九年級寒假班第5講：長方體與三角形-學生版

1、長方體與三角形長方體與三角形知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)模塊一：模塊一：長方體的再認識知識精講知識精講長方體的元素及特征1、元素：長方體有六個面，八個頂點，十二條棱2、特征：（1）長方體的每個面都是長方形（2）長方體的十二條棱可以分為三組，每組中的四條棱的長度相等（3）長方體的六個面可以分為三組，每組中的兩個面的形狀和大小相同長方體的直觀圖畫法：斜二側(cè)畫法水平放置的長方體直觀圖通常畫法的基本步驟：第一步：畫平行四邊形ABCD，使AB等于長方體的長，AD等于長方體寬的二分之一，（如圖1所示）第二步：過AB分別畫AB的垂線AE、BF，過C、D分別畫CD的垂線CG、DH，使它們的長度都等于長方體的高（如圖2所示

2、）第三步：順次聯(lián)結(jié)E、F、G、H（如圖3所示）第四步：將被遮住的線段改用虛線（隱藏線）表示（如圖4所示）AABCDABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH圖1圖2圖3圖4圖4表示的長方體通常表示為ABCD-EFGH它的六個面通常表示為：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等它的十二條棱通常分別表示為：棱AB、棱AE、棱EF等長方體中棱與棱的位置關系如圖4所示的長方體ABCD-EFGH中：棱EH與棱EF所在的直線在同一平面內(nèi)，它們有唯一的公共點，我們稱這兩條棱相交棱EF與棱AB所在的直線在同一平面內(nèi)，但它們沒有公共點，我們稱這兩條棱平行棱EH與棱AB所在的直線既不平行，也不相交，我們

3、稱這兩條棱異面長方體中棱與平面的位置關系ABCDPQABCDPQ圖5圖6如圖ABCDPQABCDPQ圖5圖6如圖6，直線PQ平行于平面ABCD，記作：直線PQ/ 平面ABCD，讀作：直線PQ平行于平面ABCD如圖4所示的長方體ABCD-EFGH中：棱EF與面BCGF，棱FG與面ABFE，棱BF與面ABCD都給我們以直線與平面垂直的形象棱EF與面ABCD，棱BF與面ADHE，都給我們以直線與平面平行的形象長方體中平面與平面的位置關系如圖7，平面垂直于平面，記作平面平面，讀作平面垂直于平面如圖8，平面平行于平面，記作平面/平面，讀作平面平行于平面如圖4所示的長方體ABCD-EFGH中：面EFGH，

4、面ABFE與面BCGF三個面中，任意兩個都給我們以平面與平面垂直的形象面ABCD與面EFGH，面BCGF與面ADHE，面ABFE與面DCGH，都給我們以平面與平面平行的形象例題解析例題解析AABCDEFGH如圖，已知長方體ABCD-EFGH（1）哪些棱與AB平行？（2）哪些棱與AB垂直？（3）哪些棱與AB異面？ABCDEFGH如圖，已知長方體ABCD-EFGH，與平面ADHEABCDEFGH下列關于長方體的說法中正確的是( )A長方體中互相平行的棱不一定相等B長方體中12條棱的位置關系只有平行和相交C長方體中相對的兩個面一定平行D長方體中6個面的面積都相等關于長方體有下列三個結(jié)論：eq oac

5、(,1)長方體中每個面都是長方形；eq oac(,2)長方體中每兩個面都互相垂直；eq oac(,3)長方體中相對的兩個面是全等的長方形其中結(jié)論錯誤的個數(shù)是( )A0個B1個C2個D3個ABCDEFGH如圖，已知長方體ABCD-EFGH這個長方體中與棱HEABCDEFGH已知一個長方體的長、寬、高的比是3 : 2 : 1，它的所有棱長的和是72 cm，那么這個長方體的體積是_模塊模塊二：相交線與平行線知識精講知識精講鄰補角1、鄰補角的概念：兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角叫做互為鄰補角如圖，與有一條公共邊OD，它們的另一條邊OA、OB互為反向延長線，則與互為

6、鄰補角AADOB122、若與互為鄰補角，則3、互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角對頂角1、對頂角的概念：兩個角有公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，具有這種關系的兩個角叫做互為對頂角如圖，與有一個公共頂點O，并且的兩邊OB、OC分別與的兩邊OA、OD互為反向延長線，則與互為對頂角334ABCDO2、對頂角相等垂線1、垂線的概念：如果兩條直線的夾角為直角，那么就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足2、垂直的符號：記作：“”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”注：垂直是特殊的相交3、在平面內(nèi)，過直線上或

7、直的一點作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條簡單地說：過一點，有且僅有一條直線與已知直線垂直4、聯(lián)結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短5、點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離如果一個點在直線l上，那么就說這個點到直線l的距離為零同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角若直線a，b被直線l所截：（1）同位角：兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角如：和aabl12345678（2）內(nèi)錯角：兩個角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內(nèi)錯角如：和（3）同旁內(nèi)角：兩個角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之

8、間，具有這樣位置關系的一對角互為同旁內(nèi)角如和注意：三線八角是位置關系，數(shù)量上沒有確定的關系平行線1、平行線的定義：同一平面內(nèi)不想交的兩條直線叫做平行線“平行”用符號“/”表示2、經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行3、平行線的判定：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單地說，同位角相等，兩直線平行（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行簡單地說，內(nèi)錯角相等，兩直線平行（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行簡單地說，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行4、平行線的性質(zhì)：（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相

9、等；簡單地說：兩直線平行，同位角相等（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；簡單地說：兩直線平行，內(nèi)錯角相等（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補；簡單地說：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補相等（4）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行（5）兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條直線的距離都是一個定值，這個定值叫做這兩條平行線間的距離例題解析例題解析如圖，的鄰補角為_，的對頂角為_；在圖中，找出一對同位角，可以是_和_，找出一對同旁內(nèi)角，可以是_和_AABCDEF在同一平面中，如果直線，那么直線a與c的位置關系是_；如果直線a / b，那么直線b與c的位置關系是

10、_ABCDEF如圖，已知AB / CD，BF與CD相交于點E，如果ABCDEF下列說法正確的是( )A直線外一點到這條直線的距離是這點到這條直線的垂線段B同位角相等C如果兩個角互補，那么這兩個角是鄰補角D過一點有且只有一條直線垂直于已知直線已知直線/，直線分別與直線、直線相交；點A在直線上，點B在直線上，點A、B在直線的同側(cè)；點C在直線上，且點C不在與上設直線AC與所夾的銳角為，直線BC與所夾的銳角為試問、之間有怎樣的數(shù)量關系？證明你的結(jié)論模塊模塊三：三角形知識精講知識精講三角形的邊與角1、三角形的三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊2、三角形的高、中線、角平分線：在

11、三角形中，從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高；聯(lián)結(jié)三角形一個頂點及其對邊中點的線段叫做三角形的中線；三角形一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線3、三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和等于180一個三角形的三個內(nèi)角中最多有一個鈍角或直角4、三角形的外角：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；（2）三角形的外角和定義：對于三角形的每個內(nèi)角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的三個外角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于3605、三角形的分類三角形（按角分）；三角形（按邊分）全等三角形1、

12、全等形的概念：能夠重合的兩個圖形叫做全等形2、全等三角形的性質(zhì)和判定方法：一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應相等（HL）性質(zhì)對應邊相等，對應角相等對應中線相等，對應高相等，對應角平分線相等注：判定兩個三角形全等必須有一組邊對應相等；全等三角形面積相等3、證明題的思路：等腰三角形1、等腰三角形的兩個底角相等，簡稱：等邊對等角2、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊的高互相重合，簡稱：等腰三角形三線合一3、等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的角平分線所在的直線4、等腰三角形的判定：如果一個

13、三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，這個三角形是等腰三角形簡稱：等角對等邊直角三角形1、直角三角形全等的判定：斜邊與一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）2、直角三角形的性質(zhì)：（1）兩個定理定理1：直角三角形的兩個銳角互余；定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）兩個推論推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于303、勾股定理（1）如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（2）勾股定理逆定

14、理：如果三角形的三邊滿足，那么三角形是直角三角形例題解析例題解析（2014學年楊浦區(qū)二模第4題）下列命題中，真命題是( )A周長相等的銳角三角形都全等B周長相等的直角三角形都全等C周長相等的鈍角三角形都全等D周長相等的等腰直角三角形都全等（2015學年閘北區(qū)二模第5題）如圖，已知，則不一定能使的條件是( )CDABABCDCDAB（2015學年徐匯區(qū)二模第6題）下列命題中假命題是( )A兩邊及第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等B兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等C兩邊及它們的夾角對應相等的兩個三角形全等D兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等（2014學年靜安區(qū)、青浦區(qū)二模

15、第6題）三角形的內(nèi)心是( )A三邊垂直平分線的交點B三條角平分線的交點C三條高所在直線的交點D三條中線的交點（2015學年靜安區(qū)二模第15題）在中，、的平分線相交于點E，那么的度數(shù)是_（2014學年靜安區(qū)、青浦區(qū)二模第13題）如圖，在中，AB = 2AC，點E在中線CD上，BE平分，那么的度數(shù)是_AABCDE（2014學年徐匯區(qū)二模第4題）如圖，已知中，CH、CM分別是斜邊AB上的高和中線，則下列結(jié)論不正確的是( )ABABCMHCABCMH（2014學年徐匯區(qū)二模第16題）如圖，DE為的中位線，點F在DE上，且為直角，若AB= 8，BC= 10，則EF的長為_BBAEFCD如圖，網(wǎng)格中小正方

16、形的邊長均為1，的三個頂點在格點上ABC求證：是等腰直角三角形ABCABCD如圖，已知中，AD平分，交邊BC于點D，AB = 10，ABCDAC = 6，求點D到邊AB的距離ABCDEP如圖，等邊三角形ABC的兩條角平分線BD、CE相交于點P，BP = 10 ABCDEPABCEFD（2014學年崇明縣區(qū)二模第15題）如圖，已知和均為等邊三角形，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，如果AB = 9，BD = 3，那么CFABCEFD（2014學年虹口區(qū)二模第14題）在中，點G是的重心，如果CG = 6，那么斜邊AB的長等于_如果等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，那么這個三角形的頂角的度數(shù)為_

17、（2015學年寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模第21題）如圖，在中，按以下步驟作圖：分別以A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，相交于兩點M，N；聯(lián)結(jié)MN，直線MN交的邊AC于點D，聯(lián)結(jié)BD如果此時測得，BC=CD求與的度數(shù)已知中，AC = 4，BC = 3以的邊AC為一邊的等腰三角形，它的第三個頂點D在的斜邊AB上，求這個等腰三角形的周長已知中，AB = AC，D為BC的中點（1）如圖，E、F分別是AB、AC上的點，且BE = AF，求證：是等腰直角三角形（2）如果E、F分別是AB和CA的延長線上的點，且BE = AF，那么是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論AABCDEF如圖，在形外作等腰和等腰，使，作于H

18、，延長HA，交DE于M，求證：DM = MEAABCDEMH如圖，在菱形ABCD中，M、N分別為BC、CD上的點，求證：若有一個內(nèi)角等于60，則是正三角形AABCDNM隨堂檢測隨堂檢測（2015學年奉賢區(qū)二模第5題）下列說法中，正確的是( )A關于某條直線對稱的兩個三角形一定全等B兩個全等三角形一定關于某條直線對稱C面積相等的兩個三角形一定關于某條直線之間對稱DCBADCBA（2014學年長寧區(qū)、金山區(qū)二模第7題）如圖，已知AD是的邊BC上的高，下列能使的條件是( )ABCD畫一個長、寬、高分別為3 cm、2 cm、2.5 cm的長方體的直觀圖AABCDEP如圖，已知等邊三角形ABC中，點D在

19、邊AB上，點E在邊BC上，AD = BE，那么_（2015學年崇明縣二模第14題）如圖，在已知的中，DNDNABCM分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；作直線MN交AB于點D，連接CD若，則的度數(shù)為_AABCI已知中，和兩角的平分線相交于點I，求的度數(shù)已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC BA，AD = DC，BD平分ABCDABCDABCD已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD = DC，BC = 2ABCD求證：點D在的角平分線上已知，在中，AB = AC，點P在直線BC上，PDAB于點D，PEAC于點E，BH是的高（1）當點P在邊BC上時（如圖），求證：；ABCDEPH（2）當點P在邊BC的延長線上時，試探索PDABCDEPHABCDEFG（2014學年徐匯區(qū)二模第23題）如圖，已知在正方形ABCD中，點E在CD邊上，過C點作AE的垂線交于點F，聯(lián)結(jié)DF，過