專升本高等數(shù)學(xué)(一)-多元函數(shù)微積分學(xué)(一)

1、專升本高等數(shù)學(xué)（一）-多元函數(shù)微積分學(xué)（一）（總分：93.00，做題時間：90分鐘）填空項(xiàng)1：（正確答案：x0,y0.）解析：2.求下列函數(shù)的定義域.u=ln（x2-y-1）.（分?jǐn)?shù)：1.00）填空項(xiàng)1：（正確答案：yX2-l）填空項(xiàng)1：（正確答案：xO,y三1,X2+1三y.）填空項(xiàng)1：（正確答案：r2x2+y2WR2.）填空項(xiàng)1：（正確答案：*）填空項(xiàng)1：（正確答案：-2,先求出f（x,y）=x-*）填空項(xiàng)1：（正確答案：*）填空項(xiàng)1:（正確答案：*）填空項(xiàng)1:（正確答案：*）解析：11.函數(shù)z=ln(l+x2-y2)的全微分dz=1.分?jǐn)?shù)：1.00）填空項(xiàng)1:填空項(xiàng)1:（正確答案：*）填

2、空項(xiàng)1:（正確答案：*）解析：14.若積分區(qū)域D是由x=0，x=1填空項(xiàng)1:（正確答案：*）解析：14.若積分區(qū)域D是由x=0，x=1y=0，y=1圍成的矩形區(qū)域，則1分?jǐn)?shù)：1.00）填空項(xiàng)1:（正確答案：*）填空項(xiàng)1:（正確答案：*）填空項(xiàng)1：（正確答案：-2dx+2dy）填空項(xiàng)1：（正確答案：n）解析：17.平面上一塊半徑為2的圓形薄板，其密度函數(shù)為1，則這塊薄板的質(zhì)量為1.分?jǐn)?shù)：1.00）填空項(xiàng)1：（正確答案：4n.）解析：正確答案：（2xex2+y，ex2+y；）解析：(2).分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*；)解析：.z=ln(lnx+lny)；(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*；)解析

3、：(4).分?jǐn)?shù)：1.00)(4).分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*；)解析：(5).z=sin(x+2y)+2xy；(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(cos(x+2y)+2y，2cos(x+2y)+2x；)解析：(6).z=(xy)(其中p為非零常數(shù))(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(py(xy)p-i,px(xy)-i.)解析：求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(分?jǐn)?shù)：9.00).z=sinxy；(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*)解析：.z=ln(x2+xy+y2).(分?jǐn)?shù):1.00)正確答案：(*)正確答案：(*)正確答案：(*)正確答案：(*)正確答案：(*=(2xy-y2)cosv+(x2-2xy)sin

4、v=3u2sinvcosv(cosv-sinv).同樣地，有*)解析：(5).設(shè)z=arctanxy,y=e(5).設(shè)z=arctanxy,y=ex,求分?jǐn)?shù)：1.00).(分?jǐn)?shù)：1.00).(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*.(注意：在本題中，*不同于*.)解析：,x=u-2v,y=2u+v,x=u-2v,y=2u+v,求(6).設(shè)正確答案：(*)正確答案：(*)解析：(8).設(shè)z=f(x2+y2,exy)，其中f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：(設(shè)z=f(u,v),u=X2+y2,v=exy,則由復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則得*)正確答案：(因?yàn)?,其中申有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，令u=xy，所以有*,*，將之

5、代入*即可證得)正確答案：(*)正確答案：(*)正確答案：(*)解析：(2).分?jǐn)?shù)：1.00)(2).分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*)解析：.設(shè)z=arctan(xy)+2x2+y，求dz.(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*)解析：求下列各函數(shù)的全微分dz：(分?jǐn)?shù)：ii.oo)I&去|(1).分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*)解析：(2).z=ln(3x-2y+3)；(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*；)解析：(3).Z=exy(x2+y2);(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(令u=xy，v=x2+y2，dz=exy(x2+y2)(3x2y+y3)dx+(3y2x+x3)dy；)解析：.z=arctan

6、xy；(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*)解析：.z=xe-xy+sin(xy)；(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(dz=e-xy(1-xy)+ycos(xy)dx+-x2e-xy+xcos(xy)dy；)解析：.z=sin(x+y)-X2+y2.(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(dz=cos(x+y)-2zdx+cos(x+y)+2ydy)解析：，求(7).設(shè)分?jǐn)?shù)：1.00)解析：，求(7).設(shè)分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*)解析：(8).設(shè)z=f(2x+3y,exy)，其中f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz.(分?jǐn)?shù):1.00)正確答案：(今u=2x+3y,u=exy,*)解析：(9).設(shè)z=z(x，y

7、)是由方程yz+x2+z=0確定，求dz.(分?jǐn)?shù)：1.00)正確答案：(*,當(dāng)x=1,*時，由原方程得z=1或z=3.當(dāng)z=1時，當(dāng)z=3時，*當(dāng)*,y=0時，由原方程得z=1或z=3.當(dāng)z=1時，當(dāng)z=3時，*(3)當(dāng)x=0,*時，由原方程得z=1或z=3.當(dāng)z=1時，當(dāng)z=3時，*)解析：(11).設(shè)z=f(x,y)由方程cos2x+cos2y=1+cos2z所確定，求dz.(分?jǐn)?shù):1.00)正確答案：(令F(x，y，z)=cos2x+cos2y-cos2z-1，*.)解析：求下列函數(shù)的極值與極值點(diǎn)(分?jǐn)?shù)：4.50).f(x,y)=4x+2y-X2-y2；(分?jǐn)?shù)：1.50)正確答案：(極大

8、值點(diǎn)為(2,1),極大值f(2,1)=5；)解析：.f(x,y)=e2x(x+y2+2y)；(分?jǐn)?shù)：1.50)正確答案：(極小值點(diǎn)為(*,-1),極小值*；)解析：.f(x,y)=y3-x2+6xT2y+5.(分?jǐn)?shù):1.50)正確答案：(極大值點(diǎn)為(3,-2)，極大值f(3,-2)=30.)解析：求下列條件極值.(分?jǐn)?shù)：15.00)(1).做一個體積為V的無蓋的圓柱形桶，試問當(dāng)桶的高和底面半徑各是多少時，可使圓桶所用的材料最省.(分?jǐn)?shù)：1.50)正確答案：(設(shè)圓桶的高為h,底面半徑為r,則桶的表面積為S=nr2+2nrh,體積V=nr2h,要求所用的材料最省，就是求表面積的最小值，且滿足V=n

9、r2h.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(r,h,入)=nr?+2nrh+入(nnh-V)可解得*.)解析：(2).設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量Q與所用兩種原料A,B的數(shù)量x,y間有關(guān)系式Q=Q(x,y)=0.005x2y,欲用150元購買原料，已知A,B原料的單價分別為1元，2元，問購進(jìn)兩種原料各多少時，可使生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量最多?(分?jǐn)?shù)：1.50)正確答案：(設(shè)購買兩種原料分別為x,y,則問題化為條件極值問題：求Q=0.005x2y在條件x+2y=150下的條件極值.可解得x=100,y=25.)解析：(3).計算二重積分其中D是由直線y=-1,y=1,x=1及x=2圍成的平面區(qū)域.(分?jǐn)?shù)：1.50)解析：(3).

10、計算二重積分其中D是由直線y=-1,y=1,x=1及x=2圍成的平面區(qū)域.(分?jǐn)?shù)：1.50)正確答案：(3)解析：(4).計算二重積分其中D是由曲線y=x2及y=x所圍成的平面區(qū)域(分?jǐn)?shù)：1.50)正確答案：(*.或*.)解析：(5).其中D是由直線y=x,y=1及y軸所圍成的平面區(qū)域.(分?jǐn)?shù)：1.50)正確答案：(*.或*)解析：(6).其中D(6).其中D是由直線x=2,y=x及雙曲線xy=1所圍成的平面區(qū)域(分?jǐn)?shù)：1.50)正確答案：(*)正確答案：(*)解析：Inpnniijl(8).，其中D是由直線y=x,y=2x,x=2,x=4所圍成的平面區(qū)域.(分?jǐn)?shù)：1.50)(8).正確答案：

11、(*)(9).求解析：(9).求，其中D是由直線y=x,y軸，y=1所圍成的平面區(qū)域.(分?jǐn)?shù)：1.50)正確答案：(*說明如果將此題化為先對y積分后對x積分，其計算量較大正確答案：(*說明如果將此題化為先對y積分后對x積分，其計算量較大)正確答案：(*或*)解析：正確答案：(*)正確答案：(*)正確答案：(*)解析：試將下列直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分(分?jǐn)?shù)：3.00)分?jǐn)?shù)：1.50)(1).正確答案：(*)分?jǐn)?shù)：1.50)(1).正確答案：(*)正確答案：(*說明首先根據(jù)給定的二次積分先畫出積分區(qū)域，再將積分區(qū)域用極坐標(biāo)表示出來.(1)的積分區(qū)域是半徑為R,圓心為（R,0）

12、的x軸上方的半圓，用極坐標(biāo)表示為OWeW*,0WrW2RcosB；的積分區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心半徑為R的在第一象限內(nèi)的*圓）解析：分?jǐn)?shù)：18.00）分?jǐn)?shù)：18.00）（1）.，其中D為X2+y2Wa2,x0,y三0所圍成的區(qū)域；（分?jǐn)?shù)：1.50）正確答案：（*）解析:(2).，其中D為X2+y2Wl,x0所圍成的區(qū)域；（分?jǐn)?shù)：1.50）(2).正確答案：（*）解析：(3).其中正確答案：（*）解析：(3).其中D為X2+y2W4,X2+y2三l,yWx,y三0所圍成的區(qū)域；（分?jǐn)?shù)：1.50）正確答案：（*）解析：(4).，其中D為由X2+y2WR2,x0,y三0所圍成的區(qū)域；（分?jǐn)?shù)：1.50）正確

13、答案：（積分區(qū)域D的極坐標(biāo)表達(dá)式為0W6W*,0WrWR，于是*；）解析：(4).（5）.，其中D為以X2+y2=2x為邊界的上半圓域.（分?jǐn)?shù)：1.50）正確答案：（*）正確答案：（*）正確答案：（由二重積分的幾何意義知，*,其中積分區(qū)域?yàn)閄軸、y軸以及直線*所圍成的平面區(qū)域,于是*）解析：（7）.利用二重積分求由曲線y=X2與y2=X所圍成的面積.（分?jǐn)?shù)：1.50）正確答案：（由二重積分的性質(zhì)3知*,其中積分區(qū)域?yàn)榍€y=X2與y2=X所圍成的平面圖形，于是*）解析：（8）.求由柱面X2+y2=a2，z=0及平面X+y+z=a所圍成的立體的體積.（分?jǐn)?shù)：1.50）正確答案：（由二重積分的幾何意義知*.其中D：X2+y2Wa2，利用極坐標(biāo)系可得*）解析：（9）.設(shè)有平面三角形薄片，其邊界線可由方程x=0，y=X及y=1表示，薄片上的點(diǎn)