《排列組合、二項(xiàng)式定理》教學(xué)案（理）

1、PAGE17排列組合、二項(xiàng)式定理一、知識(shí)點(diǎn)梳理1排列、組合、二項(xiàng)式知識(shí)相互關(guān)系表2兩個(gè)基本原理（1）分類(lèi)計(jì)數(shù)原理中的分類(lèi)；（2）分步計(jì)數(shù)原理中的分步；正確地分類(lèi)與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。3排列（1）排列定義，排列數(shù)（2）排列數(shù)公式：系=nn1nm1；（3）全排列：=n!；（4）記住下列幾個(gè)階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4組合（1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別；（2）組合數(shù)公式：Cnm=nn-1（3）組合數(shù)的性質(zhì)Cnm=Cnn-m；rCnr=nCn-1r-1；Cn0Cn1Cnn=2n；Cn0-Cn1-1nCnn=0，即Cn0Cn2Cn4=Cn1Cn

2、3=25二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式展開(kāi)公式：abn=Cn0anCn1an-1bCnan-bCnnbn；（2）通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式展開(kāi)式中第1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是：T1=Cnan-b；6二項(xiàng)式的應(yīng)用（1）求項(xiàng)系數(shù)；（2）證明簡(jiǎn)單組合恒等式；（3）證明整除。求數(shù)的末位；數(shù)的整除；簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問(wèn)題；（4）近似計(jì)算。當(dāng)|充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：1n1n；1n1n2；（5）證明不等式。二、題型探究探究一：計(jì)數(shù)原理例1完成下列選擇題與填空題（1）有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有種。A81B64C24D4（2）四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是（）A81B64（3）有

3、四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽，每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽，則有不同的參賽方法有；每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有；每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽，每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有。解析：（1）完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類(lèi)”進(jìn)行，是選用基本原理的關(guān)鍵。將“投四封信”這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法，因此：N=3333=34=81，故答案選A。本題也可以這樣分類(lèi)完成，四封信投入一個(gè)信箱中，有C31種投法；四封信投入兩個(gè)信箱中，有C32（C41A22C42C22）種投法；四封信投入三個(gè)信箱，有兩封信在同一信箱中，有C42A33種投法、

4、，故共有C31C32（C41A22C42C22）C42A33=81（種）。故選A。（2）因?qū)W生可同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將4名學(xué)生看作4個(gè)“店”，3項(xiàng)冠軍看作“客”，每個(gè)“客”都可住進(jìn)4家“店”中的任意一家，即每個(gè)“客”有4種住宿法。由分步計(jì)數(shù)原理得：N=444=64。故答案選B。（3）學(xué)生可以選擇項(xiàng)目，而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)學(xué)生無(wú)條件限制，所以類(lèi)似（1）可得N=34=81（種）；競(jìng)賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生，而學(xué)生無(wú)選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì)，每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生，共有N=43=64（種）；等價(jià)于從4個(gè)學(xué)生中挑選3個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)賽，每人參加一項(xiàng)，故共有=C4例2今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同

5、色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）。解析：本題考查排列組合的基本知識(shí)，由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問(wèn)題，共有C9點(diǎn)評(píng)：分步計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問(wèn)題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，在高中數(shù)學(xué)中，只有這兩個(gè)原理，尤其是分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，用分類(lèi)的方法可以有效的將之化簡(jiǎn),達(dá)到求解的目的。探究二：排列問(wèn)題例3（1）在這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（）（A）36個(gè)（B）24個(gè)（C）18個(gè)（D）6個(gè)（2）從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至

6、少有1名女生，則選派方案共有（）（A）108種（B）186種（C）216種（D）270種（3）在數(shù)字1,2，3與符號(hào)，五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是（）A6B12 （4）高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040解析：（1）依題意，所選的三位數(shù)字有兩種情況：（1）3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，有種方法（2）3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù)，有，故共有24種方法，故選B；（2）從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有=186種，選B；（

7、3）先排列1，2，3，有種排法，再將“”，“”兩個(gè)符號(hào)插入，有種方法，共有12種方法，選B；（4）不同排法的種數(shù)為3600，故選B。點(diǎn)評(píng)：合理的應(yīng)用排列公式處理實(shí)際問(wèn)題，首先應(yīng)該進(jìn)入排列問(wèn)題的情景，想清楚我處理時(shí)應(yīng)該如何去做。例4（1）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有個(gè)（用數(shù)字作答）；（2）電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）解析：（1）可以分情況討論：若末位數(shù)字為0，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，4，各為1個(gè)數(shù)字，共可以組成個(gè)五位數(shù)；若末位

8、數(shù)字為2，則1與它相鄰，其余3個(gè)數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，則有個(gè)五位數(shù)；若末位數(shù)字為4，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，0，各為1個(gè)數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，則有=8個(gè)五位數(shù)，所以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè)。（2）分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填A(yù)22A4448從而應(yīng)填48。點(diǎn)評(píng)：排列問(wèn)題不可能解決所有問(wèn)題，對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題都是以排列公式為輔助。探究三：組合問(wèn)題例5（1）將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有（）（A）30種（B）90種（C）180種（D）270種（2）將4個(gè)顏色互不相同

9、的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有（）A10種B20種C36種D52種解析：（1）將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個(gè)班，共有種不同的分配方案，選B；（2）將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，分情況討論：1號(hào)盒子中放1個(gè)球，其余3個(gè)放入2號(hào)盒子，有種方法；1號(hào)盒子中放2個(gè)球，其余2個(gè)放入2號(hào)盒子，有種方法；則不同的放球方法有10種，選A。點(diǎn)評(píng)：計(jì)數(shù)原理是解

10、決較為復(fù)雜的排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合例6（1）06陜西卷某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教每地1人，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有種；（2）5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）（A）150種B180種C200種D280種解析：（1）可以分情況討論，甲去，則乙不去，有=480種選法；甲不去，乙去，有=480種選法；甲、乙都不去，有=360種選法；共有1320種不同的選派方案；（2）人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有60種，若是1,1,3，則有90種，所以共有150種，選A。點(diǎn)評(píng)：排列組合的

11、交叉使用可以處理一些復(fù)雜問(wèn)題，諸如分組問(wèn)題等；探究四：排列、組合的綜合問(wèn)題例7平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無(wú)三條直線交于同一點(diǎn)（除原10點(diǎn)外），無(wú)兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（除原10點(diǎn)外）。（2）這些直線交成多少個(gè)三角形。解法一：（1）由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=45條。這45條直線除原10點(diǎn)外無(wú)三條直線交于同一點(diǎn)，由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn)，共有C452個(gè)交點(diǎn)。而在原來(lái)10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此。所以，在原來(lái)點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù)；所以這些直線交成新的點(diǎn)是：C45210C92=630。（2）這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如

12、下求：因?yàn)槊總€(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)來(lái)自上述630個(gè)點(diǎn)或原來(lái)的10個(gè)點(diǎn)。所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這640個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合，即C6403=（個(gè)）。解法二：（1）如圖對(duì)給定的10點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，四點(diǎn)連成6條直線，這6條直線交3個(gè)新的點(diǎn)。故原題對(duì)應(yīng)于在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍，即這些直線新交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：3C104=630。點(diǎn)評(píng)：用排列、組合解決有關(guān)幾何計(jì)算問(wèn)題，除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對(duì)策之外，還要考慮實(shí)際幾何意義。例8已知直線abyc=0中的a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。解設(shè)

13、傾斜角為，由為銳角，得tan=-0,即a、b異號(hào)。（1）若c=0，a、b各有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)（3-3y=0,2-2y=0,-y=0），故有33-2=7（條）；（2）若c0，a有3種取法，b有3種取法，而同時(shí)c還有4種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有334=36條，從而符合要求的直線共有736=43條；點(diǎn)評(píng)：本題是1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有。錯(cuò)誤原因沒(méi)有對(duì)c=0與c0正確分類(lèi)；沒(méi)有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。探究五：二項(xiàng)式定理例9（1）在的展開(kāi)式中，的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有A3項(xiàng)B4項(xiàng)C5項(xiàng)D6項(xiàng)（2）的展開(kāi)式中含的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是（A）0

14、（B）2（C）4（D）6解析：本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)公式的有關(guān)知識(shí)；（1），當(dāng)r0，3，6，9，12，15，18，21，24時(shí)，的指數(shù)分別是24，20，16，12，8，4，0，4，8，其中16，8，4，0，8均為2的整數(shù)次冪，故選C；（2）的展開(kāi)式通項(xiàng)為，；點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則。在求系數(shù)過(guò)程中,盡量先化簡(jiǎn)，降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別,盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過(guò)程可以適當(dāng)注意“令值法”的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別。例10（1）在（）2022的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含的奇次冪的項(xiàng)之和為S，當(dāng)時(shí)，S等于（）23008 C23009D（2）已知的展開(kāi)式中第三項(xiàng)

15、與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為,其中=1，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）A45iB45iC45D45（3）若多項(xiàng)式x2+x10=aA9B10C9D10解析：（1）設(shè)（）2022a02022a12022a2022a2022；則當(dāng)時(shí)，有a0（）2022a1（）2022a2022（）a20220（1），當(dāng)時(shí)，有a0（）2022a1（）2022a2022（）a202223009（2），（1）（2）有a1（）2022a2022（）23009223008，故選B；（2）第三項(xiàng)的系數(shù)為，第五項(xiàng)的系數(shù)為，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為可得n10，則，令405r0，解得r8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為45，選A；（3）令=-1,即可解，答案

16、選（D）點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的特殊值法，基礎(chǔ)題；三、方法提升解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理使用方法有兩種：?jiǎn)为?dú)使用；聯(lián)合使用。2將具體問(wèn)題抽象為排列問(wèn)題或組合問(wèn)題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。3對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，通常從以下三種途徑考慮：（1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；（2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；（3）整體排除法：先算出無(wú)限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。4對(duì)解組合問(wèn)題，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：（1）對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)計(jì)算，是解組合題的常用方法；（2）是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是

17、“正難則反”；（3）設(shè)計(jì)“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。四、反思感悟五、課時(shí)作業(yè)一、選擇題1、將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種（B）18種（C）36種（D）54種【答案】B【命題意圖】本試題主要考察排列組合知識(shí)，考察考生分析問(wèn)題的能力【解析】標(biāo)號(hào)1,2的卡片放入同一封信有C31種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩個(gè)有C422、將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種B18種C

18、36種D54種【解析】B：本題考查了排列組合的知識(shí)先從3個(gè)信封中選一個(gè)放1，2有3種不同的選法，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)數(shù)中選兩個(gè)放一個(gè)信封有C42，余下放入最后一個(gè)信封，共有3、展開(kāi)式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為（）.0 C【答案】B【解析】考查對(duì)二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，重點(diǎn)考查實(shí)踐意識(shí)和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)正難則反。采用賦值法，令=1得：系數(shù)和為1，減去項(xiàng)系數(shù)即為所求，答案為04、某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日（端午節(jié)假期）值班，每天安排2人，每人值班1天若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有（A）30種（B）36種（C）42種（D）48種解析：法一：所有排法減去甲值1

19、4日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法，即C62C42-2C55、的展開(kāi)式中的系數(shù)為（A）4（B）6（C）10（D）20解析：由通項(xiàng)公式得6、某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有種種種種解析：分兩類(lèi)：甲乙排1、2號(hào)或6、7號(hào)共有種方法甲乙排中間,丙排7號(hào)或不排7號(hào)，共有種方法故共有1008種不同的排法7、8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（A）（B）（C）（D）答案：A8、由1、2、3、4、5、6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的

20、六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（A）72（B）96（C）108（D）144解析：先選一個(gè)偶數(shù)字排個(gè)位，有3種選法若5在十位或十萬(wàn)位，則1、3有三個(gè)位置可排，324個(gè)若5排在百位、千位或萬(wàn)位，則1、3只有兩個(gè)位置可排，共312個(gè)算上個(gè)位偶數(shù)字的排法，共計(jì)32412108個(gè)答案：C9、如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用（A）288種（B）264種（C）240種（D）168種【答案】B【解析】本題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)與分類(lèi)討論思想，屬于難題。B,D,E,F用四種顏色，則有種涂色方法；B,D,E,F用三種顏色，則有種涂色方法；B,D,E,F用兩種顏色，則有種涂色方法；所以共有2419248=264種不同的涂色方法。【溫馨提示】近兩年天津卷中的排列、組合問(wèn)題均處在壓軸題的位置，且均考查了分類(lèi)討論思想及排列、組合的基本方法，要加強(qiáng)分類(lèi)討論思想的訓(xùn)練。10、的展開(kāi)式的系數(shù)是A-6B-3C0D3A【命題意圖】本小題主要考查了考生對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力【解析】的系數(shù)是-126=-611、某校開(kāi)設(shè)A類(lèi)選修課3門(mén)，B類(lèi)選擇課4門(mén)，一位同學(xué)從中共選