典型例題：平行與垂直關(guān)系的向量證法

1、PAGE7平行與垂直關(guān)系的向量證法知識點(diǎn)一求平面的法向量已知平面經(jīng)過三點(diǎn)A1,2,3，B2,0，1，C3，2，0，試求平面的一個法向量解A1,2,3，B2,0，1，C3，2,0，1，2，4，eqoAC,su1C1F1F1F1F1F1C1C1C1C1C1C1C1C1M），則=（1，1，0），eqoB1E,su2）平面EFB1，EF，B1E，=0且eqoB1E,su1，故取B1B的中點(diǎn)為M就能滿足D1M平面EFB1【反思感悟】證明直線與平面垂直有兩種方法：1用直線與平面垂直的判定定理；2證明該直線所在向量與平面的法向量平行在正三棱柱ABCA1B1C1中，B1CA1求證：AC1A1B證明建立空間直角

2、坐標(biāo)系C1y，設(shè)ABa，CC1b則A1eqblcrcavs4alco1fr3,2a，fa,2，0，B0，a，b，B10，a,0，C0,0，b，Aeqblcrcavs4alco1fr3,2a，f1,2a，b，C10,0,0于是=eqblcrcavs4alco1fr3,2a，f1,2a，b=（0，a，b），eqblcrcavs4alco1fr3,2a，fa,2，bB1CA1B，eqfa2,2b20,而eqf3,4a2eqf1,4a2b2eqfa2,2b20即AC1A1B課堂小結(jié)：1用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟：1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系2設(shè)平面的法向量為n，y，3求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)aa1，b

3、1，c1，ba2，b2，c24根據(jù)法向量定義建立方程組eqblcrcavs4alco1an0,bn05解方程組，取其中一解，即得平面的法向量2平行關(guān)系的常用證法eqoCD,su2a，y，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則，y，滿足的關(guān)系式是_答案y0解析e=（，y，）（1，1，1）=y=08若直線a和b是兩條異面直線，它們的方向向量分別是1,1,1和2，3，2，則直線a和b的公垂線與兩異面直線垂直相交的直線的一個方向向量是_答案1,4，5答案不唯一解析設(shè)直線a和b的公垂線的一個方向向量為n，y，a與b的方向向量分別為n1，n2，由題意得eqblcrcavs4alco1nn10，,nn20，即：eqblcrc

4、avs4alco1y0，,23y20解之得：y4，5，令1，則有n1,4，5三、解答題9已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD11FC1平面ADE；2平面ADE平面B1C1F證明如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系D則有D0,0,0、A2,0,0，C0,2,0，C10,2,2，E2,2,1，F(xiàn)0,0,1，B12,2,2，所以=（0，2，1），=（2，0，0），=（0，2，1）（1）設(shè)n1=（1,y1,1）是平面ADE的法向量,則n1，n1，即得令12，則y11，所以n10，1,2因?yàn)閑qoFC1,sup6n1220，所以eqoFC1,sup6n1又因?yàn)镕C1平面ADE，所以FC1平面ADE（2）=（2，0，0），設(shè)n2=2,y2,2是平面B1C1由n2eqoFC1,sup6,n2,得得得令22得y21，所以