平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)十八講》第四講 答案

平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講》答案EatingNoodles第四講VNM效用函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)升水（單項(xiàng)選擇）一個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為，則他的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)為：

（A）（B）（C）（D）

解：B．計(jì)算過(guò)程為

．證明：若一個(gè)人的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)為常數(shù)，則其效用函數(shù)形式必為，這里代表財(cái)產(chǎn)水平．

說(shuō)明：這個(gè)結(jié)論是有問(wèn)題的，若要成立需要加上條件．

證明：由已知得

，

因此

，其中，為任意實(shí)數(shù)．

如果，根據(jù)效用函數(shù)可單調(diào)變換的性質(zhì)，該偏好可以用效用函數(shù)形式表示．如果，那么該偏好可以用效用函數(shù)形式表示．若一個(gè)人的效用函數(shù)為，證明：其絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)是財(cái)富的嚴(yán)格增函數(shù)．

說(shuō)明：這個(gè)結(jié)論是有問(wèn)題的．一個(gè)正確的結(jié)論是，補(bǔ)充條件，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)在時(shí)，是財(cái)富的嚴(yán)格增函數(shù)．

證明：直接運(yùn)用絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)的定義：

當(dāng)時(shí)，

，；

即，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)在上是財(cái)富的嚴(yán)格增函數(shù)．

注意：，．

[注]在出現(xiàn)從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的跳躍，與時(shí)，效用是財(cái)富的減函數(shù)，而時(shí)是財(cái)富的增函數(shù)有關(guān)．不過(guò)，也許正是為了避免很不符合實(shí)際又麻煩的情況，一般研究不確定情況下的選擇時(shí)，效用函數(shù)被認(rèn)定為財(cái)富的增函數(shù)；而下面的所有類似題目中，我均假設(shè)效用函數(shù)為財(cái)富的增函數(shù)．

另外，我在題目中沒有限制財(cái)富量為非負(fù)．設(shè)一種彩票贏得900元的概率為，而獲得100元的概率為．計(jì)算該彩票的期望收入．若一個(gè)人對(duì)該彩票的出價(jià)超過(guò)彩票的期望收入，請(qǐng)寫出這個(gè)人的效用函數(shù)形式．（形式不唯一）

解：彩票的期望收入為260元．這個(gè)人是風(fēng)險(xiǎn)偏好的；要描述他的效用，最方便的形式之一就是有常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)的效用函數(shù)形式，比如

，其中為收入水平．證明：在下列效用函數(shù)中，哪些顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為：，，．

由，得到，因此該效用函數(shù)顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為．

[注]這里規(guī)定，下同．．

由，知，因此該效用函數(shù)不顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為．，．

由，得到，因此該效用函數(shù)顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為．．

由，得到，因此該效用函數(shù)不顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為．一個(gè)具有VNM效用函數(shù)的人擁有160000單位的初始財(cái)產(chǎn)，但他面臨火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)：一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會(huì)使其損失70000；另一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會(huì)使其損失120000．他的效用函數(shù)形式是．若他購(gòu)買保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司要求他自己承擔(dān)前7620單位的損失（若火災(zāi)發(fā)生）．什么是這個(gè)投保人愿支付的最高保險(xiǎn)金？（需要補(bǔ)充的條件為：兩種火災(zāi)的發(fā)生是相斥事件）

解：如果保險(xiǎn)人不購(gòu)買保險(xiǎn)，他不發(fā)生火災(zāi)損失的概率為他的期望效用水平為

．

同時(shí)，他愿支付的最高保險(xiǎn)金，就是使他在支付前后效用水平相等的保險(xiǎn)金，

即有．

解得：，（舍去）

即，投保人愿意付的最高保險(xiǎn)金為22008元．

[注]一般的假定是，如果決策者在選擇間無(wú)差異的時(shí)候，就表示他在做一個(gè)隨機(jī)決策，也就是說(shuō)，任何決策他都是愿意接受的．反過(guò)來(lái)，假定決策者在選擇間無(wú)差異時(shí)，卻出現(xiàn)了他不愿意選擇某一個(gè)決策的情況，那就是說(shuō)明他在決策間不是無(wú)差異的．這種“無(wú)差異”方法在解題中使用很多．支支付賭局10000元1000元0元1234考慮下列賭局

上表內(nèi)，矩陣中的數(shù)字代表每一種結(jié)果的發(fā)生概率（比如，在賭局1中，發(fā)生10000元的概率為）．如果有人告訴你，他在賭局“1”與“2”之間嚴(yán)格偏好于“1”，在賭局“3”與“4”之間嚴(yán)格偏好于“3”．請(qǐng)問(wèn)他的選擇一致嗎？請(qǐng)做出說(shuō)明．

說(shuō)明：設(shè)此人的效用函數(shù)為．令，，，其中．

計(jì)算出賭局所對(duì)應(yīng)的期望效用，．

，，，．

根據(jù)已知條件可以得到，．

由于，所以我們不能斷定他的選擇不是一致的．

[注]此前我對(duì)這道題的解答依賴于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好是否一致，不好．現(xiàn)在的解法中，判斷依據(jù)僅僅是關(guān)于不確定性下選擇的幾個(gè)公理，具有更廣的一般性．兩匹馬賽跑．李某對(duì)該賽馬打賭．馬A與B之間，或A贏，或B贏，無(wú)平局．李某按下列偏好序?qū)Υ蛸€進(jìn)行排序：

他在A上下賭注2元，如果A贏了，則會(huì)獲得元；若A輸了，則分文無(wú)收．

不賭．

他在B上下賭注2元，如果B贏了，則會(huì)獲得元；若B輸了，則分文無(wú)收．你能得出結(jié)論說(shuō)，李某相信A獲勝的概率P大于嗎？

解：記李某的效用函數(shù)為，不賭時(shí)的財(cái)富水平為．令，，．

那么在A身上下賭注，那么期望效用，在B身上下賭注，期望效用為，不下注，效用．

由李某的偏好關(guān)系，我們可以得到，即．

[注]一個(gè)比較瘋狂的想法是想看看時(shí)是否與相同的偏好關(guān)系相容．事實(shí)上，只要財(cái)富的邊際效用為正（這也是我一直假設(shè)的），這就是不可能的．如果李某是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，你能知道的值嗎？

解：如果李某是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，有，其中．由，那么存在一個(gè)，使得．即有，即得到．一個(gè)消費(fèi)者具有VNM效用函數(shù)，他面臨四種結(jié)局：A、B、C、D．其偏好序?yàn)椋囼?yàn)顯示，他認(rèn)為

（這里的等號(hào)表示“無(wú)差異”）

請(qǐng)對(duì)A、B、C、D四種結(jié)局構(gòu)筑出一組VNM效用值．

解：令，，（由連續(xù)性公理）有

，

．近年來(lái)保險(xiǎn)業(yè)在我國(guó)得到迅速發(fā)展，本題應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)原理分析為什么人們?cè)敢赓?gòu)買保險(xiǎn)．假定有一戶居民擁有財(cái)富10萬(wàn)元，包括一輛價(jià)值2萬(wàn)元的摩托車．該戶居民所住地區(qū)時(shí)常發(fā)生盜竊，因此有25%的可能性該戶居民的摩托車被盜．假定該戶居民的效用函數(shù)為，其中表示財(cái)富價(jià)值．計(jì)算該戶居民的效用期望值．

解：．如何根據(jù)效用函數(shù)判斷該戶居民是愿意避免風(fēng)險(xiǎn)，還是愛好風(fēng)險(xiǎn)？

解：利用絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)來(lái)計(jì)算，具體地，由

，（）

可以得到該戶居民是愿意避免風(fēng)險(xiǎn)的．如果居民支付一定數(shù)額的保險(xiǎn)費(fèi)則可以在摩托車被盜時(shí)從保險(xiǎn)公司得到與摩托車價(jià)值相等的賠償．試計(jì)算該戶居民最多愿意支付多少元的保險(xiǎn)費(fèi)．

解：思路同第六題．該戶居民最多愿意支付的保險(xiǎn)費(fèi)就是使他的期望效用在支付前后不變的保險(xiǎn)費(fèi)．設(shè)保險(xiǎn)費(fèi)為，有

元

即該戶居民最多愿意支付的保險(xiǎn)費(fèi)是6099元．在該保險(xiǎn)費(fèi)中“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)（即該戶居民的期望損失）是多少元？保險(xiǎn)公司扣除“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)后的純收入是多少元？

解：公平保險(xiǎn)為元．保險(xiǎn)公司扣除公平保險(xiǎn)費(fèi)的純收入R的期望值為

下列三個(gè)說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．摸彩票的期望收益低于消費(fèi)者付出的貨幣，而消費(fèi)者卻常常熱衷于此，說(shuō)明在這種情況下，摸彩票的人是喜愛風(fēng)險(xiǎn)的．

對(duì)．

[注]小賭時(shí)可能是風(fēng)險(xiǎn)趨向的，大賭就不一定了．一個(gè)人面對(duì)兩種收入可能，一種是獲得2000元和1000元收入的概率均為0.5，另一種是獲得2500元和500元收入的概率各為0.5，兩種情況的期望收入相同，故消費(fèi)者對(duì)二者的評(píng)價(jià)相同．

不全面．它沒有考慮風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題．假如消費(fèi)者對(duì)不同的風(fēng)險(xiǎn)水平不是無(wú)差異的，這兩種收入可能的風(fēng)險(xiǎn)是不一樣的（比如，它們收入的標(biāo)準(zhǔn)差是不一樣的），因此，消費(fèi)者對(duì)二者的評(píng)價(jià)不一定會(huì)相同．一個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為，有兩種可能的收益，第一種是獲得4元和25元的概率均為0.5，另一種情況是他獲得9元和16元的概率分別為0.4和0.6，則他對(duì)第一種的評(píng)價(jià)好于第二種．

錯(cuò)．在第一種情況下，

；

在第二種情況下，

．

即他對(duì)第二種的評(píng)價(jià)好于第一種．一個(gè)人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)的原形是．他有機(jī)會(huì)參與擲硬幣，頭面向上的概率均為．如果他下賭注元，若頭面向上，他會(huì)擁有；反之，若背面向上，則他只擁有．請(qǐng)解出其作為的函數(shù)的最優(yōu)賭注量．當(dāng)，什么是他的關(guān)于的最佳選擇？

解：設(shè)擲硬幣為賭局．那么該賭局的效用

使最大化的所滿足的一階條件為：

解得

．

又，因此他的最優(yōu)賭注為

當(dāng)時(shí)，直接應(yīng)用前面得到的結(jié)果，得出他的最佳選擇是．

[注]多說(shuō)兩句．當(dāng)想強(qiáng)調(diào)是一個(gè)函數(shù)的時(shí)候，但又不愿意寫出它的自變量時(shí)，就常常采用的形式．如果只愿意寫出自變量，但又想說(shuō)是多元函數(shù)，那么可以采用的形式．一個(gè)人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)原形為．他的財(cái)產(chǎn)初值為4元．他擁有一張獎(jiǎng)券，該獎(jiǎng)券值12元的概率為0.5，值零元．什么是這個(gè)人的期望效用？若要他出讓該彩票，他索取的最低價(jià)會(huì)是多少？

解：擁有這張獎(jiǎng)券意味著參加了抽獎(jiǎng)的賭局，設(shè)該賭局為．他的期望效用為

若讓他出讓該彩票，他索取的最低價(jià)應(yīng)當(dāng)是使他出讓前后效用水平不變化的價(jià)格，設(shè)該價(jià)格為，有

，即

解得．即他索取