圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和切線問題教案

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和切線問題教案教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和切線的探求過程和方法．2．通過教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運用觀察、類比、聯(lián)想、猜測、檢驗等合情推理方法，提高學(xué)生運算能力、邏輯推理能力，3．培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅韌不拔的意志品質(zhì)．教學(xué)重點與難點圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和切線的求法是教學(xué)重點，圓的切線的求法是教學(xué)難點．教學(xué)過程師：前面我們學(xué)習(xí)了曲線和方程的關(guān)系，請同學(xué)們考慮：如何求適合某種條件的點的軌跡？生：①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點的坐標(biāo)為(x，y)；②探求這些點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間的關(guān)系，列出等式并化簡．師：這就是建系、設(shè)點、列式、化簡四步曲．用這個方法我們曾經(jīng)求出圓心在原點，半徑為5的圓的方程，它的方程是怎樣的？生：x2+y2=25，師：若半徑發(fā)生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點，半徑為r的圓的方程？生：x2+y2=r2．師：你是怎樣得到的？(啟發(fā)地)圓上的點滿足什么條件？這些條件怎樣轉(zhuǎn)化成圓上的點的坐標(biāo)所滿足的條件？生：此圓是到原點的距離等于r的點的集合，由兩點間的距離公式可得：即x2+y2=r2．師：x2+y2=r2表示的圓的位置比較特殊，圓心在原點．有時候圓心可能不在原點，若此圓的圓心移至(a，b)點，圓的方程是怎樣的？生：此圓是到點(a，b)的距離等于r的點的集合，由兩點間的距離公式可得即：(x－a)2+(y－b)2=r2．師：方程(x－a)2+(y－b)2=r2叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由哪些量決定？是否可以和平面幾何中有關(guān)理論聯(lián)系起來？生：平面幾何中，圓由圓心、半徑?jīng)Q定，圓的方程由a、b、r決定(其中a、b是圓心的橫、縱坐標(biāo)，r是圓半徑)．師：很好！這里再一次體現(xiàn)了解析幾何的特點——用代數(shù)的方法研究幾何問題．由此可見，要確定圓的方程，只須確定a、b、r這3個獨立變量即可．請同學(xué)們思考這樣一個問題：例1已知兩點A(4，9)和B(6，3)，求以AB為直徑的圓的方程，并且判斷點M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？師：這道題的已知、要求很明確，應(yīng)怎樣解？生：先求圓的方程，再判斷點的位置．師：要確定圓的方程需要求什么？要不要按“四步曲”來求？生：不需要，只要根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑即可．師：怎么求？生：用中點公式求圓心坐標(biāo)，用兩點間距離公式求半徑．師：好！請具體求出．生：圓心C(a，b)是線段AB的中點，那么它的坐標(biāo)為：a=5，b=6．因此圓的方程是：(x－5)2+(y－6)2=10．所以點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內(nèi)．由此可見，若點P(x0，y0)在圓(x－a)2+(y－b)2=r2上，點P的坐標(biāo)與圓的方程有什么關(guān)系？P在圓外，圓內(nèi)呢？師：這道題研究了點和圓的位置關(guān)系．試問直線和圓有哪些位置關(guān)系？生：相交、相離、相切．師：相切是直線和圓的位置關(guān)系中比較常見，也比較重要的位置關(guān)系，在解析幾何中，我們研究曲線常常要求出切線的方程，你能求出過圓上一點的切線方程嗎？師：你打算怎樣求？生：要求經(jīng)過一點的直線方程，可利用直線的點斜式來求．師：斜率怎么求？生：……師：已知條件有哪些？可以直接利用嗎？不妨畫張圖看看．如圖2－22．生：切線與半徑OP互相垂直，故斜率互為負(fù)倒數(shù)．師：哪位同學(xué)能夠具體的說一說？猜想？生：……如果看不出來，我們可以再演算兩個例子試一試．誰來舉例？生：圓的方程是x2+y2=13，過其上一點(2，3)的切線方程是2x+3y－13=0．生：圓的方程是x2+y2=5，過其上一點(－2，1)的切線方程是－2x+y－5=0．師：發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？(學(xué)生紛紛舉手回答問題)生：分別用切點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)代替圓方程中的一個x和一個y，便得到了切線方程．師：若將已知條件中圓半徑改為r，點改為圓上任一點(x0，y0)，結(jié)論將會發(fā)生怎樣的變化？大膽地猜一猜！生：x0x十y0y=r2．師：這個猜測對不對？若對，可否給予證明？生：……師：這個問題就相當(dāng)于：已知圓的方程是x2+y2=r2，求過圓上一點P(x0，y0)的切線的方程．用點斜式表示方程，有什么條件？生：切線若與x軸垂直，則不能用點斜式表示．師：要求切線的斜率，需要求半徑OP的斜率，OP的斜率一定存在嗎？(引導(dǎo)學(xué)生完成解題過程)解①若切線的斜率不存在，x0=±r，y0=0，切線方程為x=r，或x=－r．②若半徑的斜率不存在，y0=±r，x0=0，切線的方程為y=r，或y=－r．③若切線及半徑的斜率都存在，設(shè)切線的斜率為k，經(jīng)過點P的切線方程為：亦即x0x+y0y=r2．(*)經(jīng)驗證：①②均適合(*)式，故切線方程為：x0x+y0y=r2．師：對照圓的方程x2+y2=r2及點P(x0，y0)，看看切線方程與圓的方程有什么關(guān)系？生：圓的方程可看成x·x+y·y=r2，將其中一個x、y用切點的坐標(biāo)x0、y0替換，可得到切線方程．師：按照這種方法，若圓的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2，過其上一點(x0，y0)的切線方程會是怎樣的呢？能猜到嗎？生：切線方程為(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2．師：你的猜測對嗎？可否給予證明？這實際上就是：已知圓的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2，求經(jīng)過圓上一點(x0，y0)的切線方程．解①若切線及半徑的斜率都存在，即(x0－a)(x－x0)+(y0－b)(y－y0)=r2．(**)②若切線或OP的斜率不存在時，切線方程也是(**)式．師：(**)式與同學(xué)猜測的結(jié)果(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2不同，是我們猜錯了？還是算錯了？哪里出了毛病？生：對比兩個方程，湊出(x－a)項，將(**)式整理如下：[(x－a)－(x0－a)](x0－a)+[(y－b)－(y0－b)](y0－b)=0，即：(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=(x0－a)2+(y0－b)2．因為P在圓上，故(x0－a)2+(y0－b)2=r2，所以切線方程為：(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2．這與同學(xué)們猜測的結(jié)果是一致的！設(shè)計思想在教學(xué)過程中，教師遵循數(shù)學(xué)本身的發(fā)展規(guī)律，同時注意到學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，力求使它們同步協(xié)調(diào)，具體做法如下：在探詢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的方法研究平面幾何中常見的曲線——圓．從簡單的、特殊的到復(fù)雜的、一般的，使用了觀察、猜測、經(jīng)驗歸納等等合情推理的方法，同時引導(dǎo)學(xué)生對照圓的幾何形狀，觀察和欣賞圓的方程，體會數(shù)學(xué)中的美學(xué)——對稱、簡潔．在探求圓的切線方程時，運用波利亞一般解題方法求出過圓x2+y＝r=r2上一點(x0，y0)的切線方程