4.7 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用microsoft word 文檔doc-高中數(shù)學(xué)

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4.7三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.掌握三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)和恒等變形，會用反三角函數(shù)表示角；

2．掌握正、余弦定理解斜三角形的方法；

3．能解決三角函數(shù)與幾何、向量綜合的題目,能用三角知識解決簡單的實際問題。

二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換;

三角函數(shù)的化簡,求值,證明——恒等變形的策略與技巧.

正、余弦定理,斜三角形的可解類型;在應(yīng)用題中要能抽象或構(gòu)造出三角形;

4．在應(yīng)用與綜合性題目中,當(dāng)角不是特殊角,要“用反三角函數(shù)表示角”:

(1)

(2)arccosa表示[0，π]上余弦值等于a的角,a∈[－1,1];

(3)

(4)對于不是上述范圍內(nèi)的角,可借助誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)線,找出與上述反三角的關(guān)系進(jìn)而求出.例如:sinα=0.3,α是鈍角,則α=π－arcsin0.3.

三、雙基題目練練手

1.已知，則x等于（）

2.若A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則點P（cosB－sinA，sinB－cosA）在()

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限

3．的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則(）

A

C

D

B

陽光

地面

A．和都是銳角三角形

B．和都是鈍角三角形

C．是鈍角三角形，是銳角三角形

D．是銳角三角形，是鈍角三角形

4.如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為

A.75° B.60° C.50° D.45°

5．（2003上海）若x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），則α=_________.

6．（2004北京西城二模）函數(shù)y=sinx(sinx+cosx）（x∈R）的最大值是_______.

◆答案:1-4.CBDC;2.A+B＞.∴A＞－B，B＞－A.

∴sinA＞cosB，sinB＞cosA.,P在第二象限.

3.sinA2=cosA1,……A1、B1、C1是銳角。如果A2、B2、C2也是銳角，則，矛盾，故選D。

4.作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE=40°,延長DE交直線AB于F，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，在△CFD中，=.∴DF=.當(dāng)α=50°時，DF最大.答案：C;5.;6.最大值為1+=.

四、經(jīng)典例題做一做

【例1】求角(用反三角函數(shù)表示):

(1)已知tanx=3,x∈[0.2π]求x的值;

(2)已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π,)

求α+β.

解：(1)在上,時,tanx=3;

在上,,

∴x=arctan3或π+arctan3.

(2)由;得

sinα=,從而cosα=,且cosβ=-

又α+β∈(π,2π)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.

∴α+βπ=

即α+β=2π-arccos

◆提煉方法：求角先求三角函數(shù)值,求什么三角函數(shù)值要先看角的范圍,如本題(2)應(yīng)求余弦而不能求正弦.角不在主值區(qū)間時,要借助圖象、三角函數(shù)線或誘導(dǎo)公式寫出符合條件的角。

【例2】（2007啟東質(zhì)檢）已知A、B、C是三內(nèi)角，向量，且，

（1）求角A；

（2）若，求

解:（1）∵∴，即

,

∵，∴，∴

（2）由題知，整理得

∴，∴，∴或

而使，舍去，∴

∴

【例3】在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)檢測，當(dāng)前臺

風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南方向

300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北的

方向移動，臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，

并以10km/h的速度不斷增加，問幾小時后該城市開始受到

臺風(fēng)的侵襲。

解法一:設(shè)在時刻t(h)臺風(fēng)中心為Q,此時臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t+60(km)

若在時刻t城市O受到臺風(fēng)的侵襲,則

由余弦定理知

由于PO=300,PQ=20t

故

因此

解得

解法二:如圖建立坐標(biāo)系：以O(shè)為原點，正東方向為x軸正向.在時刻：t（h）臺風(fēng)中心的坐標(biāo)為

此時臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是，其中t+60，

若在t時，該城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則有

即

即，解得.

答：12小時后該城市開始受到臺風(fēng)氣侵襲

◆提煉方法：實際應(yīng)用問題，要從中找出題中的三角形和已知的邊角等條件，再設(shè)計出合理的解題方案。

【例4】已知函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象.⑴求函數(shù)的表達(dá)式;

⑵證明當(dāng)時，經(jīng)過函數(shù)圖象上任意兩點的直線的斜率恒大于零.

解：（I）

（II）證明一：依題意，只需證明函數(shù)g(x)當(dāng)時是增函數(shù)

在即的每一個區(qū)間上是增函數(shù)

當(dāng)時，在是增函數(shù),則當(dāng)時，經(jīng)過函數(shù)g(x)圖像上任意兩點的直線的斜率恒大于零

【研討.欣賞】某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點到市中心O點后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計算）

解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.

因為AO為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.

又O到AB的距離為10.

∴

設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.

所以a=，b=，

ab=·

=

=

=≥，

當(dāng)且僅當(dāng)α=22°30′時，“=”成立.

所以|AB|2≥=400（+1）2，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，α=22°30′時，“=”成立.

所以當(dāng)a=b==10時，即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點10km處，能使|AB|最短，最短距離為20（－1）.

法二;

…

法三:|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，…

◆溫馨提示:1.若直接建立|AB|2與角α的函數(shù)關(guān)系,求最值值困難;

2.先視|AB|2為a,b的函數(shù)放縮,再把ab看成α的函數(shù)求出最小值;

3.要使|AB|2取到最小值,必須保證兩處等號同時成立.

五．提煉總結(jié)以為師

1.三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)和恒等變形，反三角函數(shù)表示角；

2．正、余弦定理解斜三角形的方法；

3．三角函數(shù)綜合性題目中常用到換元思想、整體代換及數(shù)形結(jié)合等；

實際應(yīng)用問題主要是找出三角形及其邊角關(guān)系。

同步練習(xí)4.7三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

【選擇題】

1.（2004北京西城一模）設(shè)0＜|α|＜，則下列不等式中一定成立的是

A.sin2α＞sinα B.cos2α＜cosα

C.tan2α＞tanα D.cot2α＜cotα

2.己知0＜a＜1，＜α＜，則實數(shù),,

的大小關(guān)系是()

(A)M＞N＞P (B)M＞P＞N (C)M＜N＜P (D)M＜P＜N

3.對于函數(shù)y=cos(sinx)，正確的命題是(C)

A.它的定義域是［-1，1］B.它是奇函數(shù)C.y∈［cos1,1］D.不是周期函數(shù)

4.（2005啟東市調(diào)研）在斜△ABC中，sinA=－cosBcosC且tanBtanC=1－，則∠A的值為()

A. B. C. D.

【填空題】

5.函數(shù)y=sinx－cosx的圖象可由y=sinx+cosx的圖象向右平移_______個單位得到.

6.已知x∈（0，）,則函數(shù)y=的值域是_________.

◆練習(xí)簡答：1-4.BBCA；4.由.sinA=sin（B+C）=－cosBcosC，得tanB+tanC=－1.

又tan（B+C）==－，tanA=.…A=.

5.;6.y=.令=m，m∈（，1），

則y=－2m2+3m－1.∈（0，］.

【解答題】

7．(1)已知，求角的集合;

(2)已知cosx=-0.4,x∈[0,2π],求角x的集合.

解：先找出一個周期上的角,再加上周期.

在上,;

在上,,

所求角x的集合為：

（常寫成）

當(dāng);

當(dāng)

綜上得

8．為進(jìn)行科學(xué)實驗，觀測小球A、B在兩條相交成角的直線型軌道上運動的情況，如圖所示，運動開始前，A和B分別距O點3m和1m，后來它們同時以每分鐘4m的速度各沿軌道按箭頭的方向運動。問：

（I）運動開始前，A、B的距離是多少米？（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）。

（Ⅱ）幾分鐘后，兩個小球的距離最小？

AA/Ol1

l2

B/

B

解：小球開始運動前的距離為：

（2）設(shè)t分鐘后，小球A、B分別運動到A’、B’處，則

當(dāng)時，

當(dāng)時，

故

當(dāng)，

故分鐘后兩個小球的距離最小。

9．P是以F1、F2為焦點的橢圓上一點，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求證：橢圓的離心率為e=2cosα－1.

剖析：依據(jù)橢圓的定義2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，

∴e=.

在△PF1F2中解此三角即可得證.

證明：在△PF1F2中，由正弦定理知

==.

由比例的性質(zhì)得=

e===

=

==2cosα－1.

評述：恰當(dāng)?shù)乩帽壤男再|(zhì)有事半功倍之效.

10．中，內(nèi)角..的對邊分別為..，已知..成等比數(shù)列，且

（1）求的值；

（2）若，求的值

解:（1）由得：

由及正弦定理得：

于是：

（2）由得：，因，所以：，即：

由余弦定理得：

于是：

故：a+c

【探索題】(2005上海)對定義域是.的函數(shù).，

規(guī)定：函數(shù)

（1）若函數(shù)，，寫出函數(shù)的解析式；

（2）求問題（1）中函數(shù)的值域；

（3）若，其中是常數(shù)，且，請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)，及一個的值，使得，并予以證明

[解](1)

(2)當(dāng)x≠1時,h(x)==x－1++2,

若x>1時,則h(x)≥4,其中等號當(dāng)x=2時成立

若x<1時,則h(x)≤0,其中等號當(dāng)x=0時成立

∴函數(shù)h(x)的值域是(－∞,0]∪{1}∪[4,+∞)

(3)令