第四章拉普拉斯變換連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析課件

1、第四章 拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析 頻域分析以虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t,u (t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復頻域來解決這些問題。 本章引入復頻率 s = +j,以復指數(shù)函數(shù)est為基本信號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復頻率 s ，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學工具為拉普拉斯變換。第四章 拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析 4.1 引言

2、以傅里葉變換為基礎的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義 ，但也有不足之處，傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號，而有些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析受到限制；另外在求時域響應時運用傅里葉反變換對頻率進行的無窮積分求解困難。4.1 引言以傅里葉變換為基礎的頻域分析方法的優(yōu)點在于：為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，第三章中引入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時，還可利用本章要討論的拉氏變換法擴大信號變換的范圍。優(yōu)點：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入，因此應用更為普遍。缺點：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。為了解決對不符合狄氏

3、條件信號的分析，第三章中引入了廣義函數(shù)理本章內(nèi)容及學習方法 本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進行討論。 本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進行復頻域分析。 最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點概念，并根據(jù)他們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應，還要簡略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。 注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。 本章內(nèi)容及學習方法 本章首先由傅氏變換引出拉氏變拉氏變換方法是求解常系數(shù)線性方程的工具。其特點表現(xiàn)在：求解的步驟得到簡化，同時可以給出微分方程的特解和齊次解，且初始條件自動地包含在變換式里。拉氏變換分別將“微分”與“積分”運算轉(zhuǎn)換為“乘法”和“

4、除法”運算，也即把積分微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。指數(shù)函數(shù)，超越函數(shù)以及有不連續(xù)點的函數(shù)，經(jīng)拉氏變換可轉(zhuǎn)換為簡單的初等函數(shù)。拉氏變換的時域中兩函數(shù)的卷積運算轉(zhuǎn)換為變換域的乘法運算。利用系統(tǒng)函數(shù)的零點，極點分布可以簡明直觀的表達系統(tǒng)性能的許多規(guī)律。拉氏變換方法是求解常系數(shù)線性方程的工具。其特點表現(xiàn)在： 4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域從傅里葉變換到拉普拉斯變換從算子符號法的概念說明拉式變換的定義拉氏變換的收斂一些常用函數(shù)的拉氏變換 4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域從傅里葉變換到拉普拉斯一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。則一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換有

5、些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求2拉氏逆變換2拉氏逆變換定義雙邊拉普拉斯變換對F(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。 定義雙邊拉普拉斯變換對F(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為坐標原點。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為坐標原點。這樣單邊拉氏變換簡記為F(s)= f(t) f(t)=-1F(s) 或 f(t) F(s)單邊拉氏變換簡記為F(s)= f(t)三、拉式變換的收斂域 只有選擇適當?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號f(t)的單

6、邊拉普拉斯變換存在。 使 f(t)拉氏變換存在的取值范圍稱為F(s)的收斂域。 下面舉例說明F(s)收斂域的問題。三、拉式變換的收斂域 只有選擇適當?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，例 因果信號f1(t)= et u(t) ，求拉氏變換。解 可見，對于因果信號，僅當Res=時，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界例 因果信號f1(t)= et u(t) ，求拉氏變換。解例 反因果信號f2(t)= etu(-t) ，求拉氏變換。解 可見，對于反因果信號，僅當Res=時，其收斂域為 Res 2Res= 3 3 02、指數(shù)函數(shù)e-at -acos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t

7、= (ej0t e-j0t )/2j 四、一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換1、u(t)或1 1/s 3、n是正整數(shù)時，tn3、n是正整數(shù)時，tn5、周期信號fT(t) 特例：T(t) 1/(1 e-sT) 4、沖激函數(shù)：(t) 15、周期信號fT(t) 特例：T(t) 1/(1 4.3 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性 原函數(shù)微分原函數(shù)積分延時（時域平移）s域平移 尺度變換初值終值卷積對s域微分對s域積分 4.3 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性 一線性已知則同理例題：一線性已知則同理例題：二原函數(shù)微分推廣：證明：二原函數(shù)微分推廣：證明：電感元件的s域模型應用原函數(shù)微分性質(zhì)設電感元件的s域模型應用原函數(shù)微分性質(zhì)

8、設三原函數(shù)的積分證明：三原函數(shù)的積分證明：電容元件的s域模型電容元件的s域模型四延時（時域平移）證明：四延時（時域平移）證明：例題已知例題4-3-2例題已知例題4-3-2五s域平移證明：五s域平移證明：例例六尺度變換時移和尺度變換都有時:證明：六尺度變換時移和尺度變換都有時:證明：七初值七初值初值定理證明由原函數(shù)微分定理可知初值定理證明由原函數(shù)微分定理可知第四章拉普拉斯變換連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析課件例 即單位階躍信號的初始值為1。例例 即單位階躍信號的初始值為1。例終值存在的條件:八終值例如終值存在的條件:八終值例如證明：根據(jù)初值定理證明時得到的公式證明：根據(jù)初值定理證明時得到的公式九卷積時域

9、卷積定理頻域卷積定理九卷積時域卷積定理頻域卷積定理證明：交換積分次序證明：交換積分次序十對s微分十對s微分十一對s積分兩邊對s積分：交換積分次序:證明：十一對s積分兩邊對s積分：交換積分次序:證明： 4.4 拉普拉斯逆變換部分分式分解法求拉氏逆變換用留數(shù)定理求逆變換 4.4 拉普拉斯逆變換部分分式分解法求拉氏逆變換一部分分式分解ai,bi為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點極點一部分分式分解ai,bi為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點極根據(jù)極點的不同，分為三種情況1.第一種情況：單階實數(shù)極點2. 第二種情況：極點為共軛復數(shù)3.第三種情況：有重根存在根據(jù)極點的不同，分為三種情況1.第一種情況：單階實數(shù)

10、極點2第一種情況：單階實數(shù)極點(1)找極點(2)展成部分分式求系數(shù)第一種情況：單階實數(shù)極點(1)找極點(2)展成部分分式求系數(shù)如何求系數(shù)k1, k2, k3？如何求系數(shù)k1, k2, k3？(3)逆變換(3)逆變換第二種情況：極點為共軛復數(shù)共軛極點出現(xiàn)在第二種情況：極點為共軛復數(shù)共軛極點出現(xiàn)在求f(t)求f(t)例4-10例4-10F(s)具有共軛極點，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s) 的逆變換f(t)：解：求得例4-11F(s)具有共軛極點，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)3. 第三種情況：有重根存在如何求k2 ?3. 第三種情況：有重根存在如何求k2 ?如何求k2?設法使部分分

11、式只保留k2，其他分式為0如何求k2?設法使部分分式只保留k2，其他分式為0逆變換逆變換一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式 一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式 F(s)兩種特殊情況非真分式 化為真分式多項式F(s)兩種特殊情況非真分式 化為真分式多項式1.非真分式真分式多項式作長除法1.非真分式真分式多項式作長除法2.含e-s的非有理式2.含e-s的非有理式二. 用留數(shù)定理求逆變換（圍線積分法）拉普拉斯逆變換表達式01j應用留數(shù)定理設極點s=pi處的留數(shù)為ri，并設F(s)est在圍線內(nèi)共有n個極點，則二. 用留數(shù)定理求逆變換（圍線積分法）拉普拉斯逆

12、變換表達式0若pi為一階極點，則若pi為k階極點，則若pi為一階極點，則若pi為k階極點，則4.5. 用拉氏變換法分析電路、s域元件模型列s域方程（可以從兩方面入手） 列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換； 直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時域解答。4.5. 用拉氏變換法分析電路、s域元件模型列s域方程（可例4-13例4-13（4）求反變換（4）求反變換求采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)兩種方法結(jié)果一致。使用0-系統(tǒng)使分析各過程簡化。求采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)兩種方法結(jié)果一致。(3)對微分方程兩邊取拉氏變換 采用0-系統(tǒng)(3)對微分方程兩邊取拉氏變換 采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)(

13、4)原方程取拉氏變換采用0+系統(tǒng)(4)原方程取拉氏變換例4-14(1)(2)(3) 列方程解：例4-14(1)(2)(3) 列方程解：極點故 極點故 逆變換設則波形逆變換設則波形第一種情況：階躍信號對回路作用的結(jié)果產(chǎn)生不衰減的正弦振蕩。 第二種情況：引入符號所以第一種情況：階躍信號對回路作用的結(jié)果產(chǎn)生不衰減的正弦振蕩。 第三種情況：第四種情況：第三種情況：第四種情況：波形波形利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型 電阻元件的s域模型利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型 電阻元件電感元件的s域模型利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的s域模型： 電感元件的s域模型利用電源轉(zhuǎn)換可以

14、得到電流源形式的s域模型電容元件的s域模型電流源形式：電容元件的s域模型電流源形式：線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。列寫節(jié)點方程時，使用電流源方式列寫回路方程時，使用電壓源方式3.求響應的步驟 把網(wǎng)絡中的每個元件都用它的s域模型代替；把信號源直接寫出變換式；對電路模型采用KVL和KCL分析；找到所需求解的變換式，解s域方程拉氏反變換求v(t)或i(t)。2.電路定理的推廣 線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。3.求響應的步驟 把網(wǎng)絡中例4-15列s域方程:例4-15列s域方程:結(jié)果同例4-13結(jié)果同例4-131.定義4.6 系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡函數(shù))H(s)系統(tǒng)零狀態(tài)響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比 1.定義4.6 系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡函數(shù))H(s)系統(tǒng)零狀態(tài)響應2.H(s)的幾種情況策動點函數(shù)：激勵與響應在同一端口時策動點導納策動點阻抗轉(zhuǎn)移導納轉(zhuǎn)移阻抗電壓比電流比轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵和響應不在同一端口2.H(s)的幾種情況策動點函數(shù)：激勵與響應在同一端口時策動4.應用：求系統(tǒng)的響應3求H(s)的方法利用網(wǎng)絡的s域元件模型圖，列s域方程微分方程兩端取拉氏變換4.應用：求系統(tǒng)的響應3求H(s)的方法利用網(wǎng)絡的s域元件例題(1)(2)(3) 列方程解：如圖電