喀興林高等量子力學(xué)習(xí)題EX1.矢量空間

EX1.矢量空間練習(xí)1.1 試只用條件（1）（8）證，0（。（完證明：由條件（（）得111只需證明0和根據(jù)條件（7）0(00)00現(xiàn)在等式兩邊加上(0)，得0(0)(00)(0)根據(jù)條件（，上式左0(0)根據(jù)條件（（2）上式右0(00)000由0，根據(jù)條件（4（）得0(11)(1)(1)#練習(xí)1.2 證明在內(nèi)積空間中若1

,

,對任意成立，則必有2

。2（完成人：谷巍 審核人：肖鈺斐）證明 由題意可知，在內(nèi)積空間中若1

,

,對任意成立，則有2,－1

,=0 (1)2于是有1

,0 (2)2由于在內(nèi)積空間中1

,

,對任意成立，則可取2

,則有21 2

=0 成立 （3）2根據(jù)數(shù)乘的條件（12）可知，則必有 01 2（4）即1 2故命題成立，即必有1#

.2練習(xí)1.3 矢量空間運(yùn)算的12個條件是不是獨立的？有沒有一條或兩條是其各條的邏輯推論？如有，試證明之。（完成人：趙中亮 審核人：張偉）12#1.4（1）的分角線方向，空間是否仍為內(nèi)積空間？AB（2）在第二個例子中若將二矢量和B內(nèi)積的定義改為 sin或AB1A2Bsin1A2B在第三個例子的空間中，若將內(nèi)積的定義改為ml*m*m*m*m1 1 2 2 3 3 4 4空間是否仍為內(nèi)積空間？在第四個例子的函數(shù)空間中，若將內(nèi)積的定義改為af(x),g(x)bf*(x)g(x)xd或af(x),g(x)bf*(x)g(x)x2dxa空間是否仍為內(nèi)積空間？（完成人：張偉 審核人：趙中亮）（）在第二個例子中若將加法的規(guī)定改變之后，空間不是內(nèi)積空間。因為將規(guī)定改之后對于任意的矢量不一定存在逆元，如一個不為零的矢量設(shè)為A，則任意矢量和它相加后，得到的矢量的長度不為零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空間不是內(nèi)積空間。在第二個例子中若將內(nèi)積的定義改之后，空間不是一個內(nèi)積空間。證明如下：BCBC一般情況下， ,即有BCBCAABAABA,BC

B

CsinC

sin

ACsinAC

B

C所以內(nèi)積的定義改變之后不是內(nèi)積空間。如下：i,l*(m

2m*l3m*l

4m*l)*l*m

2l*m3l*m4l*m

m11ii．

22 33

44 1

2 2 3 3 4 4mnl*

n)*

n)*

n)*

n)1 1

2 2

3 3

4 4 4(l*m

)(l

4l*n)1

1

22 3 3 4

11 2 2 3 3 4 4iii．

l,

l,nl,mal*ma2l*ma3l*ma4l*ma1 1 2 2 3 3 4 4a(l*m

2l*m3l*m4l*m)1 1al,m

2 2 3 3 4 4iv.l,l|l1

|22|l2

|23|l3

|24|l4

|20，對任意l成立若l,l0,則必有l(wèi)l1 2

ll3

0,即l0綜上所述，新定義的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）—條件（12間在第四個例子的函數(shù)空間中，若將內(nèi)積的定義改為f(x),g(x)bf*(x)g(x)xdx后，空間不是內(nèi)積空間。a因為f(x),f(x)bf*(x)f(x)xdxba a

f(x)2xdx，積分號內(nèi)的函數(shù)是一個奇函數(shù)，它不能保證對于任意的fx積分出來后都大于零，即不符合條件(12)，所以不是內(nèi)積空間。在第四個例子的函數(shù)空間中，若將內(nèi)積的定義改為f(x),g(x)bf*(x)g(x)x2dx后，空間是內(nèi)積空間。a證明如下: b

b * *i f(x),g(x)f*(x)g(x)x2dxg*(x)f(x)x2dxg(x),f(x)a a iif(x),g(x)hxbf*(x)g(x)x2dxbf*(x)h(x)x2dxf(x),g(x)f(x),hxa af(x),g(x)abf*(x)g(x)ax2dxabf*(x)g(x)x2dxaf(x),g(x)a af(x),f(x)ba

f(x)2x2dx0,對任意成立若f(x),f(x)ba

f(x)2x2dx0，則必有fx0綜上所述，新定義的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）—條件（12間。#練習(xí)1.5若a為復(fù)數(shù)，證明若a時，Schwartz不等式中的等號成立。（完成人：肖鈺斐 審核人：谷巍）證明：當(dāng)若a時，分別帶入Schwartz不等式的左邊和右邊。左邊=,aa2右邊=aa2左邊=右邊，說明當(dāng)a時，Schwartz不等式中的等號成立。#練習(xí)1.6 證明當(dāng)且僅當(dāng)|a||a|對一切數(shù)a成立時與正交并在三維位形空間討論這一命題的幾何意義。（完成人：趙中亮 審核人：張偉）證明：解：當(dāng)|a||a|對一切數(shù)a成立時，有||2||2即 a,a)a,a)得 ),a))(a,a)),a))(a,a)即 ,a)),)aa,)因為a可以取一切數(shù),所以當(dāng)aaa得 ,),)由此得(,)只能是實數(shù)當(dāng)aaa(,)(,)只有(,)0時，即與正交時才成立所以當(dāng)|a||a|對一切數(shù)a成立時，與正交。當(dāng)與正交時，(,)0則 ,),)0取a為任意數(shù)則 ,)aa,)0(,a)(a,),a))(,)2(,a)(a,a)(,)2(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)(a,a)(a,a)||2||2得 |a||a|即 |a||a|對一切數(shù)a成立綜上，當(dāng)且僅當(dāng)|a||a|對一切數(shù)a成立時，與正交。矩形。#練習(xí)1.7證明：當(dāng)且僅當(dāng)對一切數(shù)成立時，與正交。（完成人：班衛(wèi)華 審核人：何賢文）證明：因為，兩邊平方222222220則構(gòu)成以為變量的二次函數(shù)，要使對一切成立，判別式恒小于等于零，即()20只需0即(,)(,)0得(,)0所以當(dāng)對一切數(shù)成立時，與正交。練習(xí)1.8在四維列矩陣空間中，給定四個不正交也不全歸一的矢量：1 1 000

1 2 000

1 3 100

114 111它們構(gòu)成一個完全集，試用Schmidt方法求出一組基矢。（完成人：肖鈺斐 審核人：谷巍解：由Schmidt方法，所求基矢：11111 1 000

1 1 0

02

, 1

1 0 10 0 00 0 0 0

12222003

,1 1

2

,2 3

1 1 0 0 1 11 1 11 0 0 10 0 0 0 0 0

033333 100,4 4 1 1

,2 2

,3 3

1 1 0 0 0 101 1 0 0 1 0044444 011

1 0 0 0 1 0 0 0 #練習(xí)1.9在上題中，改變四個的次序，取1 1 000

1 2 111

1 3 000

114 100重新用Schmidt方法求出一組基矢。（完成人：何賢文 審核人：班衛(wèi)華）解：由空間中不滿足正交歸一條件的完全集1 2

,,3

}，求這個空間的一組基矢{,1

,,}.2 3 4首先取

為歸一化的：1 1111 111 000取

a，選擇常數(shù)a 使與

正交，即2 2 112 12 2 10(,1得

),2 1

)a120a 1， 12

12 111取為歸一化的：2 20 1122222

3111取

a

a和

使與

正交，即3 3 1

223

13 23 3 1 202 3 ,),)13 3 1 1

2 2

31 3歸一化的為3

0 1 2 3363 336 取

a

a

aa

使與已選4 4 1

224

334

14 24 34 4定的1 2 3

正交，即0 0 ,)

,

)

,

)14 4 1 1

2 2

3 3

21歸一化的為4

2 20 1 0 4424 442 則找到一組基矢為1#

,,}.2 3 4 練習(xí)1.10 在三維位形空間中，i，j，k是在互相垂直的三個軸上的單位矢量。取三個歸一化的矢量： （高思澤） i (1 i j2 2 1 2 (jk)23在內(nèi)積就是點乘積的定義下它們并不正交?，F(xiàn)在改變正交的定義：定義這三個 矢量1

，互相正交。3種內(nèi)積規(guī)則。r求出這個新的內(nèi)積規(guī)則，即將任意兩個矢量r1

ix1

jy1

kz，1 rixjykz

xyzxy

的函數(shù)。2 2 2 2

1 1

2 2 2驗證所求的內(nèi)積規(guī)則符合條件（）～（1。 用()= 驗證所求出的內(nèi)積規(guī)則。i j ij證明：在一個歸一化的完全集里面的矢量集合里，任意的兩個矢量正交，根據(jù)量的正交 性定義，兩個矢量ψ和φ的內(nèi)積為零，即,0。解： 由ijk與1 2

，的關(guān)系，可得到如下變換：3 ii 1 j 2 2 1 由上面的關(guān)系得：

k 23

22 1 rx(2)y(2 2)z(xyz)(2y 2z) 2z1 11

2 1 1

3 2

1

1 1 1

2 1

1 3 1rx2 1

(22

)y1

(23

22

)z1

(xy1 2

z)2

(2y2

2z2

) 2z3 2由此，

(r,r)((xyz)

(2y

2z) 2z,(x

z)

(2y

) 2z)12 1 1 1 1

2 1

1 3 1

2 2 2

2 2

2 3 2(xy

z)*(xy

z)(,)2(

z)*(

z)(,

)4z*

(,)1 1

2 2 2 1 1

1 1 2 2 2

12 3 3{2(xy

z)*(yz) 2(x

z)*(yz)}(,

){2z(xy

z)* 2z(xy1 1 1 2

2 2

1 1 1

2 1 1 1 1 2{2z(yz)*2z(yz)*}(,)2 1 1 1 2 2 2 3定義，，互相正交，有矢量的正交性，得1 2 3 (,)(,)(,)111 33 33(,)(,)(,)01 2 1 3 2 3由此可得(r,r)(xy

z)*(xy

z)2(

z)*(

z)4z*z12 1 1 1

2 2 2

1 1 2 2 12證明：(r,r)*((x

z)*(xy

z)2(

z)*(y

z)4z*z)*21 2 2 2

1 1 1

2 2 1 1 21(xy

z)*(xy

z)2(

z)*(y

z)4z*z11 1(r,r)

2 2 2

1 1 2 2 1212 (r,ra)(xyz)*(xyz)a2(yz)*(yz)a4z*za(r,r)a12 1 1 1

2 2 2

1 1 2 2

12 12 (rrxyz|22|yz|24|z|20當(dāng)(rr0x,y,z都同時等 于0才能滿足，即r0。綜上所述，所求的內(nèi)積規(guī)則符合條件（）～（1。4，見（2）#練習(xí)1.11在n維空間中，已知}i=1,2,3. ,n是一組完全集（不一定正交，i現(xiàn)在有n個矢量}，i=1,2,3. ,（也不一定正交，定義i()1 1

(1

) ()n(D= 2

) (2

) ()n () () ()n 1 n 2 n n證明{}線性相關(guān)的必要和充分條件維D=0。i（完成人：何賢文 審核人：班衛(wèi)華）解：對于矢量空間的n個矢量的集合}，有nD0，此式是關(guān)于ni i ii1個矢量的集合{}的齊次方程組i(

(,)

(01 2 111 2

1 n n( ,

( , ) (0 2 1

2 2 2 2 n n

（1）(n

1

(n 2 2

(0n n n若}線性相關(guān)，則滿足nD0至少有一組非零解，則要求：i i ii1(1

) (1

) ()1 n(2,1) (22) (2n)0 () () ()n 1 n 2 n n即D=0若D=0，則方程（1）必有非零解，即滿足有一組不為零的復(fù)數(shù)使得niDi0i1故{i}線性相關(guān)。#1.12S1S2S1S2的全部元的那個集合并不是子空間：（1S1S2S2S1的子空間；（2S1S2其中之一只含有零矢量一個元。（完成人：張偉 審核人：趙中亮）（1）設(shè)子空間1和S2的維數(shù)分別為，n，它們共同的基矢的個數(shù)為mlnS1S2S2S1S1S2S1S2矢量的維數(shù)可以大到mnl維，而mn