三角學(xué)全等公理的教學(xué)設(shè)計研究

1、淮北師范大學(xué)2013屆學(xué)士學(xué)位論文三角學(xué)全等公理的教學(xué)設(shè)計研究學(xué)院、專業(yè)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 研究方向數(shù)學(xué)教育學(xué)生姓名李俊福學(xué)號20091101061指導(dǎo)教師姓名張昆指導(dǎo)教師職稱講師2013年4月24日三角學(xué)全等公理的教學(xué)設(shè)計研究摘要本文首先給出三角形全等公理的概念，并指出全等三角形教學(xué)設(shè)計的重點 與難點,從生活中的實例去激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題求知欲，使整個教學(xué)過程充滿趣味性. 本文著重去引導(dǎo)學(xué)生注意身邊的事物與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，學(xué)會對已學(xué)數(shù)學(xué)知識的靈 活運(yùn)用，并學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，解決問題,如；日常生活中人們是怎么利用三角形全等？學(xué) 習(xí)三角形全等對于我們中考以及以后的學(xué)習(xí)有哪些幫助？在本章教學(xué)設(shè)計將

2、為同 學(xué)們展現(xiàn)并解決這些數(shù)學(xué)問題，重新認(rèn)識三角形全等公理及其它有關(guān)的性質(zhì)，教會 學(xué)生轉(zhuǎn)化思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，分析問題、解決問題和綜合運(yùn)用知識 能力.但是在學(xué)習(xí)中學(xué)生們都會忽略知識產(chǎn)生背景以及形成過程，更談不上對知識的靈活運(yùn)用，不會理論聯(lián)系實際把握知識的重難點.所以在本課題教學(xué)設(shè)計中將解 決這些問題是非常重要的.關(guān)鍵詞：三角形全等，公理，教學(xué)設(shè)計，邏輯思維Research of teaching on Trigonometry Congruent AxiomaticdesignAbstractAt first, this paper in troduces the con cept

3、 of tria ngles are con grue nt axiom, points out the key poi nts and difficulties of con grue nt tria ngles in teachi ng desig n, stimulates students desire to find problems in life and makes the whole teaching process in terest ing. This paper focus on guidi ng stude nts to pay atte nti on to the c

4、onnection between things around us and mathematical knowledge, to learn to flexibly use the acquired mathematical kno wledge to find problems and solve them. For example, how do people use con grue nt tria ngles in daily life? Can con grue nt tria ngles help us in senior high school entrance exam in

5、 ati on and future study? Having show n and solved the mathematical problems, and recog ni zed tria ngles are con grue nt axiom and other related nature, this paper aims at teaching students transitional thinking method, cultivating students logical thinking ability , analyze and solve problems abil

6、ity, and the ability in in tegrat ing kno wledge. Becausestude nts ofte n ignore the backgro und kno wledge and the formation process, let alone flexibly use knowledge and grasp the key points and difficult points at the base of theory and practice, it is important to solve these problems in this pr

7、oject in structi onal desig n.Key words: congruent triangles, axiom, instructional design, logical thinking TOC o 1-5 h z 一、提出問題 1 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 二、教材的選擇以及教學(xué)設(shè)計方法 1 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 三、三角形全等的概念及其分析 2 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 四、三角形全等判

8、定及其應(yīng)用 2 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document （一）公理ASA的證明 2 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document （二）公理SAS的證明及例題 3 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document （三）公理SSS的證明及例題 5 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document （四）公理AAS的證明及例題 5 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document （五）公理HL的證明 7 HYPE

9、RLINK l bookmark32 o Current Document 五、三角形全等的性質(zhì)及其應(yīng)用計算 7 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 六、課外興趣探究 9結(jié) 論 9參考文獻(xiàn) 10致 謝 11 提出問題在我國，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、簡化解題步驟、培養(yǎng)學(xué) 生創(chuàng)新能力已經(jīng)成為中小學(xué)教師教學(xué)研究的焦點，如何把學(xué)習(xí)內(nèi)容與其他學(xué)科相聯(lián)系以及與生活知識聯(lián)系起來，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究主要內(nèi)容但是也帶來了一 些弊端，例如,課本變得越來越簡單，只有一些概念敘述，幾個定理公理的證明，然 后就是例題的鞏固練習(xí)，給老師的教學(xué)帶來了一定的

10、困難，教師若是按照書本內(nèi)容 教學(xué)完不成教學(xué)大綱要求，學(xué)生也學(xué)不到什么東西，這就要求我們認(rèn)真選擇教材， 因材施教.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版的八年級數(shù)學(xué)（上冊）全等三角形這章內(nèi)容開篇就 說全等三角形的判定是幾何中邏輯邏輯推理的基礎(chǔ) .相比較而言，美國教材注重 學(xué)生動手實干，從中尋找到新的問題，由此自然過渡到下一節(jié)的內(nèi)容，使學(xué)生總處 于有問題組織而成的情景脈絡(luò)之中，我國教材注重正反例的解析，已達(dá)到鞏固知識 的目的，對探究過程中的步驟的要求并不是很嚴(yán)格，大部分是給出條件后，讓學(xué)生探究最后的結(jié)論是否正確 .在應(yīng)試教育大環(huán)境下，學(xué)生和老師往往為了分?jǐn)?shù)只注 重解題方法與結(jié)果，對于理論知識來源并不深入探究，導(dǎo)致

11、學(xué)生部分理論知識和邏 輯推理訓(xùn)練欠缺.通過三角學(xué)全等公理的教學(xué)設(shè)計研究培養(yǎng)學(xué)生能夠直觀觀 察比較三角形圖形識別兩個三角形全等 ，并通過正確的學(xué)習(xí)方法掌握理解并能靈 活運(yùn)用兩個三角形全等判定進(jìn)行解題，以期達(dá)到理論的掌握邏輯思維得到訓(xùn)練 .由 此可知初中生學(xué)習(xí)定理（公理）及其邏輯推理是必要的 ，也是完全可能的3.二、教材的選擇以及教學(xué)設(shè)計方法由于地域差異，各個地區(qū)的中學(xué)教材也各不相，本文就以上?？茖W(xué)技術(shù)出版社 出版的八年級數(shù)學(xué)（上冊）為準(zhǔn)，同時適當(dāng)綜合一些優(yōu)秀的教案來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計研 究.對于三角形全等判定我們大致可以分為三部分 ，公理的引入，公理的證明，例題 的鞏固公理.引入可以上一堂課布置作業(yè)讓

12、學(xué)生去探究一下，并準(zhǔn)備好上課的必要 工具,上課時候老師再進(jìn)行論述引導(dǎo)，對于公理的明確和鞏固，我們教材的順序來 看邊角邊公理與角邊角公理并沒有邏輯順序，只不過遵循了歐幾里德幾何原本 中的順序而.從中學(xué)平面幾何教材可以看到，三角形全等公理的教學(xué)設(shè)計有許多 方法,例如可以采用課前預(yù)習(xí)，課堂講解,課后鞏固的傳統(tǒng)教育模式；采用觀摩教學(xué) 方法;課堂動手實踐教學(xué)等的方法.通過對學(xué)生和一些任課教師大量調(diào)查和一些同 學(xué)和本人的實習(xí)和家教經(jīng)驗，認(rèn)為采用傳統(tǒng)的課堂講授加上小組動手實踐分析討 論的教學(xué)方法比較好，能夠吸引學(xué)生的注意力，培養(yǎng)他們的動手能力，注意上課的板書設(shè)計，爭取讓大部分同學(xué)一目了然，能給初學(xué)者減少負(fù)擔(dān)

13、，激發(fā)求知欲同時能 夠訓(xùn)練邏輯思維能力，語言組織能力等等若在條件允許情況下，可以使用幾何畫 板來演示我們所需要進(jìn)行教學(xué)的幾何圖形并滲透”觀察實驗、概括歸納”的數(shù)學(xué) 教學(xué)方法以及”從特殊到一般再到特殊”的辯證唯物主義思想三、三角形全等的概念及其分析,形狀和大小完全相同的圖形有哪幾對？ d E A.通過同學(xué)們的討論、理解，與老師的分析，我們可以得到如下答案；A與F;B與G;C與H;D與l;E與J是完全相同一般情況下,稱能夠完全重合兩個圖像,叫做全等形(congruent figures) , 如上圖B與G,兩個三角形能夠完全重合，稱為全等三角形，表明他們的大小形狀一 樣全等三角形(congruen

14、t triangles )中互相重合的邊叫做對應(yīng)邊,顯然三角 形對應(yīng)邊相等.全等三角中互相重合的角叫做對應(yīng)角，顯然，全等三角形的對應(yīng)角 相等,從而可以看出互相重合的頂點叫對應(yīng)頂點.記兩個三角形全等時，通常用表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，例如V ABC和VDEF全等，記VABC二VDEF,讀作；V ABC全等于V D E F .我們知道三角形 有三條邊和三個角，確定一個三角形的形狀、大小至少需要其中有三個元素.確定 三角形的形狀、大小的條件能否作為判定三角形全等條件呢？四、三角形全等判定及其應(yīng)用我們原來學(xué)習(xí)過用尺規(guī)作出一些簡單的線段、角度，下面我們利用尺規(guī)作圖畫出三角形，來研究兩個三角形全等

15、的條件.若是條件允許，我們也可以制作多媒 體課件來進(jìn)行展示公理的推導(dǎo)過程，使其更加形象生動，加深學(xué)生對于圖形的記憶 力和對公理的理解.（一）公理ASA的證明我們用等腰三角板在硬紙板上畫出兩個等腰直角三角形，然后用剪刀把它們剪下來,把剪好的圖形疊放在一起，多次嘗試變動，看看它們能否完全重合？我們再看看下面作的這個圖形是不是完全重合？已知丁A BC作法;（1 ）作線段E F= B C（2）在E F的同旁，分別以E、 F為頂點作乙M E F= EA B C上N F E = ./C ,E M與F N交于點D ,貝E F就是所求作三角形將所作的TABC與DEF疊一疊，你會發(fā)現(xiàn)它們是否完全重合 ？由此可以

16、得 出什么結(jié)論？由此我們可以得出判定兩個三角形全等的第一個定理；兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等簡記”角邊角”或” ASA.換一句話說；角兩頭站，中間一條縫（邊），兩角頂點字母組成邊（二）公理SAS的證明及例題在硬紙板上畫兩個相等的角，在這兩個相等角中，以這兩個角的頂點為一個端 點在角的兩邊分別畫出對應(yīng)相等線段，連接另兩個端點，就構(gòu)成了兩個三角形，然 后剪下兩個三角形，把這兩個三角形重疊在一起，可以多做幾次，看看是否完全重 合？我們看看下面作的這個圖形是不是完全重合 ？已知JAB C ；求作；TDEF,使 DE = AB,E = . B,EF = BC 作法；(1 )作.GEH= .

17、B；在EG上 截 取ED=BA,在EH上 截 取EF = BC;連接DF.則 DEF就是所求作的三角形由此我們可以得出判定兩個三角形全等的第二個定理；兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為”邊角邊”或”SA1.換句話說；邊在兩頭角在中間，角的頂點，字母在邊上用兩次例題；有一塊不規(guī)則的湖泊，下面是兩位同學(xué)分別設(shè)計的能夠粗略地測量出湖 泊兩端A、B的距離的方案，請你分析一下兩種方案的理由方案一：小明想出了這樣一個方法，如圖所示，先在AB的垂線BF上取兩點C、 D,使CD= BC,再定出BF的垂線DE,使A、C、E在同一條直線上，測得DE的長就是 AB的長.你能說明一下這是為什么嗎？方案二

18、：小軍想出了這樣一個方法，如圖所示，先在平地上取一個可以直接B之間的距離你能說明一下這到達(dá)魚池兩端 A B的點C,連結(jié)AC并延長到點D,使CD= CA,連結(jié)BC并延長到E, 使CE= CB,連結(jié)DE,量出DE的長，這個長就是是為什么嗎？解；粗看小明的做法有道理，其理由如下：因為 AB丄 BF,DE BF,所以/ ABC=Z FED又因為A C E三點在同一條直線上,所以/ ACB=Z ECD且BC= DC,所以EDC（ASA ,所以AB= DE （全等三角形的對應(yīng)邊相等）小軍的做法有道理，其理由如下：因為在 ABCPA DCE中 ,CD= CA,Z ACB=Z DCE（對頂角相等），CE= B

19、C,所以 ABCA DEC（SAS ,所以AB= DE （全等三角形的對應(yīng)邊相等）以上兩個例題有相似之處，學(xué)習(xí)的時候要求學(xué)生會舉一反三，進(jìn)而加深記憶（三）公理SSS的證明及例題已知、A BC ;求作；1DEF,使 D E = AB ,EF = BC,F D =CA;作法（1）作線段EF=BC；（2）分別以E、F為圓心，BA、C A的長為半徑畫弧，兩弧相交于D ;（3）連接 D E、F D ;貝U VDEF就是所求作的三角形.由此我們可以得出判定兩個三角形全等的第三個定理；三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等簡記為”邊邊邊”或” sss”1.上面的結(jié)論說明，只要三角形三邊的長度確定了 ，這個三角形的形狀

20、和大小完 全確定，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性日常生活中，我們常會看到應(yīng)用三角形穩(wěn) 定性的例子如建立斜拉橋上的三角形結(jié)構(gòu)、三條腿的板凳等等 （四）公理AAS的證明及例題探究,我們已經(jīng)知道 ASA SAS SSS都可以作為判定兩個三角形全等的條件. 其實,在三角形的六個基本元素中選擇三個元素對應(yīng)相等 ,除了可以配成SAS ASA SSS外，還可以配成;AAA、SSA(ASS) AAS(SAA).想一想,分別滿足后面三組條件中任一組的兩個三角形 ，即；三個角分別相等；兩邊和其中一邊的對角分別相等；兩角和其中一角的對邊分別相等能判定這兩個三角形全等嗎？學(xué)生動手作一作，想一想,探一探.分小組進(jìn)行討 論研

21、究一下，老師適當(dāng)引導(dǎo)加以提示上述”探究”中的命題(1)、(2),它們是不成立的.這里老師一定要講清楚AAA SSA(ASS不成立的原因,否則以后的證明題目中學(xué)生還會出現(xiàn)這類證明的結(jié)果,為了加深學(xué)生的記憶力，可以舉出以下例子，如邊長不等兩個等邊三角形他們的三個 角均為60，但是這兩個等邊三角形不全等.如圖，3BCD/ABC與ABD滿足條件AB二AB,AC二AD,/ABC二.ABD,但是它們也不全等.對于(3),由三角形三個內(nèi)角和等于180 ,可以推算第三個角也相等，這樣也全 等,AAS就可以轉(zhuǎn)化為ASA從而可以判定這樣的兩個三角形也全等.由此我們可以 得出判定兩個三角形全等的第四個定理：即兩個角

22、和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等簡記為”角角邊”或者”AAW.換句話;兩角并頭站,邊在底下行.例 如圖，點 B、F、GD在一條直線上，AB=ED,AB/ED,AC/EF.求證；abc 三-Edf ；證明；因為 AB / E D ,AC / EF (已知)所以NB=/D,NACB=ZEFD.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)在Abc與、Edf中，因為 NB=D,NACB=ZEFD,AB=ED；所 以 Abc /edf（ aas）1.由此可知,判定兩個三角形全等的條件,有ASA、SAS、AAS、SSS四種情況, 我們知道直角三角形屬于特殊的三角形，除了證明上述證明一般三角形的判定定理 外，有沒有

23、特定的方法來證明直角三角形呢？公理HL的證明已知Rt 丁ABC ,其中乙C為直角求作；R t DEF,使/ F 為直角，DF=AC,DE = AB,乂乂0(1 ) . M FN= . C=90 ;(2 )在F M上截取F D = C A ;(3 )以D為圓心、A B長為半弧，交F N于點E ,(4 )連接D E ;則Rt JD E F就是所求作的直角三角形由此我們可以得到判定兩個直角三角形全等的定理斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 簡記為”斜邊、直角邊 或” HL ”.了解判定三角形全等公理，我們就可以帶著結(jié)果去尋找我們需要的條件，證明 三角形全等就容易些，因此,除了要精心設(shè)計例題

24、外，還要展現(xiàn)解體的思維過程，并啟 發(fā)引導(dǎo)學(xué)生逐一排除阻礙，逐步頓悟,挖掘思維價值，越過思維障礙，從而使學(xué)生的思維能力得到發(fā)展和提高5.學(xué)生是不是會想到三角形全等，周長和面積也就相等那么，周長和面積相等，兩個三角形就不一定全等.例如,邊長分別為5、5、8和633的三角形它們周長和面積相等，但是它們不是全等三角6五、三角形全等的性質(zhì)及其應(yīng)用計算全等三角形對應(yīng)角相等全等三角形對應(yīng)邊相等.全等三角形對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等全等三角形對應(yīng)角的角平分線相等全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等.全等三角形面積相等.全等三角形周長相等.全等三角形對應(yīng)角的三角函數(shù)值相等1、如圖所示,AB是0D的弦,半徑OC、OD分別交AB

25、于點E、F且AE=BF,請你找出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.證明；連接 OA,OB,過0點作0P垂直A B于P; 所以-OAP和 OBP為直角三角形；AB 為、O 的弦,OA =OB,O P=OP; 則 Rt、OAP = Rt、OBP ,所以;AP=BP; 又因為A E = B F,所以EP=FP, 所以 Rt、OEP 二 Rt、OFP,所以 OE = OF.2、(例2 )已知 AB=AC,AD=AE,A與 CD交于 M,AC與 BE交于 N, dab = . eac, 求證；AM=AN.證明；因為 DAB=EAC,所以乙 DAC=DAB + BAC,MCAD = BAM +MBAC

26、,即上 D A C = B A E,又因為 A B = A C ,A D = A E ,所以C D 二、A B E(S A S), 所以 ACD=ABE,所以 TA CM 三、A BN,即,A M = A N注:上題通過兩次證明加深學(xué)生對證明三角形全等的認(rèn)識，再次總結(jié)了兩次證明全等的分析方法,這種方法很必要3、(2010潼南中考)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延 長線上一點，連結(jié)AG,點E、F分別在AG上，連接BE、DF,Z仁/2 , / 3=7 4.證明： ABE DAF ;若7 AGB=30，求 EF 的長.AD證明：(1)因為 四邊形ABCD是邊長為2的正方形,所以A

27、B=AD,=4在厶ABE和厶DAF中jab = da ,N4 =O所以 ABE DAF.解(2)因為四邊形ABCD是正方形,所以 / 1 + / 4=90因為/ 3= / 4,所以/ 1 + Z 3=90/ AFD=90在正方形ABCD中,AD / BC,所以/仁/ AGB=30在RtAADF中，/ AFD=90 ,AD=2 ,由三角函數(shù)定理,所以 AF= ,3 , DF =1,由(1)得厶 ABE ADF,所以 AE=DF=1,所以 EF=AF-AE= ,3 -1 .六、課外興趣探究有興趣的情況下可以探討一下，三角形的周長和面積都相等這兩個條件對證 明三角形全等，通過添加適當(dāng)?shù)臈l件，得到三角

28、形全等的相關(guān)結(jié)論定理.若兩個三角形周長和面積都相等，并且有一個角對應(yīng)相等，則這兩個 三角形全等推論1.若兩個三角形周長和面積都相等，并且有一邊對應(yīng)相等則這兩個三 角形全等推論2.若兩個三角形有一角及其對邊對應(yīng)相等且周長相等，則這兩個三角 形全等.推論36.若兩個三角形有一角及其對邊對應(yīng)相等且面積相等，則這兩個三角 形全等.結(jié)論對于全等三角形的研究，實際是平面幾何中對封閉的兩個圖形關(guān)系研究的第一步.三角學(xué)全等公理也是研究線段和角相等的重要工具，它是兩個三角形間最簡單，最直接，最常見的關(guān)系.它為以后學(xué)習(xí)軸對稱圖形、中心對稱圖形、四邊形、多邊形、相似三角形等理論學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ) , 并且是證明線段相等、角相等以及兩線 互相垂直、平行的重要依據(jù) . 因此必須熟練地掌握全等三角形的判定方法（ ASA、 SAS、SSS、AAS、HL）, 并且要求學(xué)生靈活應(yīng)用 .因此在課堂教學(xué)設(shè)計中 , 盡量為學(xué) 生提供做中學(xué)的時空,不放過任何一個