八個有趣模型-搞定空間幾何體外接球與內切球(學生)

(圓滿版)八個風趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內切球(學生版)(圓滿版)八個風趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內切球(學生版)(圓滿版)八個風趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內切球(學生版)八個風趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內切球種類一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的地點即可求出球半徑,三棱錐與長方體的外接球同樣）PPPPO2ccccAbCCCBbabaCbAAaBBaAB圖1圖2圖3圖4方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出R例1（1）已知各極點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A．16B．20C．24D．32（2）若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為3，則其外接球的表面積是（3）在正三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且AMMN,若側棱SA23,則正三棱錐SABC外接球的表面積是。解：引理：正三棱錐的對棱互垂直，證明以下：如圖（3）-1，取AB,BC的中點D,E，連結AE,CD，AE,CD交于H，連S接SH，則H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，SHAB，ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，ABSC，同理：BCSA，ACSB，即正三棱錐的對棱互垂直，此題圖如圖（3）-2，AMMN，SB//MN，AMSB，ACSB，SB平面SAC，SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，

ACHDEB(3)題-1SA平面SBC，SASC，故三棱錐SABC的三棱條側棱兩兩互垂直，(2R)2(23)2(23)2(23)236，即4R236，外接球的表面積是36SMACNB(3)題-21（4）在四周體SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,則該四周體的外接球的表面積為（）C.10D.4033（5）假如三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是（6）已知某幾何體的三視圖如圖上右所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為種類二、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1．題設：如圖5，PA平面ABC解題步驟：第一步：將ABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD，連結PD，則PD必過球心O；

PO第二步：O1為ABC的外心，因此OO1平面ABC，算出小圓O1的半CAD1O徑O1Dr（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得Babc1PA；圖52r），OO1sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2r2OO12Rr2OO1222．題設：如圖6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱錐PABC的三條側棱相等三棱錐PABC的底面ABC在圓錐的底上，極點P點也是圓錐的極點PPPPOOOOCCCCAO1DAAO1O1O1BABBB圖6圖7-1圖7-2圖8PPPAAAO2O2BO2CDBCBDOOO圖8-1圖8-2圖8-3解題步驟：第一步：確立球心O的地點，取ABC的外心O1，則P,O,O1三點共線；第二步：先算出小圓O1的半徑AO1r，再算出棱錐的高PO1h（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R.方法二：小圓直徑參加結構大圓。例2一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為A．3B．2C．16D．以上都不對3種類三、切瓜模型（兩個平面相互垂直）PPPPOOOO1ACAO1CACAO1CBBBB圖9-1圖9-2圖9-3圖9-41．題設：如圖9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC2r；第二步：在abc2R，求出R。PAC中，可依據正弦定理sinBsinCsinA32．如圖9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑）OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2R2O1O23．如圖9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑），且P的射影是ABC的外心三棱錐PABC的三條側棱相等三棱PABC的底面ABC在圓錐的底上，極點P點也是圓錐的極點解題步驟：第一步：確立球心O的地點，取ABC的外心O1，則P,O,O1三點共線；第二步：先算出小圓O1的半徑AO1r，再算出棱錐的高PO1h（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R4．如圖9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑），且PAAC，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2r2OO12Rr2OO12例3（1）正四棱錐的極點都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為23，則該球的表面積為。（2）正四棱錐SABCD的底面邊長和各側棱長都為2，各極點都在同一個球面上，則此球的體積為（3）在三棱錐PABC中，PAPBPC3,側棱PA與底面ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為（）A．B.C.4D.433SO1SCO（4）已知三棱錐ABC的全部極點都在球的求面上,ABC是邊長為,為球的直的正三角形徑,且SC2;則此棱錐的體積為（）A．2B．3C．2D．266324種類四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）C1C1C1A1A1O2A1O2O2B1B1B1OOOCCCAAO1AO1BBO1B圖10-1圖10-2圖10-3題設：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面能夠是隨意三角形）第一步：確立球心O的地點，O1是ABC的外心，則OO1平面ABC；第二步：算出小圓O1的半徑AO1r，OO11AA11h（AA1h也是圓柱的高）；22第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(h)2r2Rr2(h)2，解出R22例4（1）一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的極點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長為3，則這個球的體積為8（2）直三棱柱ABCA1B1C1的各極點都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，則此球的表面積等于。（3）已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面相互垂直，EAEB3,AD2,AEB60，則多面體EABCD的外接球的表面積為。（4）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4,AC6,A,AA14則直三棱柱ABCA1B1C1的外接球3的表面積為。5種類五、折疊模型題設：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一同，或菱形折疊(如圖11)A'OH2DAH1ECB圖11第一步：先畫出以以下圖的圖形，將BCD畫在小圓上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點即為球心O，連結OE,OC；第三步：解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：OH12CH12OC2例5三棱錐PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱錐PABC外接球的半徑為.種類六、對棱相等模型（補形為長方體）題設：三棱錐（即四周體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（ABCD，ADBC，ACBD）第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；第二步：設出長方體的長寬高分別為a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程組，a2b2x2c2x2y2z2b2c2y2(2R)2a2b2，c2a2z22

AxDyyczz增補：VABCDabc1abc41abcxCBab63第三步：依據墻角模型，2Ra2b2c2x2y2z2，圖122R2x2y2z2，Rx2y2z2，求出R，88比方，正四周體的外接球半徑可用此法。例6（1）棱長為2的正四周體的四個極點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四周體的截面)的面積是.(1)題6（2）一個正三棱錐的四個極點都在半徑為1的球面上，此中底面的三個極點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A．33B．3C．3D．343412（3）在三棱錐ABCD中，若ABCD2,ADBC3,ACBD4,則三棱錐ABCD外接球的表面積為。（4）在三棱錐ABCD中，ABCD5,ACBD6,ADBC7,則該三棱錐外接球的表面積為.（5）正四周體的各條棱長都為2，則該正面體外接球的體積為種類七、兩直角三角形拼接在一同(斜邊同樣,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型PBCOA圖13題設：APBACB90，求三棱錐PABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點O，連結OP,OC，則OAOBOCOP1AB，O為三棱錐PABC外接球球心，此后在OCP中求出2半徑）例7（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四周體ABCD的外接球的體積為（）A．125B．125C．125D．12512963（2）在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD將矩形ABCD折疊，連結AC，所得三棱錐ABCD的外接球的表面積為．7種類八、錐體的內切球問題1．題設：如圖14，三棱錐PABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現出內切球的截面圖，E,H分別是兩個三角形的外心；第二步：求DH1BD，POPHr，PD是側面ABP的高；3PDH，成立等式：OEPO，解出r第三步：由POE相像于DHPD2．題設：如圖15，四棱錐PABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現出內切球的截面圖，P,O,H三點共線；第二步：求FH1BC，POPHr，PF是側面PCD的高；2第三步：由POG相像于PFH，成立等式：OGPO，解出HFPF3．題設：三棱錐PABC是隨意三棱錐，求其的內切球半徑

PEOACDHB14PGOADEHFBC15方法：等體積法，即內切球球心與四個面組成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設內切球的半徑為r，成立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBCVPABC1SABCr11SPAC1SPBCr1SPABSPACSPBC)r3SPABrr(SABC3333第三步：解出r3VPABCSOSOSOPACSOPBCABCPAB習題：SABCSA2SBSC41．若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，則該三棱錐的外接球半徑為（），A.3B.6C.36D.92．三棱錐SABC中，側棱SA平面ABC，底面ABC是邊長為3的正三角形