高等數(shù)學(xué) (B) 教學(xué)大綱

高等數(shù)學(xué)(B)教學(xué)大綱（課程編號(hào)07011211。學(xué)分--學(xué)時(shí)--上機(jī)：10–192--8）東南大學(xué)數(shù)學(xué)系一、課程的性質(zhì)與目的本課程是工科類各專業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課程。本課程的教學(xué)目的，是使學(xué)生系統(tǒng)地獲得微積分與常微分方程的基本知識(shí)（基本概念、必要的基礎(chǔ)理論和常用的運(yùn)算方法），培養(yǎng)學(xué)生具有比較熟練的運(yùn)算能力、抽象思維和形象思維能力、邏輯推理能力、自學(xué)能力以及一定的數(shù)學(xué)建模能力，正確領(lǐng)會(huì)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，以提高抽象概括問(wèn)題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)為學(xué)習(xí)后繼課程和知識(shí)的自我更新奠定必要的基礎(chǔ)。二、課程內(nèi)容的教學(xué)要求1．高等數(shù)學(xué)I（1）極限與連續(xù)：理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念，理解函數(shù)左、右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系，會(huì)利用極限定義證明某些簡(jiǎn)單的極限；掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法，知道Cauchy收斂準(zhǔn)則；理解無(wú)窮小、無(wú)窮大及無(wú)窮小的階的概念，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限；理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)和間斷的概念，知道函數(shù)的一致連續(xù)性概念；了解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握討論連續(xù)性的方法，會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型；了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理、最值定理和介值定理），會(huì)用介值定理討論方程根的存在性。（2）一元函數(shù)微分學(xué)：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)的可導(dǎo)性和連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實(shí)際意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)表達(dá)科學(xué)技術(shù)中一些量的變化率，了解微分概念中所包含的局部線性化的思想；熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則及基本公式，了解一階微分形式的不變性；熟練掌握初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)計(jì)算常用簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求函數(shù)的微分；會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)；理解并掌握Rolle定理、Lagrange中值定理，了解Cauchy中值定理；理解函數(shù)的極值概念，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，判斷函數(shù)增減性、凸性、求曲線拐點(diǎn)及函數(shù)作圖（包括求漸近線）的方法，會(huì)解決應(yīng)用題中簡(jiǎn)單的最大值和最小值問(wèn)題；熟練掌握利用L′Hospital法則求未定式極限的方法；理解并掌握Taylor定理，掌握ex、sinx、cosx、ln(1+x)及(1+x)的Maclaurin公式，了解Taylor定理中用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的思想；了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑；知道求方程近似根的二分法和切線法的思想。（3）一元函數(shù)積分學(xué)：理解原函數(shù)、不定積分和定積分的概念及性質(zhì)，了解定積分中值定理；理解變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握Newton-Leibniz公式；熟練掌握不定積分的基本公式，不定積分和定積分的換元和分部積分法；會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)、簡(jiǎn)單三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分；熟練掌握用微元法建立一些常見(jiàn)的幾何量和物理量的定積分表達(dá)式，從而求出這些量的方法，會(huì)求函數(shù)的平均值；了解梯形法和拋物線法求定積分的近似值的基本思想；理解兩類反常積分的概念，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的反常積分。（4）常微分方程：理解微分方程的階及其解、通解、初始條件和特解等基本概念；熟練掌握一階變量可分離方程和線性方程的解法；掌握一階齊次型方程和Bernoulli方程的識(shí)別和解法，從中領(lǐng)會(huì)用變量代換求解微分方程的思想；會(huì)識(shí)別及解全微分方程；掌握用降階法求解某些特殊類型的二階方程；理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；熟練掌握二階常系數(shù)線性齊次方程及具有某些特殊自由項(xiàng)的非齊次方程的解法，知道高階常系數(shù)線性齊次方程的解法；了解用常數(shù)變易法解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的思想；會(huì)識(shí)別及求解Euler方程；知道簡(jiǎn)單的常系數(shù)線性微分方程組的解法；會(huì)用微分方程或方程組解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題；知道微分方程的冪級(jí)數(shù)解法。（4）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：了解數(shù)學(xué)軟件Mathematica的基本知識(shí)和主要功能，會(huì)利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行觀察數(shù)列極限、繪制一元函數(shù)圖形及考察其性態(tài)、Taylor公式與函數(shù)逼近、定積分近似計(jì)算等實(shí)驗(yàn)。2．高等數(shù)學(xué)II（1）無(wú)窮級(jí)數(shù)：理解級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；掌握幾何級(jí)數(shù)和p級(jí)數(shù)的收斂性；掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法及其極限形式和根值審斂法，熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法，知道正項(xiàng)級(jí)數(shù)的積分審斂法；知道反常積分的審斂法（比較法和極限法）；掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz定理，并會(huì)估計(jì)符合Leibniz定理?xiàng)l件的交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差；理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂的概念，知道任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂步驟；理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域及和函數(shù)的概念，知道一致收斂概念和優(yōu)級(jí)數(shù)判別法；熟練掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和；了解函數(shù)展開(kāi)為T(mén)aylor級(jí)數(shù)的充分必要條件，熟練掌握和的Maclaurin展開(kāi)式，會(huì)用間接法將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)，了解利用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算的思想；了解用三角級(jí)數(shù)逼近周期函數(shù)的思想，理解Fourier級(jí)數(shù)的概念，了解函數(shù)展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)的Dirichlet定理，會(huì)將定義在[-]上的函數(shù)展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)，會(huì)將[0，]上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)，知道Fourier級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式。（2）向量代數(shù)與空間解析幾何：理解向量的概念，熟練掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積）及兩個(gè)向量夾角的求法，平行和垂直的條件，知道三向量共面的條件；掌握單位向量、方向數(shù)、方向余弦及向量的坐標(biāo)表達(dá)式，熟練地用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算；熟悉平面和直線的方程，掌握根據(jù)已知條件求平面和直線方程的方法，掌握利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題；理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形，知道用截痕法討論曲面的方法；掌握以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解空間曲線的一般式方程與參數(shù)式方程，了解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影，并會(huì)求其方程。（3）多元函數(shù)微分學(xué)：理解點(diǎn)集、鄰域、區(qū)域及多元函數(shù)的概念；了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念，知道有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的充分條件和必要條件，了解全微分形式的不變性，會(huì)求全微分；理解和掌握方向?qū)?shù)和梯度的概念和求法；熟練掌握復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法；知道二元函數(shù)的Taylor公式；掌握空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的求法；理解多元函數(shù)的極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件并會(huì)求極值，會(huì)用Lagrange乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。（4）多元函數(shù)積分學(xué)：理解二重積分、三重積分、兩類曲線積分及兩類曲面積分的概念和性質(zhì)；熟練掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）和三重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)）；知道重積分的一般換元法則，會(huì)用一般換元法則計(jì)算一些簡(jiǎn)單的二重積分和三重積分；熟練掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的計(jì)算法，了解兩類曲線積分、兩類曲面積分之間的區(qū)別和聯(lián)系；掌握Green公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)；掌握Gauss公式并會(huì)利用它計(jì)算曲面積分，了解Stokes公式，并能利用它計(jì)算某些曲線積分；會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量；了解場(chǎng)的基本概念和某些特殊場(chǎng)，了解散度、旋度的概念及計(jì)算。（5）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：會(huì)利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行空間曲線與曲面的繪制、無(wú)窮級(jí)數(shù)與函數(shù)逼近、最小二乘法等實(shí)驗(yàn)；會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單編程。三、上機(jī)實(shí)驗(yàn)要求通過(guò)上機(jī)實(shí)習(xí)學(xué)會(huì)使用軟件和進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行觀察數(shù)列極限、繪制函數(shù)圖形及考察其性態(tài)、積分近似計(jì)算、函數(shù)逼近等實(shí)驗(yàn)。四、能力培養(yǎng)的要求1．抽象思維能力的培養(yǎng)：主要通過(guò)對(duì)基本概念、主要定理和典型例題的講授及學(xué)生通過(guò)證明題的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、分析論證、演繹歸納、空間想象等抽象思維能力。2．計(jì)算能力的培養(yǎng)：要求學(xué)生通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，具有熟練進(jìn)行微積分基本運(yùn)算的能力。3．自學(xué)能力的培養(yǎng)：通過(guò)本課程的教學(xué)，培養(yǎng)和提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理、概括、消化吸收的能力，以及圍繞教學(xué)內(nèi)容，閱讀參考資料，自我擴(kuò)充知識(shí)領(lǐng)域的能力。4．表達(dá)能力的培養(yǎng)：主要通過(guò)作業(yè)和習(xí)題課與課堂討論，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)書(shū)面或口頭清晰、簡(jiǎn)潔地表達(dá)自己理解問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路和步驟的能力。5．創(chuàng)新能力的培養(yǎng)：通過(guò)作業(yè)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、深入鉆研問(wèn)題的習(xí)慣以及一題多解、舉一反三的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。四、建議學(xué)時(shí)分配課程內(nèi)容講課習(xí)題課或課堂討論上機(jī)高等數(shù)學(xué)I64324極限、連續(xù)146一元函數(shù)微分學(xué)1810一元函數(shù)積分學(xué)168常微分方程128數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)4高等數(shù)學(xué)II64326無(wú)窮級(jí)數(shù)165向量代數(shù)與空間解析幾何102多元函數(shù)微分學(xué)123多元函數(shù)積分學(xué)226數(shù)學(xué)