專題21 數(shù)列與不等式結(jié)合的問題（原卷版）

專題21數(shù)列與不等式結(jié)合的問題一、題型選講題型一不等式恒成立中的參數(shù)的范圍，求解數(shù)列與不等式相結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù)在定義域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，有恒成立；恒成立；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡不等式，再通過解不等式解得．例1、(2019鎮(zhèn)江期末）設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a2a4＝64.數(shù)列{bn}滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2.(1)分別求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．(2)若不等式λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2b1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2b2)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2bn)))<eq\f(1,\r(2bn＋1))對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．(3)已知k∈N*，對(duì)于數(shù)列{bn}，若在bk與bk＋1之間插入ak個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}．設(shè)數(shù)列{cn}的前m項(xiàng)的和為Tm，試問：是否存在正整數(shù)m，使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．例2、(2019南京、鹽城二模）已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意n∈N*，都有(a1a2…an)2＝aeq\o\al(n＋1,1)aeq\o\al(n－1,n＋1).(1)若a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，求eq\f(a2,a1)的值；(2)①求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；②若對(duì)任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求數(shù)列{an}的公比q的取值范圍．例3、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均不為零．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}的前n項(xiàng)和為Tn，且3Seq\o\al(2,n)－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.(1)求a1，a2的值；(2)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(3)若(λ－nan)(λ－nan＋1)<0對(duì)任意的n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的所有值．題型二、運(yùn)用放縮法證明不等式與常數(shù)的關(guān)系此類問題往往與數(shù)列和有關(guān)，通過數(shù)列求和的方法研究求和或者通過放縮法研究數(shù)列和的不等關(guān)系，一般會(huì)得出數(shù)列的和與常數(shù)與一個(gè)變量之間的關(guān)系，進(jìn)而得到與常數(shù)之間的不等關(guān)系。與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：①在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手②在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）例4、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：<.QUOTE例5、設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；數(shù)列滿足，其中．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和．題型三、運(yùn)用放縮法證明數(shù)列中的不等式在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號(hào)同方向）在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；常見的放縮：；例6：已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）記數(shù)列，證明：例7：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求證：二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、設(shè)數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，且，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使成立時(shí)的最小值為.2、在數(shù)列中，，，設(shè)，設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則使恒成立的的取值范圍.3、(2019宿遷期末）已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，對(duì)任意的n∈N*，都有2Sn＝3aeq\o\al(2,n)＋an－2.數(shù)列{bn}各項(xiàng)都是正整數(shù)，b1＝1，b2＝4，且數(shù)列ab1，ab2，ab3，…，abn是等比數(shù)列．(1)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；(3)求滿足eq\f(Sn,bn＋2)<eq\f(1,4)的最小正整數(shù)n.4、(2017揚(yáng)州期末）已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且對(duì)任意n∈N*，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立．(1)若An＝n2，b1＝2，求Bn；(2)若對(duì)任意n∈N*，都有an＝Bn及eq\f(b2,a1a2)＋eq\f(b3,a2a3)＋eq\f(b4,a3a4)＋…＋eq\f(bn＋1,anan＋1)＜eq\f(1,3)成立，求正實(shí)數(shù)b1的取值范圍；(3)若a1＝2，bn＝2n，是否存在兩個(gè)互不相等的整數(shù)s，t(1＜s＜t)，使eq\f(A1,B1)，eq\f(As,Bs)，eq\f(At,Bt)成等差數(shù)列？若存在，求出s，t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．5、(2016蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，且對(duì)任意的正整數(shù)n，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常數(shù)λ>0.設(shè)bn＝eq\f(an,3n)(n∈N*)﹒(1)若λ＝3，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通項(xiàng)公