圓周運動中的臨界問題

1、圓周運動中的臨界問題一、水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題對于水平面內(nèi)勻速圓周運動的臨界問題，波及的是臨界速度與臨界力的問題，詳細來說，主假如與繩的拉力、彈簧的彈力、接觸面的彈力和摩擦力相關。1、與繩的拉力相關的臨界問題A例1如圖1示，兩繩系一質(zhì)量為m0.1kg的小球，上邊繩長l2m，兩頭都拉直時與軸的夾角分別為B30O30o與45o，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩一直張緊，45O當角速度為3rad/s時，上、下兩繩拉力分別為多大C圖12、因靜摩擦力存在最值而產(chǎn)生的臨界問題例2如圖2所示，細繩一端系著質(zhì)量為M0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端經(jīng)過圓滑小孔吊著MrO質(zhì)量為m0.3kg的物體，M的中

2、心與圓孔距離為0.2m，并知M與水平面間的最大靜摩擦力為2N，現(xiàn)讓此平面m繞中心軸勻速轉(zhuǎn)動，問轉(zhuǎn)動的角速度知足什么條件圖2可讓m處于靜止狀態(tài)。（g10m/s2）3、因接觸面彈力的有無而產(chǎn)生的臨界問題二、豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題對于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動，中學物理中只研究物體經(jīng)過最高點和最低點的狀況，而且也常常會出現(xiàn)臨界狀態(tài)。1、輕繩模型過最高點如下圖，用輕繩系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點的狀況，與小球在豎直平面內(nèi)圓滑軌道內(nèi)側(cè)做圓周運動過最到點的狀況相像，都屬于無支撐的種類。臨界條件：假定小球抵達最高點時速度為v0，此時繩索的拉力（軌道的彈力）2恰巧等于零，小球的重力獨自供給

3、其做圓周運動的向心力，即mgmv0，rv0gr，式中的v0是小球過最高點的最小速度，即過最高點的臨界速度。1）vv0（恰巧到最高點，輕繩無拉力）2）vv0（能過最高點，且輕繩產(chǎn)生拉力的作用）3）vv0（實質(zhì)上小球還沒有到最高點就已經(jīng)離開了軌道）例4、如圖4所示，一根輕繩尾端系一個質(zhì)量為m1kg的小球，繩的長度l0.4m，輕繩能夠承受的最大拉力為Fmax100N，O此刻最低點給小球一個水平初速度，讓小球以輕繩的一端O為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運動，要讓小球在豎直平面內(nèi)做完好v0的圓周運動且輕繩不停，小球的初速度應知足什么條件（2）圖4g10m/s2、輕桿模型過最高點如下圖，輕桿尾端固定一小球在豎直

4、平面內(nèi)做圓周運動過最高點的狀況，與小球在豎直擱置的圓形管道內(nèi)過最到點的狀況相像，都屬于有支撐的種類。臨界條件：由剖析可知，小球在最高點的向心力是由重力和輕桿（管壁）的作使勁的協(xié)力供給的，假如在最高點輕桿（管壁）對小球的作使勁與重力恰巧平衡，那么此時外界供給的向心力為零，即小球過最高點的剎時速度能夠為零，所以小球過最高點的臨界速度為v00。（1）v0，輕桿（管壁）對小球有向上的支持力FN，且FNmg（2）0vgr，輕桿（管壁）對小球有向上的支持力FN，由mgFNmv2，r可得FNmgmv2，F(xiàn)N隨v的增大而減小，0FNmgr（3）vgr，重力獨自供給向心力，輕桿（管壁）對小球沒有力的作用（4）v

5、gr，輕桿（管壁）對小球施加向下的拉力（壓力），由mgF拉mv2，r可得F拉mv2mg，且F拉跟著v的增大而增大r例5、如圖5所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的圓滑半圓管豎直放C置，AB段平直，質(zhì)量為m的小球以水平初速度v0射入圓管。R（1）若要小球能從C端出來，初速度v0多大AB圖52）在小球從C端出來瞬時，對管壁的壓力有哪幾種典型狀況，初速度v0各應知足什么條件3、汽車過拱橋如下圖，汽車過拱形橋頂時，由汽車的重力和橋面對汽車的支持力的協(xié)力供給其最高點的向心力，由mgFNmv2，可得FNmgmv2，因而可知，rr橋面對汽車的支持力跟著汽車速度的增大而減小，假如速度增大到某一個值v0，會出現(xiàn)橋面對汽車

6、的支持力為零，即v0gr是汽車安全過拱橋頂?shù)呐R界速度。1）0vgr，汽車不會離開拱形橋且能過最高點2）vgr，因橋面對汽車的支持力為零，此時汽車恰巧離開橋面做平拋運動3）vgr，汽車將離開橋面，特別危險例6、如圖6所示，汽車質(zhì)量為m1.5104kg，以不變的速率經(jīng)過凸形路面，路面半徑為R15m，若要讓汽車安全行駛，則汽車在最高點的臨界速度是多少假如汽車經(jīng)過最高點的速度恰巧為臨界速度，那么接下來汽車做什么運動，圖6水平運動的位移是多少（g10m/s2）例題1分析：（1）當角速度很小時，AC和BC與軸的夾角都很小，BC其實不張緊。當漸漸增大到30o時，BC才被拉直（這是一個臨界狀態(tài)），但BC繩中的

7、張力仍舊為零。設這時的角速度為1，則有：TACcos30omgTACsin30om12lsin30o將已知條件代入上式解得12.4rad/s（2）當角速度持續(xù)增大時TAC減小，TBC增大。設角速度達到2時，TAC0（這又是一個臨界狀態(tài)），則有：TBCcos45omgTBCsin45om2lsin30o2將已知條件代入上式解得23.16rad/s所以當知足2.4rad/s3.16rad/s，AC、BC兩繩一直張緊。本題所給條件3rad/s，說明此時兩繩拉力TAC、TBC都存在。則有：TACsin30oTBCsin45om2lsin30oTACcos30oTBCcos45omg將數(shù)據(jù)代入上邊兩式解

8、得TAC0.27N，TBC1.09N注意：解題時注意圓心的地點（半徑的大?。?。假如2.4rad/s時，TBC0，AC與軸的夾角小于30o。假如3.16rad/s時，TAC0，BC與軸的夾角大于45o。例題2分析：由剖析可知，假如平面不轉(zhuǎn)動，M會被拉向圓孔，即m不可以處于靜止狀態(tài)。當平面轉(zhuǎn)動的角速度較小時，M與水平面保持相對靜止但有著向圓心運動的趨向，此時水平面對M的靜摩擦力方向背向圓心，依據(jù)牛頓第二定律，對于M有：F拉f靜M12r，可見跟著靜摩擦力的增大，角速度漸漸減小，當靜摩擦力增大到最大值時，角速度減小到最小，即當靜摩擦力背向圓心且最大，此時的角速度1是最小的臨界角速度，1(F拉fmax)

9、(Mr)2.9rad/s；當平面轉(zhuǎn)動的角速度較大時，M與水平面保持相對靜止但有著遠離圓心運動的趨向，此時水平面對M的靜摩擦力方向指向圓心，依據(jù)牛頓第二定律，對于M有：F拉f靜M22r，可見跟著靜摩擦力的增大，角速度漸漸增大，當靜摩擦力增大到最大值時，角速度增大到最大，即當靜摩擦力指向圓心且最大，此時的角速度2是最大的臨界角速度，2(F拉fmax)(Mr)6.5rad/s。故要讓m保持靜止狀態(tài)，平面轉(zhuǎn)動的角速度知足：2.9rad/s6.5rad/s例題3分析：物體在圓滑錐面上繞軸線做勻速圓周運動，往常狀況下受重力、繩的拉力和錐面的支持力，正交分解各個力。水平方向：FTsinFNcosmv2lsi

10、n豎直方向：FTcosFNsinmg由得FNmgsinmv2coslsin由式能夠看出，當、l、m一準時，v越大，F(xiàn)N越小，當線速度增大到某一個值v0時，能使FN0，此時物體與錐面接觸又恰巧沒有互相作用，那么v0就是錐面對物體有無支持力的臨界速度，令式等于零，得v03gl6（1）由于v1v0，物體在錐面上且錐面對物體有支持力，聯(lián)立兩式得FT1mgsinmv121.03mgl（2）由于v2v0，物體已走開錐面，但仍繞軸線做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，設此時繩與軸線間的夾角為()，物體僅受重力和拉力的作用，這時有FT2v22FT2cosmgsinmlsin由兩式得60o，F(xiàn)T22mg分析：題目中給出了

11、兩個條件，第一要讓小球能夠做完好的圓周運動，這個條件的實質(zhì)是要求小球能夠過最高點，這是無支撐的種類，小球過最高點的臨界條件是重力供給向心力，此時繩索沒有拉力的作用，即mgmv2gl2m/s，再從最高點到最低點列動能定理方程，則l，v有2mgl1mv0121mv2，得v0125m/s，此即小球在最低點的初速度的最小22值。第二個條件是繩索不停，經(jīng)過剖析很簡單知道，繩索在最低點最簡單斷，只需最低點不停，其余點都不會斷。所以在最低點有Fmaxmg2得v026m/smv02所以小球的初速度知足的條件是25m/sv06m/s例題5分析：（1）小球恰巧能達到最高點的條件是v臨0，此時需要的初速度為v0知足的條件是，由機械能守恒定律得：1mv022mgR1mv臨2，得v04gR,22所以要使小球能從C端出來需vc0，故入射速度v04gR。（2）小球從C出來端出來瞬時，對管壁壓力能夠有三種典型狀況：恰巧對管壁無壓力，此時重力恰巧供給向心力，由圓周運動知識mgmvc2由機械能守恒定R律：1mv022mgR1mvc2聯(lián)立解得v05gR22mvc2對下管壁有壓力，此時應有mg，相應的入射速度v0應知足4gRv05gRR對上管壁有壓力，此時應有mgmvc2，相應的入射速度v0應知足v05gRR例題6分析