(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點復(fù)習(xí)講義第14講《導(dǎo)數(shù)的概念及運算》（解析版）

1、第14講 導(dǎo)數(shù)的概念及運算思維導(dǎo)圖知識梳理1導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)一般地，稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率eqo(lim,sdo4(x0)eq o(lim,sdo5(x0)eq f(f（x0 x）f（x0）,x)eq o(lim,sdo5(x0)eqo(lim,sdo4(x0)eq f(y,x)為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0)eq o(lim,sdo5(x0)eqo(lim,sdo4(x0)eq f(y,x)eqo(lim,sdo4(x0)eq o(lim,sdo5(x0)eq f(f（x0 x）f（x0）,x)(2)導(dǎo)數(shù)

2、的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0)(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x)eqo(lim,sdo4(x0)eq o(lim,sdo5(x0)eq f(f（xx）f（x）,x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x

3、)exf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)eq f(1,xln a)f(x)ln x (x0)f(x)eq f(1,x)3.導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)eq blcrc(avs4alco1(f(f（x）,g（x）)eq f(f（x）g（x）f（x）g（x）,g（x）2)(g(x)0)4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積題型歸納題型1 導(dǎo)數(shù)的運算【例1-1】（2020春房山區(qū)期末）已知函數(shù)

4、 SKIPIF 1 0 ，則它的導(dǎo)函數(shù) SKIPIF 1 0 等于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)題意，有導(dǎo)數(shù)的計算公式可得數(shù) SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，化簡變形即可得答案【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù) SKIPIF 1 0 ，其導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；故選： SKIPIF 1 0 【例1-2】（2020春南陽期末）已知：函數(shù) SKIPIF 1 0 ，其導(dǎo)函數(shù) S

5、KIPIF 1 0 若函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)函數(shù) SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B1C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】求出函數(shù) SKIPIF 1 0 的解析式，計算 SKIPIF 1 0 的值即可【解答】解：由題意設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，符合題意，故 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練1-

6、1】（2020新課標）設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù) SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，求得 SKIPIF 1 0 的值【解答】解： SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，故答案為：1【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春金鳳區(qū)校級期末）已知 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0

7、，則 SKIPIF 1 0 （1）的值為【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，變形解可得 SKIPIF 1 0 （1）的值【解答】解：根據(jù)題意， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，其導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，故答案為： SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】1

8、求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo)2常見形式及具體求導(dǎo)6種方法連乘形式先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)分式形式先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)根式形式先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)對數(shù)形式先化為和、差形式，再求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元題型2 求切線方程【例2-1】（2020春藍田縣期末）曲線 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1

9、0 【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在 SKIPIF 1 0 處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案【解答】解：由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 曲線 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例2-2】已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為_【解析】因為點(0，1)不在曲線f(x)xln x上，所以設(shè)切點為(x0，y0)又因為f(x)1ln x，所以直線l的方程為y

10、1(1ln x0)x.所以由eq blc(avs4alco1(y0 x0ln x0，,y01（1ln x0）x0，)解得x01，y00.所以直線l的方程為yx1，即xy10.【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020海東市模擬）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，則曲線 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的切線的方程為 【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在 SKIPIF 1 0 處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案【解答】解：由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則曲線 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的切線的方程為 SKIP

11、IF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-2】(2020江西吉安一模)過點P(1,1)且與曲線yx3相切的直線的條數(shù)為()A0B1C2 D3【解析】當(dāng)點P為切點時，y3x2，y|x13，則曲線yx3在點P處的切線方程為y13(x1)，即3xy20.當(dāng)點P不是切點時，設(shè)直線與曲線切于點(x0，y0)(x01)，則keq f(y01,x01)eq f(xoal(3,0)1,x01)xeq oal(2,0)x01.y3x2，y|xx03xeq oal(2,0)，2xeq oal(2,0)x010，x01(舍)或x0eq f(1,2)，過點P(1,1)與曲線yx3相切的直線方程為3

12、x4y10.綜上，過點P的切線有2條，故選C.【名師指導(dǎo)】求曲線過點P的切線方程的方法(1)當(dāng)點P(x0，y0)是切點時，切線方程為yy0f(x0)(xx0)(2)當(dāng)點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點坐標P(x1，f(x1)；第二步：寫出過點P(x1，f(x1)的切線方程yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得過點P(x0，y0)的切線方程題型3 求切點坐標【例3-1】（2020春大興區(qū)期末）過點 SKIPIF 1 0 作曲線 SKIPIF 1 0 的切

13、線，則切點坐標為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】設(shè)切點的坐標為 SKIPIF 1 0 ，求得函數(shù) SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再由兩點的斜率公式，解方程可得切點【解答】解：設(shè)切點的坐標為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)為 SKIPIF 1 0 ，可得切線的斜率為 SKIPIF 1 0 ，又切線過 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，則切點為 SKIPIF 1 0 故

14、選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020沈陽三模）過點 SKIPIF 1 0 作曲線 SKIPIF 1 0 的切線，則切點坐標為 【分析】由已知結(jié)合直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解【解答】解：因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，設(shè)切點為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即切點坐標 SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】求切點坐標的思路已知切線方程(或斜率)求切點的一般

15、思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標題型4 由曲線的切線（斜率）求參數(shù)取值范圍【例4-1】（2020春海淀區(qū)校級期末）曲線 SKIPIF 1 0 在點 SKIPIF 1 0 處的切線斜率為8，則實數(shù) SKIPIF 1 0 的值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B6C12D SKIPIF 1 0 【分析】求得 SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，解方程可得 SKIPIF 1 0 的值【解答】解： SKIPIF 1 0 的導(dǎo)數(shù)為 SKIPIF 1 0 ，可得在點

16、 SKIPIF 1 0 處的切線斜率為 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例4-2】（2020春渭濱區(qū)期末）函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象存在與直線 SKIPIF 1 0 平行的切線，則實數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】易知切

17、線斜率為1，由題意可知，只需 SKIPIF 1 0 的值域中含有1即可由此構(gòu)造 SKIPIF 1 0 的不等式，解出 SKIPIF 1 0 的范圍【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由題意，只需 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 有解，則只需 SKIPIF 1 0 的值域中包含1即可當(dāng) SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，顯然不符合題意；當(dāng) SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 的開口向下，在對稱軸 SKIPIF 1 0 處取得最大值，故 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 0 得， S

18、KIPIF 1 0 即為所求故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練4-1】（2020春未央?yún)^(qū)校級期末）直線 SKIPIF 1 0 與曲線 SKIPIF 1 0 相切，則 SKIPIF 1 0 的值為【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)直線 SKIPIF 1 0 與曲線 SKIPIF 1 0 相切于 SKIPIF 1 0 ，得到函數(shù)在 SKIPIF 1 0 處的導(dǎo)數(shù)，再由題意列關(guān)于 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的方程組求解【解答】解：由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，設(shè)直線 SKIPIF 1 0 與曲線 SKIPIF 1 0 相切于 SKIPIF 1 0 ，

19、則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的值為2故答案為：2【名師指導(dǎo)】1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍2求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；(2)謹記切點既在切線上又在曲線上題型5 兩曲線的公切線問題【例5-1】（2020上饒三模）已知 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 有相同的公切線 SKIPIF 1 0 ，設(shè)直線 SKIPIF 1 0

20、 與 SKIPIF 1 0 軸交于點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1B0C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】分別設(shè)出切點，然后利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，再利用是公切線，列出方程，求出切點，問題即可獲解【解答】解：對于 SKIPIF 1 0 ，設(shè)切點為 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 故切線方程為： SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ；對于 SKIPIF 1 0 ，設(shè)切點為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

21、 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故切線為： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 根據(jù)為公切線得： SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故切線為 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練5-1】（2020遂寧模擬）若存在 SKIPIF 1 0 ，使得函數(shù) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 在這兩函數(shù)圖象的公共點處的切線相同，則 SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0