概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)完整第一章隨機(jī)事件及其概率的課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)配套教材：蘇德礦等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，高等教育出版社概率論產(chǎn)生于17世紀(jì)，本來是由保險(xiǎn)事業(yè)發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自賭博者的請(qǐng)求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問題的源泉.早在1654年，有一個(gè)賭徒梅勒向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了一個(gè)使他苦惱了很久的問題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰先贏m局就算獲勝，全部賭本就歸勝者，但是當(dāng)其中一個(gè)人甲贏了a(a<m)局的時(shí)候，賭博中止，問賭本應(yīng)當(dāng)如何分配才算合理？”概率論在物理、化學(xué)、生物、生態(tài)、天文、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科中，在控制論、信息論、電子技術(shù)、預(yù)報(bào)、運(yùn)籌等工程技術(shù)中的應(yīng)用都非常廣泛。序言

自然界和社會(huì)上發(fā)生的現(xiàn)象是多種多樣的.在觀察、分析、研究各種現(xiàn)象時(shí),通常我們將它們分為兩類:(1)可事前預(yù)言的，即在準(zhǔn)確地重復(fù)某些條件下，它的結(jié)果總是肯定的，或者根據(jù)它過去的狀況，在相同條件下完全可以預(yù)言將來的發(fā)展，例如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100℃必然沸騰;向空中拋擲一顆骰子，骰子必然會(huì)下落;在沒有外力作用下，物體必然靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng);太陽每天必然從東邊升起，西邊落下等等，稱這一類現(xiàn)象為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象.

第一章隨機(jī)事件及其概率

人們經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐和深入研究之后,發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象在個(gè)別試驗(yàn)中,偶然性起著支配作用,呈現(xiàn)出不確定性,但在相同條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)中,卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.隨機(jī)現(xiàn)象的這種規(guī)律性我們稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.(2)在個(gè)別試驗(yàn)中呈現(xiàn)不確定的結(jié)果，而在相同條件下大量重復(fù)試驗(yàn)中呈現(xiàn)規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象(或偶然現(xiàn)象).例如,在相同條件下,拋擲一枚硬幣,其結(jié)果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,并且在每次拋擲之前無法確定拋擲的結(jié)果是什么.§1隨機(jī)事件在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.§1.1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

（1）拋一枚硬幣,有可能正面H朝上，也有可能反面T朝上.（2）拋一粒骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).（3）一只燈泡使用的壽命.在相同條件下可以重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象稱為隨機(jī)試驗(yàn)(Randomexperiment).隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特點(diǎn):(1)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).試驗(yàn)的樣本空間的實(shí)例E1:拋一枚硬幣,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

則樣本空間為Ω1

={H,T}E2:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.則樣本空間為Ω

2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H出現(xiàn)的次數(shù).則樣本空間為Ω

3={0,1,2,3}E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.則樣本空間為Ω

7={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}這里x表示最低溫度,y表示最高溫度;并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于T0,不會(huì)大于T1.E4:拋一粒骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).則樣本空間為Ω

4={1,2,3,4,5,6}E5:記錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).

則樣本空間為Ω

5={0,1,2,3,…}E6:在一批燈泡中任意抽取一只,測(cè)試它的壽命.

則樣本空間為Ω

6={t|t≥0}于是樣本空間是由三個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合這個(gè)例子表明:試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與樣本空間是根據(jù)試驗(yàn)的內(nèi)容而確定的.例:拋二粒骰子的樣本空間為：§1.2隨機(jī)事件(randomevent)（6）空集

稱為不可能事件(Impossibleevent).（5）樣本空間Ω

稱為必然事件(Certainevent)

.（4）由樣本空間中的單個(gè)元素組成的子集稱為基本事件(Basicevents)

.隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.（2）事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).（1）任一事件A是相應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集.（3）事件可用集合A表示，也可用語言描述.

例:對(duì)于試驗(yàn)E2:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.A2={HHH,TTT}（2）事件A2:“三次出現(xiàn)同一面”,則A1={HHH,HHT,HTH,HTT}（1）事件A1:“第一次出現(xiàn)的是正面H”,則A2={HHT,HTH，THH}（3）事件A3:“出現(xiàn)二次正面”,則

例:對(duì)于試驗(yàn)E6:在一批燈泡中任意抽取一只,測(cè)試它的壽命.B={t|0≤t<1000}

事件B:“壽命小于1000小時(shí)”,則

例:對(duì)于試驗(yàn)E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.C={(x,y)|y-x=10,T0≤x≤y≤T1}

事件C:“最高溫度與最低溫度相差10度”,則§1.3事件的關(guān)系(Relationofevents)

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω

,而A,B,Ak(k=1,2,…)是Ω

的子集.

事件是一個(gè)集合,因而事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算自然按照集合論中集合之間的關(guān)系和集合運(yùn)算來處理.根據(jù)“事件發(fā)生”的含義,下面給出事件的關(guān)系和運(yùn)算在概率論中的提法.§1.3.1包含關(guān)系(Inclusionrelation)

定義:若屬于A的樣本點(diǎn)必屬于B,則稱事件B包含事件A，記為A

B.即事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生.例:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)4點(diǎn)”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.

則事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，所以A

B.§1.3.2相等關(guān)系(equivalentrelation)

定義:若屬于A的樣本點(diǎn)必屬于B,且屬于B的樣本點(diǎn)必屬于A，則稱事件A與事件B相等，記為A=

B.A＝BAB且BA例:拋二粒骰子，A=“二粒骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，B=“二粒骰子的點(diǎn)數(shù)為一奇一偶”.則事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，而且B發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，所以A=

B.§1.3.3互不相容(Incompatibleevents)

定義:若事件A與事件B沒有相同的樣本點(diǎn),則稱事件A與B互不相容

.A與B互不相容，即事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生.A與B互不相容

AB=§1.4.1事件的并(Unionofevents)

定義:由事件A與B中所有樣本點(diǎn)（相同的樣本點(diǎn)只計(jì)入一次）組成的新事件稱為事件A與B的并.§1.4事件的運(yùn)算(operationofevents)（1）A∪B={x|x∈A或x∈B}（2）當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí),事件A∪B發(fā)生.例:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.

則A={1，2，3}，

B={2，4，6}.所以，A∪B={1，2，3，4，6}§1.4.2事件的交(Productofevents)

定義:由事件A與B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件A與B的交.（2）當(dāng)且僅當(dāng)A與B同時(shí)發(fā)生時(shí),事件AB發(fā)生.（1）A∩B=AB={x|x∈A且x∈B}例:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.

則A={1，2，3}，

B={2，4，6}.所以，A∩B={2}§1.4.3事件的差(Differenceofevents)

定義:由事件A中而不B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件A對(duì)B的差.（1）A-B={x|x∈A且x∈B}（2）當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生,而B不發(fā)生時(shí),事件A-B發(fā)生.例:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.

則A={1，2，3}，

B={2，4，6}.所以，A-B={1，3}問：B-A=？§1.4.4對(duì)立事件(Oppositeevents)

定義:由在Ω中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A的對(duì)立事件.

（1）事件A與B互為對(duì)立事件

A∪B=Ω且AB=.（2）A的對(duì)立事件記作B=ā

.例:拋一粒骰子，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3”.

則A={1，2，3}，而Ω={1，2，3，4，5，6，}.所以，ā

={4，5，6}§1.4.5事件運(yùn)算的規(guī)則1、交換律(Exchangelaw)

：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律(Combinationlaw)

：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律(Distributivelaw)

：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、DeMorgan對(duì)偶律(Duallaw)

：（1）第三次未中獎(jiǎng)（2）第三次才中獎(jiǎng)（3）恰有一次中獎(jiǎng)（4）至少有一次中獎(jiǎng)（5）不止一次中獎(jiǎng)（6）至多中獎(jiǎng)二次§2隨機(jī)事件的概率

定義:隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值),稱為A發(fā)生的概率,記作P(A).

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件(必然事件和不可能事件除外)來說,它在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生,也可能不發(fā)生.我們希望知道某些事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性究竟有多大,找到一個(gè)合適的數(shù)來表示事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小.§2.1概率的公理化定義定義:設(shè)Ω

為一個(gè)樣本空間，如果對(duì)任一事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A).如果集合函數(shù)P(.)滿足下列條件：（1)非負(fù)性公理：對(duì)于每一事件A,有P(A)≥0;(2)正則性公理：P(Ω)=1;(3)可列可加性公理:設(shè)A1,A2,…是互不相容的事件,即對(duì)于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,…,則有則稱P（A）為事件A的概率(Probability).§2.2概率的統(tǒng)計(jì)定義(Thestatisticdefinitionofprobability)

定義:在相同的條件下,進(jìn)行了n次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率,并記為fn(A).頻率具有下述性質(zhì):（1）0≤fn(A)≤1;（2）fn(Ω

)=1;（3）若A1,A2,…,Ak是兩兩互不相容的事件,則§2.2.1頻率(Frequency)

歷史上拋擲勻質(zhì)硬幣的若干結(jié)果§2.2.2概率的統(tǒng)計(jì)定義試驗(yàn)者拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率m/n德.摩爾根204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998

定義:在相同的條件下,進(jìn)行了n次重復(fù)試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生了nA次,當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí),如果事件A發(fā)生的頻率fn(A)=nA/n穩(wěn)定在某一數(shù)值p的附近擺動(dòng),而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大,這種擺動(dòng)的幅度越變?cè)叫?則稱數(shù)值p為事件A在這組條件下發(fā)生的概率,記作P(A)=p.這樣定義的概率稱為統(tǒng)計(jì)概率.性質(zhì)1:P()=0.§2.3概率的性質(zhì)于是由可列可加性得又由P()≥0得,P()=0證明:

令A(yù)n+1=An+2=…=,則由可列可加性及P()=0得即性質(zhì)3:對(duì)于任一事件A,有

證明:由A

B知B=A∪(B-A),且A(B-A)=,性質(zhì)4:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,若A

B,則有

P(B-A)=P(B)-P(A)推論：若A

B，則P(B)≥P(A)證明：由P(B)=P(A)+P(B-A)又由概率的定義知P(B-A)≥0因此有

P(B)≥P(A)因此由概率的有限可加性得

P(B)=P(A)+P(B-A)從而有P(B-A)=P(B)-P(A)證明:因?yàn)锳-B=A-AB,且ABA性質(zhì)6:對(duì)于任意兩事件A,B，有

P(A-B)=P(A)-P(AB)故P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)證明:因?yàn)锳

Ω,因此有

P(A)≤P(Ω)=1性質(zhì)5:對(duì)于任一事件A,有

P(A)≤1證明:因?yàn)锳∪B=A∪(B-AB),且A(B-AB)=,AB

B故P(A∪

B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)性質(zhì)7:對(duì)于任意兩事件A,B，有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)上式稱為概率的加法公式.概率的加法公式可推廣到多個(gè)事件的情況.設(shè)A,B,C是任意三個(gè)事件，則有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)一般,對(duì)于任意n個(gè)事件A1,A2,…,An,有§3古典概型與幾何概率

具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)稱為古典概型,也稱為等可能概型.

在概率論發(fā)展的初期主要研究具有如下兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn):(1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè);(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.§3.1古典概型古典概型的計(jì)算公式

因此，若事件A={ei1}∪{ei2}∪…∪{eik}包含k個(gè)基本事件,則有P(A)=k/n.

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω

={e1,e2,…,en},由于在試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同,即有P({e1})=P({e2})=…=P({en})

又由于基本事件是兩兩不相容的,于是有

1=P(Ω

)=P({e1}∪{e2}∪…∪{en})=P({e1})+P({e2})+…+P({en})=nP({ei})i=1,2,…,n

所以P({ei})=1/ni=1,2,…,n

即樣本空間有4個(gè)樣本點(diǎn),而隨機(jī)事件A1包含2個(gè)樣本點(diǎn),隨機(jī)事件A2包含3個(gè)樣本點(diǎn),故

P(A1)=2/4=1/2P(A2)=3/4

例:將一枚硬幣拋擲二次,設(shè)事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”;事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”.求P(A1)和P(A2).

解:正面記為H,反面記為T,則隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω

={HH,HT,TH,TT}而A1={HT,TH}A2={HH,HT,TH}例:

拋擲一顆勻質(zhì)骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)的概率.解設(shè)A表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是大小于3的偶數(shù)，則基本事件總數(shù)n=6，A包含的基本事件是“出現(xiàn)4點(diǎn)”和“出現(xiàn)6點(diǎn)”即m=2，故§3.2排列與組合公式乘法原理：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法ABC加法原理：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。AB有重復(fù)排列:從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列.共有nk種排列方式.無重復(fù)排列:從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列.共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.組合:從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k個(gè).共有種取法.重復(fù)組合:從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k個(gè)，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回.共有種取法.故故故解設(shè)A=沒有相同數(shù)字的三位數(shù)，B表示沒有相同數(shù)字的三位偶數(shù)，則基本事件總數(shù)n=5×6×6=180（1）事件A包含的基本事件數(shù)為mA=5×5×4（2）事件B包含的基本事件數(shù)為mB=4×4×2+5×4=52所以所以解（1）由于A與B互不相容，即AB=φ則所以（2）則有（3）則有

例:設(shè)有同類產(chǎn)品6件,其中有4件合格品,2件不合格品.從6件產(chǎn)品中任意抽取2件,求抽得合格品和不合格品各一件的概率.

解:設(shè)A={抽得合格品和不合格品各一件}.因?yàn)榛臼录倲?shù)等于從6件可以區(qū)別的產(chǎn)品中任取2件的組合數(shù)目,故有基本事件總數(shù)且每一基本事件發(fā)生是等可能的.

事件A發(fā)生是指從4件合格品和2件不合格品中各抽出一件,抽取方法數(shù),即使事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為所以事件A發(fā)生的概率為

解法1:把a(bǔ)只黑球b只白球視為可分辨的.把a(bǔ)+b只球摸出來依次排在一直線的a+b個(gè)位置上,則可能的排列法相當(dāng)于把a(bǔ)+b個(gè)元素進(jìn)行全排列,即基本事件總數(shù)為n=(a+b)!.而有利于事件Ak的場(chǎng)合相當(dāng)于在第k個(gè)位置上放一個(gè)黑球(共有a種選擇),而在其余的a+b-1個(gè)位置上,由其余的a+b-1個(gè)球任意排列,共有m=a(a+b-1)!種排法.所以例:袋中有a只黑球,b只白球.它們除了顏色不同外,其它方面全同.現(xiàn)在隨機(jī)地把球一只只摸出來,求第k次摸出的一只是黑球(事件Ak)的概率.這兩種不同的解法,主要在于選取的樣本空間不同,而最后的答案是相同的.例:設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。答:取到一紅一白的概率為0.6。N=C52,K=C31C21,P(A)=C31C21/C52=0.6.解:

設(shè)A-----取到一紅一白

一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k白球的概率是例：將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:

設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒.N=33,K=3!,P(A)=2/9.P(B)=1－P{空兩合}－P{全有球}=1－3/33－2/9=2/3.一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到m個(gè)盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：思考題某班級(jí)有n個(gè)人(n365)，問至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？例：30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員;B:3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組

一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組(n>m),要求第i

組恰有ni個(gè)球(i=1,…m)，共有分法：1.有放回抽樣:第一次取一件產(chǎn)品觀察其是否合格后放回袋中,第二次再取一件產(chǎn)品.2.不放回抽樣:第一次取一件產(chǎn)品后不放回袋中,第二次再取一件產(chǎn)品.

試由上面兩種抽樣方法,求:1.取到兩件合格品的概率;2.取到兩件相同質(zhì)量產(chǎn)品的概率;3.取到的兩件產(chǎn)品中至少有一件合格品的概率.例:一只口袋中,裝有10件同類晶體管,其中有8件合格品,2件次品.從口袋中取產(chǎn)品2次,每次取一件,考慮兩種情況:解:設(shè)A={取到兩件合格品},B={取到兩件次品},C={取到兩件相同質(zhì)量的產(chǎn)品},D={取到的兩件產(chǎn)品中至少有一件合格品}(1)有放回抽樣:第一次從10件產(chǎn)品中抽1件有10種抽取方法,第二次從10件產(chǎn)品中抽1件也有10種抽取方法,故有10×10種可能的取法.每一種取法是一基本事件,且發(fā)生的可能性是相同的.所以基本事件總數(shù)為n=10×10=100.使A發(fā)生的基本事件是第一次抽到合格品,且第二次也抽到合格品,共有mA=8×8=64種取法.于是P(A)=mA/n=64/100同理B包含的基本事件數(shù)mB=2×2=4.所以P(B)=mB/n=4/100由于C=A+B,且AB=,所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.64+0.04=0.68P(D)=1-P(B)=1-0.04=0.96(2)不放回抽樣:第一次從10件產(chǎn)品中抽1件有10種抽取方法,第二次從9件產(chǎn)品中抽1件有9種抽取方法,故有10×9種可能的取法.所以樣本空間的基本事件總數(shù)為n=10×9=90.兩次均抽到合格品共有mA=8×7=56種取法,即A包含的基本事件數(shù)為56.于是P(A)=56/90同理B包含的基本事件數(shù)mB=2×1=2.所以P(B)=2/90由于C=A∪B,且AB=,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.622+0.022=0.644P(D)=1-P(B)=1-0.022=0.978解:設(shè)A={指定的n個(gè)盒子各有一球},B={恰有n個(gè)盒子各有一球}.由于每個(gè)球都可以放入N個(gè)盒子中的任一個(gè),共有N種不同的放法.于是n個(gè)球放進(jìn)盒子就有Nn種不同的放法.而每一放法就是一個(gè)基本事件,且發(fā)生的可能性是相同的.所以基本事件總數(shù)為Nn個(gè)例:將n個(gè)球隨機(jī)地放入N(N≥n)個(gè)盒子中去,每個(gè)球都能以同樣的概率1/N落入N個(gè)盒子中的每一個(gè),試求:1.指定的n個(gè)盒子各有一球的概率;2.恰有n個(gè)盒子各有一球的概率.指定的n個(gè)盒子各有一球,共有n(n-1)(n-2)…1=n!種可能的放法,于是P(A)=n!/Nn恰有n個(gè)盒子各有一球,共有可能的放法,于是有許多問題和本例具有相同的數(shù)學(xué)模型.如歷史上有名的“生日問題”:假設(shè)每個(gè)人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,那么隨機(jī)選取n(n≤365)個(gè)人,令A(yù)={n個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日相同},則Ac={n個(gè)人的生日全不相同}.而經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果:n 10 20 23 30 40 50 100 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97 0.9999997

故得P(A)=333/2000P(B)=250/2000

因而所求的概率為例:在1至2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?解:設(shè)A={取到的數(shù)能被6整除},B={取到的數(shù)能被8整除}.由于333<2000/6<3342000/8=250又由于一個(gè)數(shù)同時(shí)能被6與8整除,就相當(dāng)于能被24整除,因此由83<2000/24<84

得P(AB)=83/2000=1-333/2000-250/2000+83/2000=3/4

設(shè)樣本空間Ω為一有界幾何體，事件A包含于Ω,用L表示幾何體的測(cè)度.§3.3幾何概率注:當(dāng)幾何體為一線段時(shí)，測(cè)度為長(zhǎng)度；當(dāng)幾何體為平面上的某一區(qū)域時(shí)，測(cè)度為面積；當(dāng)幾何體為空間的某一區(qū)域時(shí)，測(cè)度為體積.定義：設(shè)事件A為樣本空間Ω中的某個(gè)小區(qū)域，如果它的測(cè)度為L(zhǎng)(A)，且點(diǎn)落入A中的可能性大小與L(A)成正比，而與A的位置及形狀無關(guān),則事件A的概率為P(A)=L(A)/L(Ω)這一類概率通常稱作幾何概率.

解:以x,y分別表示甲乙兩人到達(dá)的時(shí)刻,那末 0xT,0yT.

若以x,y表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，則：

例:(會(huì)面問題)甲,乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲,乙兩人能會(huì)面的概率.（1）所有基本事件可以用一邊長(zhǎng)為T正方形內(nèi)所有點(diǎn)表示.

（2）兩人能會(huì)面的條件是|x-y|t.由等可能性知，所求概率為

OtTxx-y=ty-x=ttTAP(A)=SA/SΩ

例:(Buffon投針問題)1777年法國(guó)科學(xué)家蒲豐提出了下列著名問題，這是幾何概率的一個(gè)早期例子.

平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等于a，向此平面任投一長(zhǎng)度為l(l<a)的針，試求此針與任一平行線相交的概率.

解:以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線間的距離,又以φ表示針與此直線間的交角.

易知樣本空間滿足：滿足這個(gè)不等式的區(qū)域?yàn)閳D中用陰影部分g它是平面上一個(gè)矩形針與平行線相交的充要條件是所求的概率為

蒙特卡羅(Monte-Carlo)法130°

解：設(shè)由幾何概型概率的計(jì)算公式，得如此，可以估算所求無理數(shù)的數(shù)值。在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)N次，數(shù)出落在三角形區(qū)域內(nèi)的次數(shù)n.用事件發(fā)生的頻率估計(jì)其概率得：§4乘法公式與全概率公式

例:將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設(shè)事件A={至少有一次為正面H},事件B={兩次擲出同一面},求已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.

解:樣本空間為Ω={HH,HT,TH,TT},B={HH,TT},A={HH,HT,TH}.若記已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為P(B|A),則有P(B|A)=1/3易知P(A)=3/4,P(AB)=1/4,P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4),故有§4.1條件概率解

而求P(A|B)實(shí)質(zhì)上是求在事件B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率（即甲車間生產(chǎn)的合格品率），由于甲車間產(chǎn)品有60件，而其中合格品有54件所以

對(duì)于一般的古典概型,設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為n,A所包含的基本事件數(shù)為m(m>0),AB所包含的基本事件數(shù)為k,記已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為P(B|A),則有

對(duì)于幾何概型，如果在正方形內(nèi)等可能投點(diǎn)，若已知B發(fā)生，則A發(fā)生的概率為§4.1條件概率(ConditionalProbability)

定義:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.條件概率是指在事件A發(fā)生的條件下，另一事件B發(fā)生的概率，記用P（B|A）.條件概率的性質(zhì)條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件.即(1)對(duì)于任一事件B,有P(B|A)≥0;(2)P(Ω|A)=1;(3)可列可加性:設(shè)B1,B2,…是兩兩互不相容的事件,則有P[(B1|A）∪（B2|A）∪

…]=P(B1|A)+P(B2|A)+…因此,概率中的一些重要結(jié)果都適用于條件概率.解依題意P（B）=70%例:

考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭，若已知某一家有男孩求這家有兩個(gè)男孩的概率；若已知某家第一個(gè)是男孩，求這家有兩個(gè)男孩（相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩）的概率（假定生男生女為等可能）于是得所求的兩個(gè)條件概率為例:設(shè)100件產(chǎn)品中有5件次品,從中任取兩次,每次取一件,作不放回抽樣.設(shè)A={第一次抽到合格品},B={第二次抽到次品},求P(B|A).

解法1:在A已發(fā)生的條件下,產(chǎn)品數(shù)變?yōu)?9件,其中次品數(shù)仍為5件,所以P(B|A)=5/99

解法2:從100件產(chǎn)品中連續(xù)抽取2件(抽后不放回),其樣本空間S的基本事件總數(shù)為100×99,使AB發(fā)生的基本事件數(shù)為95×5.于是P(AB)=(95×5)/(100×99),又P(A)=95/100故有P(B|A)=5/99

解法3:因?yàn)闃颖究臻gΩ的基本事件總數(shù)為100×99其中使A發(fā)生的基本事件數(shù)為95×5+95×94在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的基本事件數(shù)為95×5所以P(B|A)=5/99例:設(shè)100件產(chǎn)品中有5件次品,從中任取兩次,每次取一件,作不放回抽樣.設(shè)A={第一次抽到合格品},B={第二次抽到次品},求P(B|A).§4.2概率的乘法公式由條件概率定義可得下面定理乘法定理:若P(A)>0,則有P(AB)=P(B|A)P(A)上式稱為乘法公式(Multiplicationformula).乘法公式可以推廣到任意有限個(gè)事件的情況.設(shè)A1,A2,…,An為試驗(yàn)E中的n個(gè)事件,且P(A1A2…An-1)>0,則有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)例:

一個(gè)盒子中有6只白球，4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取3次，求第三次才取得白球的概率.易知例:袋中裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)白球,從中依次取出兩個(gè),求兩個(gè)都是紅球的概率.解:設(shè)A1={第一次取得紅球},A2={第二次取得紅球}.(1)若用“不放回抽樣”,則P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)×(1/4)=0.1(2)若用“有放回抽樣”,則P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)×(2/5)=0.16例:設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2;若第一次落下未打破,第二次落下時(shí)打破的概率為7/10;若前二次落下未打破,第三次落下時(shí)打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解法1:設(shè)Ai={透鏡第i次落下未打破}(i=1,2,3),B={透鏡落下三次而未打破},則B=A1A2A3,故有P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200例:設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2;若第一次落下未打破,第二次落下時(shí)打破的概率為7/10;若前二次落下未打破,第三次落下時(shí)打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.例:一個(gè)盒子中有n(n>1)只晶體管,其中有一只次品,隨機(jī)地取一只測(cè)試,直到找到次品為止.求在第k(1≤k≤n)次測(cè)試出次品的概率.解:設(shè)Ai={第i次測(cè)試的是正品},Bk={第k次測(cè)試到次品},則

P(Bk)=P(A1A2...Ak-1āk)=P(A1)P(A2|A1)...P(Ak-1|A1A2...Ak-2)P(āk|A1A2...Ak-1)=[(n-1)/n][(n-2)/(n-1)]…[(n-k+1)/(n-k+2)][1/(n-k+1)]=1/n(1≤k≤n)例：有外形相同的球分裝三個(gè)盒子，每盒10個(gè)。其中，第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè)，白球2個(gè)。試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一球。如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗(yàn)成功。求試驗(yàn)成功的概率。解：令A(yù)={從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球}，

B={從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球}，

R={第二次取出的球是紅球}，

W={第二次取出的球是白球}。則易知：P(A)=7/10，P(B)=3/10,P(R|A)=1/2,P(W|A)=1/2,P(R|B)=4/5,P(W|B)=1/5

于是,試驗(yàn)成功的概率為

P(R)=P(RS)=P[R(A+B)]=P(RA+RB)=P(RA)+P(RB)=P(A)P(R|A)+P(B)P(R|B)=(7/10)(1/2)+(3/10)(4/5)=0.59計(jì)算過程如下圖的概率樹:

紅P(R|A)=0.5

第二次

AP(A)=0.7白P(W|A)=0.5第一次紅P(R|B)=0.8

BP(B)=0.3

第二次

白P(W|B)=0.2§4.3全概率公式定義:設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間,B1,B2,…,Bn為E的一組事件.若1)BiBj=,i≠j,i,j=1,2,…,n;2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω則稱B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分.若B1,B2,…,Bn是樣本空間Ω的一個(gè)劃分,那么,對(duì)于每次試驗(yàn),事件B1,B2,…,Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.定理:設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間,B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分,A為E的一個(gè)事件,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)

上式稱為全概率公式(Completeprobabilityformula).證明:因?yàn)锳=AΩ=A(B1∪

B2∪

…∪

Bn)=AB1∪

AB2∪

…∪

ABn

由假設(shè)BiBj=,i≠j,知(ABi)(ABj)=,i≠j,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),得到

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)解設(shè)事件A表示取出的2個(gè)球都是白球，事件Bi表示所選袋子中裝球的情況屬于第i種（i=1、2、3）易知于是按全概率公式所求的概率解設(shè)事件Bi是一批產(chǎn)品中有i個(gè)次品（i=0，1，2，3，4），設(shè)事件A是這批產(chǎn)品通過檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品則有P（A|B0）=1所求的概率例:有三個(gè)形狀相同的箱子,在第一個(gè)箱中有兩個(gè)正品,一個(gè)次品;在第二個(gè)箱中有三個(gè)正品,一個(gè)次品;在第三個(gè)箱中有兩個(gè)正品,兩個(gè)次品.現(xiàn)從任何一個(gè)箱子中,任取一件產(chǎn)品,求取得的是正品的概率.解:設(shè)Bi={從第i個(gè)箱子中取到產(chǎn)品}(i=1,2,3),A={取得正品}.由題意知Ω=B1+B2+B3且B1,B2,B3是兩兩互不相容的事件.P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/2

由全概率公式得

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.64§4.4貝葉斯公式(Bayesianformula)在全概率公式中我們知道,引起事件A發(fā)生的原因有B1,B2,…,Bn等多種.在實(shí)際問題中,常遇到已知事件A已經(jīng)發(fā)生,要求出事件A發(fā)生是由某種原因Bk引起的概率P(Bk|A).例：有外形相同的球分裝三個(gè)盒子，每盒10個(gè)。其中，第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中有紅球8，白球2個(gè)。試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一球。如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗(yàn)成功。若試驗(yàn)成功，求第二次取出的紅球是從第二個(gè)盒子取得的概率。解：P(A|R)=P(AR)/P(R)=P(A)P(R|A)/P(R)=0.7×0.5/0.59=35/59假若我們事先沒有求出P(R),則一般有:P(A|R)=P(AR)/P(R)=P(A)P(R|A)/P(R)=P(A)P(R|A)/[P(A)P(R|A)+P(B)P(R|B)]證明:由條件概率的定義及全概率公式有上式稱為貝葉斯(逆概率)公式.例:無線電通訊中,發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“.”和“-”.由于干擾,發(fā)出信號(hào)“.”時(shí),收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率0.98收到信號(hào)“.”,發(fā)出信號(hào)“-”時(shí),收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率0.99收到信號(hào)“-”.求在收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“-”的條件下,發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“.”的概率.解:設(shè)B1={發(fā)出信號(hào)“.”},B2={發(fā)出信號(hào)“-”},A1={收到信號(hào)“.”},A2={收到信號(hào)“-”}.由于B1B2=,B1∪B2=Ω,A2=A2B1∪

A2B2,于是解:由貝葉斯公式得

P(C|A)=P(AC)/P(A)=0.005×0.95/[0.005×0.95+(1-0.005×(1-0.95)]=0.087§5事件的獨(dú)立性設(shè)A,B是兩事件,若P(A)>0,可以定義P(B|A).一般,A的發(fā)生對(duì)B發(fā)生的概率是有影響的,這時(shí)P(B|A)≠P(B).若A的發(fā)生對(duì)B發(fā)生的概率沒有影響,則有P(B|A)=P(B),這時(shí)有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例:分別擲兩枚硬幣,觀察其出現(xiàn)正面(H)和反面(T)的情況.設(shè)事件A={甲幣出現(xiàn)正面H},B={乙?guī)懦霈F(xiàn)正面H},則試驗(yàn)的樣本空間為Ω={HH,HT,TH,TT}A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}所以P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2,P(B|A)=1/2,P(AB)=1/4從而有P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B).事實(shí)上,顯然甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn)正面是互不影響的.解設(shè)A表示第一次摸到黑，B表示第二次摸黑球，則（1）所以（2）注意到P（B|A）=P（B）即事件A發(fā)生與否對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，從直觀上看，這是很自然的，因?yàn)槲覀儾捎玫氖怯蟹呕氐拿?，第二次摸球時(shí)袋中球的構(gòu)成與第一次摸球時(shí)完全相同，因此，第一次摸球的結(jié)果當(dāng)然不會(huì)影響第二次摸球，在這種場(chǎng)合下我們說事件A與事件B相互獨(dú)立.§5.1兩個(gè)事件的獨(dú)立性定義:設(shè)A,B是兩事件,如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)則稱A,B為相互獨(dú)立(Mutualindependence)的事件.定義:設(shè)A，B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，如果

P（B|A）=P（B）即事件B發(fā)生的可能性不受事件A的影響，則稱事件B對(duì)于事件A獨(dú)立.定理:零概率事件與任何事件都是互相獨(dú)立的.證明:設(shè)P(A)=0,B為任一事件,因?yàn)?/p>

ABA所以

0=P(AB)≤P(A)故

P(AB)=0=0P(B)=P(A)P(B)定理:概率為1的事件與任何事件都是互相獨(dú)立的.證明:設(shè)P(A)=1,B為任一事件,則1=P(A)≤P(A+B)≤1所以P(A+B)=1又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)故P(AB)=P(B)=P(A)P(B)證明:定理:若P(A)>0,P(B)>0,則A,B相互獨(dú)立與A,B互不相容不能同時(shí)成立.證明:(1)若A,B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B)≠0即A,B是相容的.(2)若A,B互不相容,則AB=,P(AB)=0.因此0=P(AB)≠P(A)P(B)>0定理:設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0.則A,B相互獨(dú)立的充要條件是P(B|A)=P(B)證明:(必要性)若A,B相互獨(dú)立,即P(AB)=P(A)P(B),又P(A)>0,則P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A)P(B)/P(A)=P(B)(充分性)若P(B|A)=P(B),則P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例:甲、乙兩個(gè)戰(zhàn)士打靶,甲的命中率為0.9,乙的命中率為0.85,兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo),各打一槍.求目標(biāo)被擊中的概率.解:設(shè)A={甲擊中目標(biāo)},B={乙擊中目標(biāo)},C={目標(biāo)被擊中},則P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.85-0.9×0.85=0.985例:設(shè)一個(gè)產(chǎn)品分二道工序獨(dú)立生產(chǎn),第一道工序的次品率為10%,第二道工序的次品率為3%.問該產(chǎn)品的次品率是多少?解法1:設(shè)A={任取一件產(chǎn)品為正品},B={任取一件產(chǎn)品為次品},Ai={第i道工序?yàn)檎穧(i=1,2),則=(1-10%)(1-3%)=0.873所以P(B)=1-P(A)=1-0.873=0.127解法2:例:設(shè)一個(gè)產(chǎn)品分二道工序獨(dú)立生產(chǎn),第一道工序的次品率為10%,第二道工序的次品率為3%.問該產(chǎn)品的次品率是多少?=10%+3%-10%×3%=0.127§5.2多個(gè)事件的獨(dú)立性定義:設(shè)A,B,C是三事件,如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)

則稱三事件A,B,C兩兩獨(dú)立（independencebetweenthem）.定義:設(shè)A,B,C是三事件,如果具有等式

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

則稱三事件A,B,C為相互獨(dú)立（independenceeachother）的事件.定義:設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,如果對(duì)于任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)

則稱這n個(gè)事件A1,A2,…,An是兩兩獨(dú)立的.定義:設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,如果對(duì)于任意k(1<k≤n),任意1≤i1<i2<…<ik≤n,具有等式P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)

則稱A1,A2