兩角差的余弦公式-教學(xué)設(shè)計(jì)

1、兩角差的余弦公式一、設(shè)計(jì)理念1、教學(xué)內(nèi)容分析：本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修4（人教A版）第三章三角恒等變換，兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的第一課時(shí)，是在高一學(xué)生學(xué)習(xí)了三角、向量等知識(shí)之后，兩角差的余弦公式是對(duì)三角和向量數(shù)量積知識(shí)的一個(gè)應(yīng)用；同時(shí)，對(duì)于得到兩角和差的正弦、正切公式起著重要作用，對(duì)于在計(jì)算中的化簡(jiǎn)和實(shí)際中的運(yùn)用也十分必要；因而公式本身的應(yīng)用十分廣泛。作為一名沒(méi)有上過(guò)本節(jié)內(nèi)容的新教師，根據(jù)教學(xué)的設(shè)想，兩角差的余弦公式這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次教師根據(jù)所學(xué)的特殊的三角函數(shù)值提出問(wèn)題，設(shè)置懸念，激起學(xué)生對(duì)于的興趣；第二層次學(xué)生帶著質(zhì)疑和好奇心，在老師的指引

2、下，探索并利用“三角函數(shù)線(xiàn)”、“向量法”、“三角形全等法”證明得到兩角差的余弦公式：；第三層次運(yùn)用或逆用公式解決課本的例題和相應(yīng)的練習(xí)，體會(huì)公式的實(shí)用性。學(xué)生通過(guò)對(duì)兩角差的余弦公式的探索和證明過(guò)程，感受“提出問(wèn)題、質(zhì)疑探索得到結(jié)果的方法得到結(jié)果進(jìn)行應(yīng)用” 這一思維方法，養(yǎng)成善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。2、學(xué)情分析：對(duì)與高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，已學(xué)了三角函數(shù)、向量等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問(wèn)題的能力，對(duì)于兩角和差的余弦、正弦和正切公式有著濃厚的興趣；但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師通過(guò)設(shè)置懸念激起學(xué)生的興趣并進(jìn)行恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多

3、加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生參與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題并對(duì)得到的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)用。3、設(shè)計(jì)思想：建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，因此本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過(guò)程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境和懸念，以“”為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機(jī)會(huì)，通過(guò)生生互動(dòng)、師生互動(dòng)等形式，學(xué)生通過(guò)3種途徑得到。使得學(xué)生在知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：(1)經(jīng)歷兩角差的余弦公式的探索證明過(guò)程，掌握得到的方法，為建立其它和（差

4、）公式打好基礎(chǔ)；(2)熟練掌握兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)。2、過(guò)程與方法：(1)通過(guò)兩角差的余弦公式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，掌握在應(yīng)用中如何把要求三角函數(shù)值的角轉(zhuǎn)化為已知三角函數(shù)值的兩個(gè)角的和或差的方法，體會(huì)化歸、轉(zhuǎn)化這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)解決問(wèn)題過(guò)程中的作用；(2)使學(xué)生進(jìn)一步掌握用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)看問(wèn)題的方法，在解決問(wèn)題過(guò)程中，要注意前后知識(shí)的聯(lián)系。3、情感態(tài)度、價(jià)值觀：(1)通過(guò)對(duì)的探索，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力，同時(shí)樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的思想；(2)通過(guò)三角函數(shù)線(xiàn)、向量的數(shù)量積、三角形

5、全等等知識(shí)來(lái)獲得，體現(xiàn)事物之間普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。三、教學(xué)重、難點(diǎn)1、重點(diǎn)：兩角差的余弦公式得到、公式結(jié)構(gòu)的形式及其應(yīng)用。2、難點(diǎn)：兩角差的余弦公式得到的過(guò)程及如何說(shuō)明公式對(duì)于任意角也成立。3、重、難點(diǎn)突破：本節(jié)主要運(yùn)用啟發(fā)、引導(dǎo)法突破重、難點(diǎn)，在公式的探究過(guò)程中充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，并提供三種思路讓學(xué)生自主討論、探究，最后得到兩角差的余弦公式，并通過(guò)針對(duì)性的例題、練習(xí)鞏固得到的公式。四、教法學(xué)法1、教法指導(dǎo)：(1)啟發(fā)、引導(dǎo)法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。(2)生生、師生討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)

6、問(wèn)題，解決問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。(3)講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。2、學(xué)法指導(dǎo)：（1）通過(guò)所學(xué)的特殊三角函數(shù)值設(shè)置問(wèn)題，激起學(xué)生對(duì)于的興趣。（2）通過(guò)討論、提示，引導(dǎo)學(xué)生探索，在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見(jiàn)，把思路方法和需要解決的問(wèn)題弄清。（3）通過(guò)例題、練習(xí)鞏固公式：，為學(xué)生提供動(dòng)手的機(jī)會(huì)，充分體現(xiàn)課堂上以學(xué)生為主體基本原則。五、教學(xué)準(zhǔn)備制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器。六、教學(xué)過(guò)程1、設(shè)置問(wèn)題，導(dǎo)入新課：師：我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道，由此我們能否得到，請(qǐng)同學(xué)們拿起計(jì)算器算算，是不是等于呢？那么是否有？生：通過(guò)計(jì)算，

7、討論、舉反例，得出不成立。師：提出問(wèn)題: ,這節(jié)課我們就一起探討兩角差的余弦公式【設(shè)計(jì)意圖】從最簡(jiǎn)單（課本例1）出發(fā)，設(shè)置問(wèn)題，激起學(xué)生對(duì)于興趣和強(qiáng)烈的求知欲，從而輕易地把學(xué)生帶進(jìn)所要探索的內(nèi)容中。2、帶著疑問(wèn)，探索：方法一：（三角函數(shù)線(xiàn)）師：在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，等于角與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線(xiàn)來(lái)表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角和角？（注意：要與三角函數(shù)線(xiàn)聯(lián)系起來(lái).）生：討論、交流以及通過(guò)預(yù)習(xí)明確如何在單位圓中作圖。師：展示多媒體動(dòng)畫(huà)課件,引導(dǎo)學(xué)生如何作圖并板書(shū)過(guò)程。-CBAMPOXYP1師：根據(jù)上圖，提出問(wèn)題。生：在中，。師：那么OM可以

8、怎樣表示出來(lái)？ 生：OM=OB+BM。師：那么OB,BM又可以怎么表示？生：選取直角三角形，利用三角函數(shù)知識(shí)得到：故：師：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算。生：計(jì)算【設(shè)計(jì)意圖】利用學(xué)生熟悉的三角函數(shù)的知識(shí)啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生得到，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、動(dòng)手能力。方法二：（向量法）師：思考：我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)用向量的知識(shí)解決相關(guān)的幾何問(wèn)題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識(shí)來(lái)證明？生：討論、動(dòng)手畫(huà)圖，選取向量并演算。師：展示多媒體動(dòng)畫(huà)課件,引導(dǎo)學(xué)生得到。1-1yxoBA【設(shè)計(jì)意圖】利用向量法得到，體現(xiàn)了向量知識(shí)的應(yīng)用及在應(yīng)用過(guò)程中的簡(jiǎn)便，提醒學(xué)生要注意前后知識(shí)的聯(lián)系。師：思考（1）對(duì)于任意的，公式成不成立？為什么？生：思考，討論

9、。師：解析為什么。(1)當(dāng)是任意角時(shí)，總可以找到，使得；(2)當(dāng)時(shí)，則；(3)當(dāng)時(shí)，則，。故：對(duì)于任意的角，有思考（2）生：。師：這兩個(gè)公式有什么特點(diǎn)？生：討論并提出自己的見(jiàn)解。師：歸納特點(diǎn)：同名相乘，符號(hào)相反！方法三：（三角形全等）師：我們已經(jīng)用了兩種方法得到，那么同學(xué)們還有沒(méi)有其他的方法呢？生：思考。師：提示：利用三角形全等（如下圖），請(qǐng)同學(xué)們課后完成。BAOXY-CD（利用得：AC=BD,再利用兩點(diǎn)公式即可得到：，再用代替得到：）。【設(shè)計(jì)意圖】為學(xué)生提供多一種方法，而且第三種方法比較簡(jiǎn)單，使得學(xué)生在課后加深對(duì)兩角和、差的余弦公式的理解，鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索、創(chuàng)新。3、例題講解：例1利用和、差

10、角余弦公式求值.解：分析：把構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差。 例2已知，是第三象限角，求的值.解：因?yàn)?，由此得又因?yàn)槭堑谌笙藿牵运浴驹O(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生直觀地感受公式的應(yīng)用，并注意三角函數(shù)值的符號(hào)及書(shū)寫(xiě)格式。4、課堂練習(xí)：快速求值：(1)； (2)；(3)； (4)。課本練習(xí)：練習(xí)：1，2，3【設(shè)計(jì)意圖】用練習(xí)去鞏固所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生逐步形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。5、課堂小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，首先要認(rèn)識(shí)公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過(guò)程；熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過(guò)程中注意角、的象限，也就是符號(hào)問(wèn)題，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.6、課后作業(yè)： （1）練習(xí)4；（2

11、）A組2，3【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)是課堂的延續(xù)，除了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的理解程度，還在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本課知識(shí)的進(jìn)一步探究，讓學(xué)生在更大的深度與廣度之間進(jìn)行思考。七、板書(shū)設(shè)計(jì)4.課堂練習(xí)：（1）快速求值：（2）P127練習(xí)：1，2，35.課后作業(yè)：P127練習(xí)：4；P137A組2，3引入新課： 探索過(guò)程： （1）方法一：（2）方法二：（3）方法三：提示：3.例題講解：例1.例2.八、教學(xué)反思新課程改革綱要提出，要“改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流合作的能力”。特別是本節(jié)屬于公式教學(xué)，不是要求學(xué)生死記硬背地記住公式，而是要求學(xué)生明白公式怎么得來(lái)，進(jìn)而自然而然的記住公式