(新高考)高考數(shù)學一輪復習講與練第6章§6.1《數(shù)列的概念》(含詳解)

1、6.1數(shù)列的概念考試要求1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)知識梳理1數(shù)列的定義按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項2數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關系遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式4數(shù)列的遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多

2、項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式常用結論1已知數(shù)列an的前n項和Sn，則aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)2在數(shù)列an中，若an最大，則eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)(n2，nN*)；若an最小，則eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)(n2，nN*)思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列()(2)1,1,1,1，不能構成一個數(shù)列()(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()(4)

3、如果數(shù)列an的前n項和為Sn，則對任意nN*，都有an1Sn1Sn.()教材改編題1若數(shù)列an滿足a12，an1eq f(1an,1an)，則a2 023的值為()A2 B3 Ceq f(1,2) D.eq f(1,3)答案C解析因為a12，an1eq f(1an,1an)，所以a2eq f(1a1,1a1)3，同理可得a3eq f(1,2)，a4eq f(1,3)，a52，可得an4an，則a2 023a50543a3eq f(1,2).2數(shù)列eq f(1,3)，eq f(1,8)，eq f(1,15)，eq f(1,24)，eq f(1,35)，的通項公式是an_.答案eq f(1,nn2

4、)，nN*解析a1eq f(1,112)eq f(1,3)，a2eq f(1,222)eq f(1,8)，a3eq f(1,332)eq f(1,15)，a4eq f(1,442)eq f(1,24)，a5eq f(1,552)eq f(1,35)，通過觀察，我們可以得到如上的規(guī)律，則aneq f(1,nn2)，nN*.3已知數(shù)列an的前n項和Sn2n23n，則數(shù)列an的通項公式an_.答案4n5解析a1S1231，當n2時，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，因為a1也適合上式，所以an4n5.題型一由an與Sn的關系求通項公式例1(1)設Sn為數(shù)列an的前n項和，若2

5、Sn3an3，則a4等于()A27 B81C93 D243答案B解析根據(jù)2Sn3an3，可得2Sn13an13，兩式相減得2an13an13an，即an13an，當n1時，2S13a13，解得a13，所以數(shù)列an是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以a4a1q33481.(2)設數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n，則an_.答案eq blcrc (avs4alco1(2，n1，,f(2n1,2n1)，n2)解析當n1時，a1212.a13a2(2n1)an2n，a13a2(2n3)an12n1(n2)，由得，(2n1)an2n2n12n1，aneq f(2n1,2n1)(n2)顯然n1時

6、不滿足上式，aneq blcrc (avs4alco1(2，n1，,f(2n1,2n1)，n2.)教師備選1已知數(shù)列an的前n項和Snn22n，則an_.答案2n1解析當n1時，a1S13.當n2時，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.由于a13適合上式，an2n1.2已知數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且Sn2an1，則數(shù)列的通項公式an_.答案2n1解析當n1時，a1S12a11，a11.當n2時，Sn2an1，Sn12an11.得SnSn12an2an1，即an2an2an1，即an2an1(n2)，an是首項為a11，公比為q2的等比數(shù)列ana1qn12n1.思維升華(1)

7、已知Sn求an的常用方法是利用aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2)轉化為關于an的關系式，再求通項公式(2)Sn與an關系問題的求解思路方向1：利用anSnSn1(n2)轉化為只含Sn，Sn1的關系式，再求解方向2：利用SnSn1an(n2)轉化為只含an，an1的關系式，再求解跟蹤訓練1(1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2n2n1，nN*，則an_.答案eq blcrc (avs4alco1(4，n1，,4n1，n2)解析根據(jù)題意，可得Sn12(n1)2(n1)1.由通項公式與求和公式的關系，可得anSnSn1，代入化簡得an2n2n12(n1

8、)2(n1)14n1.經(jīng)檢驗，當n1時，S14，a13，所以S1a1，所以aneq blcrc (avs4alco1(4，n1，,4n1，n2.)(2)設Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則an_.答案eq blcrc (avs4alco1(1，n1，,f(1,nn1)，n2)解析由已知得an1Sn1SnSn1Sn，兩邊同時除以Sn1Sn，得eq f(1,Sn1)eq f(1,Sn)1.故數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則eq f(1,Sn)1(n1)n.所以Sneq f(1,n).當n2時，anSnSn1eq f(

9、1,n)eq f(1,n1)eq f(1,nn1)，故aneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,f(1,nn1)，n2.)題型二由數(shù)列的遞推關系求通項公式命題點1累加法例2在數(shù)列an中，a12，an1anlneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)，則an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n答案A解析因為an1anlneq f(n1,n)ln(n1)ln n，所以a2a1ln 2ln 1，a3a2ln 3ln 2，a4a3ln 4ln 3，anan1ln nln(n1)(n2)，把以上各式分別相加得ana1ln nln 1，則a

10、n2ln n(n2)，且a12也適合，因此an2ln n(nN*)命題點2累乘法例3若數(shù)列an滿足a11，nan1(n1)an(n2)，則an_.答案eq f(2,n1)解析由nan1(n1)an(n2)，得eq f(an,an1)eq f(n,n1)(n2)所以aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(an2,an3)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq f(n,n1)eq f(n1,n)eq f(n2,n1)eq f(3,4)eq f(2,3)1eq f(2,n1)，又a11滿足上式，所以aneq f(2,n1).教師備選1在數(shù)列an中，a13，an1

11、aneq f(1,nn1)，則通項公式an_.答案4eq f(1,n)解析an1aneq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1)，當n2時，anan1eq f(1,n1)eq f(1,n)，an1an2eq f(1,n2)eq f(1,n1)，a2a11eq f(1,2)，以上各式相加得，ana11eq f(1,n)，an4eq f(1,n)，a13適合上式，an4eq f(1,n).2若an滿足2(n1)aeq oal(2,n)(n2)anan1naeq oal(2,n1)0，且an0，a11，則an_.答案n2n1解析由2(n1)aeq oal(2,n)(n2)anan1n

12、aeq oal(2,n1)0得n(2aeq oal(2,n)anan1aeq oal(2,n1)2an(anan1)0，n(anan1)(2anan1)2an(anan1)0，(anan1)(2anan1)n2an0，又an0，2nan2annan10，eq f(an1,an)eq f(2n1,n)，又a11，當n2時，aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq f(2n,n1)eq f(2n1,n2)eq f(2n2,n3)eq f(23,2)eq f(22,1)12n1n.又n1時，a11適合上式，ann2n1.思維升華(1)

13、形如an1anf(n)的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)，即可求數(shù)列an的通項公式(2)形如eq f(an1,an)f(n)的數(shù)列，常令n分別為1,2,3，n1，代入eq f(an1,an)f(n)，再把所得的(n1)個等式相乘，利用ana1eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(an,an1)(n2)即可求數(shù)列an的通項公式跟蹤訓練2(1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若a12，an1an2n11，則an_.答案2n1n解析an1an2n11，an1an2n11，當n2時，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2

14、a1)a12n22n321a1n1eq f(12n1,12)2n12n1n.又a12滿足上式，an2n1n.(2)(2022莆田模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Snn2an(nN*)，則數(shù)列an的通項公式為_答案aneq f(2,nn1)解析由Snn2an，可得當n2時，Sn1(n1)2an1，則anSnSn1n2an(n1)2an1，即(n21)an(n1)2an1，易知an0，故eq f(an,an1)eq f(n1,n1)(n2)所以當n2時，aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(an2,an3)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq

15、f(n1,n1)eq f(n2,n)eq f(n3,n1)eq f(2,4)eq f(1,3)1eq f(2,nn1).當n1時，a11滿足aneq f(2,nn1).故數(shù)列an的通項公式為aneq f(2,nn1).題型三數(shù)列的性質命題點1數(shù)列的單調性例4已知數(shù)列an的通項公式為ann22n(nN*)，則“0，(n1)22(n1)n22n2n120，即2n12對任意的nN*都成立，于是有eq blc(rc)(avs4alco1(f(2n1,2)mineq f(3,2)，由1可推得eq f(3,2)，但反過來，由eq f(3,2)不能得到1，因此“1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的充分不必要條件命

16、題點2數(shù)列的周期性例5(2022廣州四校聯(lián)考)數(shù)列an滿足a12，an1eq f(1,1an)(nN*)，則a2 023等于()A2 B1C2 D.eq f(1,2)答案C解析數(shù)列an滿足a12，an1eq f(1,1an)(nN*)，a2eq f(1,12)1，a3eq f(1,11)eq f(1,2)，a4eq f(1,1f(1,2)2，可知此數(shù)列有周期性，周期T3，即an3an，則a2 023a12.命題點3數(shù)列的最值例6已知數(shù)列an的通項公式an(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n，則數(shù)列an的最大項為()Aa8或a9 Ba9或a10Ca10或a11 D

17、a11或a12答案B解析結合f(x)(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)x的單調性，設數(shù)列an的最大項為an，所以eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1，)所以eq blcrc (avs4alco1(n1blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)nn2blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n1，,n1blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)nnblc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n1，)解不等式組可得9n10.所以數(shù)列an的最大項為a9或a10.教師備選1已知數(shù)列an的通項公式為aneq

18、 f(3nk,2n)，若數(shù)列an為遞減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為()A(3，) B(2，)C(1，) D(0，)答案D解析因為an1aneq f(3n3k,2n1)eq f(3nk,2n)eq f(33nk,2n1)，由數(shù)列an為遞減數(shù)列知，對任意nN*，an1aneq f(33nk,2n1)33n對任意nN*恒成立，所以k(0，)2在數(shù)列an中，a11，anan31，則log5a1log5a2log5a2 023等于()A1 B0Clog53 D4答案B解析因為anan31，所以an3an61，所以an6an，所以an是周期為6的周期數(shù)列，所以log5a1log5a2log5a2 023lo

19、g5(a1a2a2 023)log5(a1a2a6)337a1，又因為a1a4a2a5a3a61，所以a1a2a61，所以原式log5(13371)log510.思維升華(1)解決數(shù)列的單調性問題的方法用作差比較法，根據(jù)an1an的符號判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列(2)解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值(3)求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法函數(shù)法，利用函數(shù)的單調性求最值利用eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)(n2)確定最大項，利用eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)

20、(n2)確定最小項跟蹤訓練3(1)在數(shù)列an中，an1eq blcrc (avs4alco1(2an，aneq f(1,2)，a22a11eq f(3,5)eq f(1,2)，a32a21eq f(1,5)eq f(1,2)，a42a3eq f(2,5)5時，an0，且單調遞減；當n5時，anan，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因為nN*，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.9已知數(shù)列an中，a11，前n項和Sneq f(n2,3)an.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式解(1)由S2eq f(4,3)a2得3(a1a2)4a2，解得a2

21、3a13，由S3eq f(5,3)a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3eq f(3,2)(a1a2)6.(2)由題設知當n1時，a11.當n2時，有anSnSn1eq f(n2,3)aneq f(n1,3)an1，整理得aneq f(n1,n1)an1，于是a2eq f(3,1)a1，a3eq f(4,2)a2，an1eq f(n,n2)an2，aneq f(n1,n1)an1，將以上n1個等式中等號兩端分別相乘，整理得aneq f(nn1,2).當n1時，a11滿足aneq f(nn1,2).綜上可知，an的通項公式為aneq f(nn1,2).10求下列數(shù)列an的通項公式(1)a11

22、，an1an3n；(2)a11，an12nan.解(1)由an1an3n得an1an3n，當n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)13132333n1eq f(113n,13)eq f(3n1,2)，當n1時，a11eq f(311,2)，滿足上式，aneq f(3n1,2)(nN*)(2)由an12nan得eq f(an1,an)2n，當n2時，ana1eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(a4,a3)eq f(an,an1)1222232n12123(n1) SKIPIF 1 0 .當n1時，a11滿足上式，an SKIPIF 1 6，)且an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(16,7)，3) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(16,7)，3)C(1,3) D(2,3)答案D解析若an