty t1-3.799-1.47171.05250.8933-0.654

6、12.302-4.4710-1.56182.52261.90341.34423.513-4.9411-0.55192.40271.4035-0.8643-1.494-4.5612-1.82200.39281.0136-0.50442.225-2.1613-0.37210.58291.6237-1.10452.436-3.4914-0.37220.92301.4138-1.05462.237-3.2715-0.71230.49311.05391.2847-0.828-2.63160.11241.32321.15401.9448-0.24試對(duì)表1的數(shù)據(jù)建立模型和進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先估算樣本序列的標(biāo)準(zhǔn)自相

7、關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)。此序列是AR (2)模型。其模型方程是y =中y + y +a，對(duì)參數(shù)中，用最小二乘 t1 t-12 t-2 t12估計(jì)可得： +0.9中 2 = 0.9，0.9 + 2=0.84。解此方程可得： 1 = 0.7538，中2 = 0.158，可得：一步預(yù)測(cè)方程：yt (1)=0.7538七+0.158七-1，二步預(yù)測(cè)方程：yt (2) =0.7538yt (1) +0.158y三步預(yù)測(cè)方程：yt (3)=0.7538yt (2) +0.158yt (1)。對(duì)上述預(yù)測(cè)公式以t=47進(jìn)行一步、二步、三步預(yù)測(cè)，并與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比。為對(duì)上述預(yù) 測(cè)做出區(qū)間估計(jì)，根據(jù)矩估計(jì)可估算出。七的估計(jì)值：a 2 =r (1- p - p )。 a 01122計(jì)算得到r0=4.0372, a 2 =4.0372 (1-0.7538X0.9-0.158X0.84)=0.7625，從而 aa =0.8732。此外又根據(jù)模型的傳遞形式，可算出匕(1)、y47(2)、 (3)的95%置信 預(yù)測(cè)區(qū)間分別為：(-2.7164, 0.7764)、(-3.047, 1.327)、(-3.3282, 1.7282)?？梢钥闯?，通過(guò)“均方誤差最小”時(shí)