中學(xué)八年級數(shù)學(xué)競賽講座

第一講因式分解（一）第二講因式分解（二）第三講實數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用第四講分式的化簡與求值第五講恒等式的證明第六講代數(shù)式的求值第七講根式及其運算第ハ講非負(fù)數(shù)第九講一元二次方程第十講三角形的全等及其應(yīng)用第十一講勾股定理與應(yīng)用第十二講平行四邊形第十三講梯形第十四講中位線及其應(yīng)用第十五講相似三角形（一）第十六講相似三角形（二）第十七講?集合與簡易邏輯第一講因式分解(一)多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一,它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中,是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具.因式分解方法靈活,技巧性強,學(xué)習(xí)這些方法與技巧,不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能,發(fā)展學(xué)生的思維能力,都有著十分獨特的作用.初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.本講及下ー講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹.1.運用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式,現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如:(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再補充幾個常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-b"=(a-b)(an，a*2b+a+3b2+…+ab*2+be)其中n為正整數(shù);(8)an-bn=(a+b)(an'1-an2b+an3b2--??+abn'2-bn-1),其中n為偶數(shù):(9)an+bn=(a+b)(an'1-an'2b+an_3b2--abn'2+bn-1),其中n為奇數(shù).運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.例1分解因式:⑴-2x52ダ+4*3"V+2-2バダ"；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7.解(1)原式=-2腹ダa、-2品ザ+力=-2xn1yn[(x2n)2-2)？ny2+(y2)2]=-2xn'1yn(x2n-y2)2=-2xn'1yn(xn-y)2(xn+y)2.(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2=(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2.本小題可以稍加變形,直接使用公式(5),解法如下;原式=a2+(-b)2+c"+2(-b)c+2ca+2a(七)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b。=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a&b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式:a3+b3+c3-3abc.本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6).分析我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性,現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).這個G)式也是ー個常用的公式,本題就借助于它來推導(dǎo).解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abe=E(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).說明公式(6)是ー個應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如:我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abe=g(a+b+c)(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)=g(a+b+c) I(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].顯然,當(dāng)a+b+c=O時，則a3+b3+c3=3abc;當(dāng)a+b+c>0時，則aS+b'+c'Tabcさ〇,B[Ja3+b3+c3^3abc,而且,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.如果令x=a3?〇,y=b3e〇,z=c3N〇,則有麻等號成立的充要條件是x=y=z.這也是一個常用的結(jié)論.例3分解因式:x15+x14+x13+-+x2+x+1.分析這個多項式的特點是：有16項，從最高次項/5開始，x的次數(shù)順次遞減至。,由此想到應(yīng)用公式an-b”來分解.解因為x16-1=(X-1)(X15+X14+X13+—x2+x+1),所以(x-l)(x15+x"+x13+---+x2+x+1) X16-1X-1 X-1(x8+l)(x4+l)(x2+l)(x+l)(x-1)x-1=(X8+D(x'+l)(x2+l)(x+1).說明在本題的分解過程中，用到先乘以(X-1),再除以(X-1)的技巧，這ー技巧在等式變形中很常用..拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為ー項,或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零.在對某些多項式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某ー項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項,前者稱為拆項,后者稱為添項.拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.例4分解因式:^-Gx+S.分析本題解法很多,這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法,注意一下拆項、添項的目的與技巧.解法1將常數(shù)項8拆成一1+9.原式=x3-9x-1+9=(xM)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法2將一次項ー9x拆成一x-8x.原式=K-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x^+x-8).解法3將三次項x3拆成9x3-8/.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8).解法4添加兩項ーW+x?.原式=x'-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8).說明由此題可以看出,用拆項、添項的方法分解因式時,要拆哪些項,添什么項并無ー定之規(guī),主要的是要依靠對題目特點的觀察,靈活變換,因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的ー種.例5分解因式:(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1.解⑴將一3拆成一1-1-1.原長二^+x'xZl-l-l=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).(2)將4mn拆成2mn+2mn.原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).(3)將(x2ーり2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(X+1)4+2*ー1)2-(メー1尸+(X-1)4=[(X+1)"+2(X+1)2(X-1)?+(X-1)4]-(メ-1)2=[儀+ガ+僅ーザらパーザ=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).(4)添加兩項+ab-ab.原式=a3b-at)3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).說明(4)是一道較難的題目,由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加項后分成的三項組又無公因式,而是先將前兩組分解,再與第三組結(jié)合,找到公因式.這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在,同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗..換元法換元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰.例6分解因式:(メ+*+1)(メ+*+2)-12.分析將原式展開,是關(guān)于x的四次多項式,分解因式較困難.我們不妨將x2+x看作ー個整體，并用字母y來替代,于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項式的因式分解問題了.解設(shè)x2+x=y,則原式=(丫+1)(丫+2)-12=y+3丫ー10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(/+x+5).說明本題也可將メ+x+1看作一個整體,比如今x2+x+1=u,ー樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試ー試.例7分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.分析先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式,然后再重新組合.解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.令y=2x%5x+2,則JM^=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+io)(y-9),=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2xz+5x+12)(2x+7)(x-1).說明對多項式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ).例8分解因式：(W+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.解設(shè)x2+4x+8=y,則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).說明由本題可知,用換元法分解因式時,不必將原式中的元都用新元代換,根據(jù)題目需要,引入必要的新元,原式中的變元和新變元可以ー起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式.例9分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6.解法1原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2=6[ドー2メ+1)+2メ]+7x(x2-1)-36x2=6[(x*-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36メ=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x][3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).說明本解法實際上是將x2-1看作一個整體,但并沒有設(shè)立新元來代替它,即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體.解法2原式=x?(6x2+7x-36--4--^-)=x2x2+-yj+7^x--j-36.令x」=狽此+4?=t2+2,于是X X原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3>?+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).例10分解畝式:分+xy+y2)-4xy(x2+y2).分析本題含有兩個字母,且當(dāng)互換這兩個字母的位置時,多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式.對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y,v=xy,用換元法分解因式.解原式=[(x+y)2-xy『-4xy[(x+yy-2xy].令x+y=u,xy=v,貝リ原式=(u2-v)2-4V(u2-2v)=〇4-6〇27+9\^=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2.練習(xí)ー.分解因式:x2n+xn-ゝy2+：；9 4(2)x10+x5-2；z(3)x4-2x2y2-4xy3+4x3y+y2(4x2+—y2)；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5..分解因式：

⑴/+3/ー4；(2)x4-1I/Z+y2；(3)x3+9x2+26x+24：(4)x4-12x+323..分解因式:(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1：(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20.第二講因式分解(二)1.雙十字相乘法分解二次三項式時,我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降幕排列,并把y當(dāng)作常數(shù),于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是關(guān)于x的二次三項式.對于常數(shù)項而言,它是關(guān)于y的二次三項式，也可以用十字相乘法,分解為即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解x (2y-3)2x (-lly+1)所以原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]=(x+2y-3)(2x-11y+1).上述因式分解的過程,實施了兩次十字相乘法.如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在ー起，可得到下圖:它表示的是下面三個關(guān)系式:(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.這就是所謂的雙十字相乘法.用雙十字相乘法對多項式aW+bxy+cp+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是:(1)用十字相乘法分解aW+bxy+cy2,得到ー個十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上,要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.例1分解因式:(1)x2-3xy-1oZ+x+Oy^；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).⑵原式=(x+y+1)(x-y+4).(3)原式中缺x2項,可把這ー項的系數(shù)看成。來分解.原式=(y+1)(x+y-2).⑷原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).說明(4)中有三個字母,解法仍與前面的類似.2.求根法我們把形如anxn+an.1xn-1+-+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式,并用f(x),g(x),…等記號表示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=xs+x2+6,—,&x=a時,多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)f(1)=12-3X1+2=0；f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的ー個根.定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根,即f(a)=0成立,則多項式耳x)有一個因式x-a.根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項式f(x)的根.對于任意多項式f(x),要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時,即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根.定理2若既約分?jǐn)?shù)9是整系數(shù)多項式Pf(x)=aoxn+a*ーI+ajX^+---+a^x+an的根,則必有p是比的約數(shù)，q是a”的約數(shù).特別地,當(dāng)?shù)?1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為a°的約數(shù).我們根據(jù)上述定理,用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進(jìn)行因式分解.例2分解因式:x3-4x2+6x-4.分析這是ー個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根,必是ー4的約數(shù),逐個檢驗ー4的約數(shù):±1,+2,±4,只有f(2)=23-4X22+6X2-4=0,即x=2是原式的ー個根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2.解法1用分組分解法,使每組都有因式(x-2).原式Nd-Z/ZZx^xH^xY)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2).解法2用多項式除法，將原式除以(x-2),X'-2x+2x-2/x3_4x2+gx-4x3-2x2-2x2+6x-2x2+4x2x-4所以原式=(x-2)(/-2x+2).說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是ー4的約數(shù)，反之不成立,即ー4的約數(shù)不一定是多項式的根.因此，必須對ー4的約數(shù)逐個代入多項式進(jìn)行驗證.例3分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2.分析因為9的約數(shù)有土1,土3,±9;?2的約數(shù)有土1,土2,所以原式的有理根只可能是±1,±2,士ヨ,士《,士(,士5,5 5 3 3經(jīng)檢驗,只有一和く是原式的根,所以原式有因式X+!和X-く.又因5 5 5 5為:(X+g)(x-|)=1(3x+l)(3x-2)-1(9x2-3x-2),所以,原式有因式9x?-3x-2.解9x4-3x3+7x<3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明若整系數(shù)多項式有分?jǐn)?shù)根,可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2,這樣可以簡化分解過程.總之,對一元高次多項式f(x),如果能找到ー個一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式,這樣,我們就可以繼續(xù)對g(x)進(jìn)行分解了.3.待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法,應(yīng)用很廣泛,這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.在因式分解時,ー些多項式經(jīng)過分析,可以斷定它能分解成某幾個因式,但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用ー些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項式等于這幾個因式的乘積,根據(jù)多項式恒等的性質(zhì),兩邊對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)該相等,或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組),解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.例4分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式,那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x+y+n的形式,應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問題得到解決.解設(shè)x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比較兩邊對應(yīng)項的系數(shù),則有{m+n=4,m+2n=5,mn=3.解之得m=3,n=1.所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).說明本題也可用雙十字相乘法,請同學(xué)們自己解一下.例5分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7.分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式,根據(jù)前面講過的求根法,若原式有有理根,則只可能是±1,土7(7的約數(shù)),經(jīng)檢驗,它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi),原式?jīng)]有一次因式.如果原式能分解,只能分解為(xZ+ax+b^W+cx+d)的形式.解設(shè)^^=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有a+c=-2,b+d+ac=-27,ad+be=-44,bd=7.由bd=7?先考慮b=1,d=7有a+c=-2,<ac=-35,7a+c=-44,=5.所以原式=(メー7*+1)(メ+5*+7).說明由于因式分解的唯一性,所以對b=-1,d=-7等可以不加以考慮.本題如果b=1,d=7代入方程組后,無法確定a,c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組,直到求出待定系數(shù)為止.本題沒有一次因式,因而無法運用求根法分解因式.但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式.由此可見,待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.練習(xí)二.用雙十字相乘法分解因式:(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；

(2)x2-xy+2x+y-3：⑶3メ-11xy+6y2-xz-4yz-2z2..用求根法分解因式:(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2..用待定系數(shù)法分解因式:(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9.第三講實數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用實數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ).在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實數(shù)理論,是因為它涉及到極限的概念.這一概念對中學(xué)生而言,有一定難度.但是,如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒有實數(shù)的概念及其簡單的運算知識,中學(xué)數(shù)學(xué)也將無法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了.例如,即使是ー元二次方程,只有有理數(shù)的知識也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的.因此,適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及運用這些知識解決有關(guān)問題的基本方法,不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的.本講主要介紹實數(shù)的ー些基本知識及其應(yīng)用.形如:-（n^O）的數(shù)叫有理數(shù)，其中m,n為整數(shù).這種定義可決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對加、減、乘、除（零不能做除數(shù)）是封閉的.性質(zhì)1任何ー個有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)（整數(shù)可以看作小數(shù)點后面為零的小數(shù)）或循環(huán)小數(shù)的形式,反之亦然.例1證明循環(huán)小數(shù)2.61545454…=2.6154是有理數(shù).分析要說明一個數(shù)是有理數(shù),其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個整數(shù)比的形式.證設(shè)x=2.6154,①兩邊同乘以100得100x=261.54=2615454.②②-①得99x=261.54-2.61=258.93,所以258939900所以既然x能寫成兩個整數(shù)比的形式,從而也就證明了2.613，是有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).有理數(shù)對四則運算是封閉的,而無理數(shù)與無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù).例如,虛為無理但JT竝ー筏=0是ー個有理數(shù);兀是無理數(shù),元=1是有數(shù),理數(shù),也就是說,無理數(shù)對四則運算是不封閉的,但它有如下性質(zhì).性質(zhì)2設(shè)a為有理數(shù),b為無理數(shù),則（1）a+b,a-b是無理數(shù);（2）當(dāng)aス。時，a?b,キ是無理數(shù).b有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù),即有限小數(shù) ｝有理數(shù)實數(shù)（小數(shù)）」小勃鷹環(huán)小數(shù)無限小數(shù)（不循環(huán)小數(shù)一無理數(shù)在實數(shù)集內(nèi),沒有最小的實數(shù),也沒有最大的實數(shù).任意兩個實數(shù),可以比較大小.全體實數(shù)和數(shù)軸上的所有點是??對應(yīng)的.在實數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為零）運算,其結(jié)果仍是實數(shù)（即實數(shù)對四則運算的封閉性）.任ー實數(shù)都可以開奇次方,其結(jié)果仍是實數(shù);只有當(dāng)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)時,才能開偶次方，其結(jié)果仍是實數(shù).例2求證|テ是有理數(shù).ヤm-1）個n個分析要證明所給的數(shù)能表示成巴（m,n為整數(shù),n井0）的形式,關(guān)鍵是要證明”“122:25是完全平方數(shù).（n-り個nt證11…122…25（n-l）tn個=ll-lX10n+1+22-2X10+5、、ユ' >g）個 n個10n-1-1 ハ10n-l= xion+1+2X x10+59 9=丄（102n-IO*1+1+2XIO"】-20+45）=-（10^+10X10n+25）--（10n+ダ

所以所以1 3ロー122…25 1011キ5.因為10-+5與歯為整數(shù),所以所】）因為10-+5與歯為整數(shù),所以11…122-2う疋箱理數(shù).例3證明我是無理數(shù).分析要證明一個實數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是ー件極難辦到的事.由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實數(shù)集,且二者是矛盾的兩個對立面,所以,判定一個實數(shù)是無理數(shù)時,常常采用反證法.證用反證法.假設(shè)點不是無理數(shù),所以應(yīng)必為有理數(shù).設(shè)、加=ヒG，q是互質(zhì)的自然數(shù)）,兩邊平方有qpコ=2qゝ ①所以p一定是偶數(shù).設(shè)p=2m（m是自然數(shù)）,代入①得4m2=2q\qZ=2mヽ所以q也是偶數(shù).p,q均為偶數(shù)和p與q互質(zhì)矛盾,所以尤不是有理數(shù),于是、ガ是無理數(shù).說明只要p是質(zhì)數(shù),而就一定是無理數(shù),這個結(jié)論的證明并不困難,請同學(xué)們自己完成.例4若a+b[a=a2+b困（其中a”a2,bn/為有理數(shù),a為無理數(shù)）,則a尸a之,bt=b2,反之,亦成立.分析設(shè)法將等式變形,利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明.證將原式變形為（&七2出エ即ー為.若bi,則_セ烏貧一戸r因為&是無理數(shù),而魯Y?是有理數(shù),矛盾.所以必有瓦=bコ,進(jìn)而ヽーb?有即=現(xiàn)】?反之,顯然成立.說明本例的結(jié)論是個常用的重要運算性質(zhì).例5與b是兩個不相等的有理數(shù),試判斷實數(shù)土ゼ是有理數(shù)還占+ぐ3 是無理數(shù),并說明理由.

解假設(shè)愛是有理數(shù),設(shè)其為A,即解假設(shè)愛是有理數(shù),設(shè)其為A,即b+8整理得A.a+ =Ab+A、月.由例4知a=Ab,1=A,即a=b,這與己知a滬b矛盾.所以原假設(shè)貫［是有理數(shù)錯誤,故ド!是無理數(shù).b+ヽ"說明本例并未給出確定結(jié)論,需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)論.解這樣的問題時，可以先找到ー個立足點,如本例以;W為b+43有理數(shù)作為立足點,以其作為推理的基礎(chǔ).例6已知a,b是兩個任意有理數(shù)，且a<b,求證:a與b之間存在著無窮多個有理數(shù)（即有理數(shù)集具有稠密性）.分析只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明.證因為a〈b,所以2a〈a+b〈2b,所以設(shè)a1=ユ筈，a］顯然是有理數(shù)（因為a,b為有理數(shù)）?因為a1<b,所以,同理可證即く普くb.設(shè)a?=竽，aユ顯然也是有理數(shù).依此類推,設(shè)る府巴ジ，n為任意自然數(shù),則有a<a］くa2〈?“<an依此類推,設(shè)る府<-<b,且為有理數(shù),所以在が叱之間存在無窮多個有理數(shù).說明構(gòu)造具有某種性質(zhì)的ー個數(shù)，或ー個式子，以達(dá)到解題和證明的目的,是經(jīng)常運用的ー種數(shù)學(xué)建模的思想方法.例7已知a,b是兩個任意有理數(shù)，且a<b,問是否存在無理數(shù)a,使得a<a<b成立?解因為a〈b,72-l>0（所以（72-l）a<（72-l）b,即 伝〈（我-l）b+a.①又因為aくb=b+、拒b-、庭,所以a+V2b-bくV2b,即(V2-l)b+a<j2b ②由①，②有伝〈(0-l)b+a〈岳,所以aく一.?くb.ヾ2(、也-l)b+a2b+忘(a-b) (a-b)r-取支= f= = =b+--—?V2.42 2 2因為b,呼是有理數(shù),且ギ聲〇,所以b+二B?セ是無理數(shù),即2 2 2 存在無理數(shù)a,使得a<a<b成立.例8己知數(shù)、餌的小數(shù)部分是b,求b4+12b3+37b2+6b-20的值.分析因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),所以不可能把?個無理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來,這樣涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計算題,往往是先估計它的整數(shù)部分(這是容易確定的),然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法.解因為9く14<16,即3〈、的く4,所以亞"的整數(shù)部分為3.設(shè)V14=3+b.兩邊平方得14=9+6b+b2,所以b?+6b=5.b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2?6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=1〇.例9求滿足條件 Ja~2ノ6=yxー密的自然數(shù)a,x,y.解將原式兩邊平方得a-2V6=x+y-27X7 ①顯然,a-2遍是無理數(shù).假設(shè)而是有理數(shù)，則x+y-2而是有理數(shù),這與①式矛盾,所以歷必為無理數(shù).由①式變形為+y-a=2（ヽ/xyー、用）.

假設(shè)x+y-a/Z。,則メふーA用必為ヨ潯有理數(shù),設(shè)為k(k^O),即而ー疾=k,所以有兩邊平方得xy=6+2kV6+k2,所以因為krO,所以2k、后=xy-6-k.所以因為krO,所以所以2k指是無理數(shù),而xy-6ーゼ是有理數(shù),矛盾.所以x+y-a=0且4xy-?ヽ/6=0.{X+y=a,xy=6.又因為、反一日=5-2巫)。,所以x〉y,所以滿足條件的自然數(shù)為：x=6,y=1,a=フ或x=3,y=2,a=5.例10設(shè).是ザ+ゼ+32+…+ザ的個位數(shù)字,n=1,2,3,-,求證:O.aia2a3-an-是有理數(shù).分析有理數(shù)的另ー個定義是循環(huán)小數(shù),即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù),反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù).所以,要證O.ae2a3…a。…是有理數(shù),只要證它為循環(huán)小數(shù).因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手.證計算an的前若干個值,尋找規(guī)律:1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,1,5,4,0,5,1,0,4,,**：a2o=O,a2]=ai,a??=a?,a23=a3, ,于是猜想:ak+20=ak,若此式成立,說明。.aia2ian…是由20個數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即O.aia2-an-=0.15405104556095065900.下面證明ak+2o=ak.令f(n)=12+22+-+n2,當(dāng)f(n+20)-f(n)是10的倍數(shù)時,表明f(n+20)與f(n)有相同的個位數(shù),而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+—+(n+20)2=10(2n2+42?n)+(12+22+…+202).由前面計算的若干值可知：12+22+-+202是1〇的倍數(shù),故ak+20=ak成立,所以O(shè).a'a2-a"…是ー個有理數(shù).練習(xí)三哪些是無理數(shù)?為什么?1.卜一列各數(shù)中哪些是有理數(shù),練習(xí)三哪些是無理數(shù)?為什么?1.卜一列各數(shù)中哪些是有理數(shù),e=2.71828--3.1415926,-6,281,712..證明:7.5右ラ是有理數(shù)..比較、6+"與よ+お的大小..證明:、月是無理數(shù)..設(shè)a,B為有理數(shù),丫為無理數(shù),若a+By=O,求證:a=P=O..設(shè)5ーお的小數(shù)部分為a,5+わ的小數(shù)部分為b,求(a-1)(b+2)的值.第四講分式的化簡與求值分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等于零時オ有意義;也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變,這ー性質(zhì)是分式運算中通分和約分的理論根據(jù).在分式運算中,主要是通過約分和通分來化簡分式，從而對分式進(jìn)行求值.除此之外,還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形,以使問題得到迅速準(zhǔn)確的解答.本講主要介紹分式的化簡與求值.例1化簡分式:2a2+3a+2a2-a-53a2-4a-52a2-8a+5a+1a+2a-2a-3分析直接通分計算較繁,先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式,再化簡將簡便得多.. 2a"+2a+a+l+la?+2a-3a-6+1解原式= 不 TOC\o"1-5"\h\za+1 a+23a2-6a+2a-4-12a2-6a-2a+6-1 + a-2 a-3=(2a+1)+ -(a-3)+a+1 a+211,-(3a+2) +(2a-2) a-2J a-3=：(2a+1)?(a-3)-(3a+2)+(2a-2)]1111+ + a+1a+2a-2a-3.1111= - + a+1a+2a-2a-31-1 + (a+l)(a+2)(a-2)(a-3)(a-2)(a-3)-(a+l)(a+2)(a+l)(a+2)(a-2)(a-3)-8a+4(a+l)(a+2)(a-2)(a-3),說明本題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式.例2求分式1 1 2 4 8 16a1+a1+a21+a41+a81+a16當(dāng)a=2時的值.分析與解先化筒再求值.直接通分較復(fù)雜,注意到平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).可將分式分步通分,每ー步只通分左邊兩項.TOC\o"1-5"\h\z兩十(l+a)+(l-a). 2 .4 , 8 . 16原式=マ匸豕パEb門?Tア2 2 4 8 161-a21+a21+a41+a81+a”2(1+a?)+2(1-a2) 4 8 16(1-a2)(l+a2) 1+a41+a81+a164 4 8 161-a1+a1+a1+a8 8 16_16 16i^+iT7-+i7^=r^'+TT^32 32l-a32 1-2R例3若abc=1,求ab+a+1be+b+1ca+c+1分析本題可將分式通分后,再進(jìn)行化簡求值,但較復(fù)雜.下面介紹幾種簡單的解法.解法1因為abc=1,所以a,b,c都不為零.h川aababc原式= +-? +—? ab+a+1abe+b+1abca+c+1a ab abc + + ab+a+1abc+ab+aabca+abc+abab+a+11+ab+aa+1+aba+ab+1.- =1.ab+a+1

解法2因為abc=1,所以a#0,bWO,cWO.ab+a+abcbe+b+1bca+c+1be + + ca+c+1beb+1+bc解法3由abc=l,be+ + ='1.be+b+11+be+b得a=J,b+1+bc解法3由abc=l,be+ + ='1.be+b+11+be+b得a=J,將之代入原式be1百-^ beノ泉漢=フ —?b+—+1bebe1 b + + 4-bc+b+1be+ cC?--+C+1

beb+l+bebe+b+11+be+b例4化簡分式:1.x2+3x+2x2+5x+6x2+7x+12分析與解三個分式ー齊通分運算量大,可先將每個分式的分母分解因式,然后再化簡.=( x=( x+1x+21)+("一3x+23 )+( )x+3ノ、x+3x+4ノx+1x+4X2+5x+4說明本題在將每個分式的分母因式分解后,各個分式具有(x+n)(x+n+l)的一般形式,與分式運算的通分思想方法相反,我們(x+n)(x+n+l)的一般形式,與分式運算的通分思想方法相反,我們將上式拆成丄與x+n兩項，這樣，前后兩個分式中就有可以相互消掉的ー對相反數(shù),這種化簡的方法叫“拆項相消”法,它是分式化簡中常用的技巧.例5化簡計算（式中a,b,c兩兩不相等）：2c-a-b

a2-ab-ac+beb2-ab-be+acc2-ac-be+ab

2a-b-c分析本題關(guān)鍵是搞清分式で’、 テ?的變形,其他兩項是類2a-b-ca-ab-ac+bc 似的,對于這個分式,顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c),而分子又恰好湊成(a-b)+(a-c),因此有下面的解法.(a-b)+(a-c)+(b-c)+(b-a)+(c-a)+(c-b)(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b) + + + + + =(a-ca-bb-ab-cc-bc-a=T+百的變形技巧.=T+百的變形技巧.說明本例也是采取‘‘拆項相消”法,所不同的是利用ABAB例6已知:x+y+z=3a(aW0,且x,y,z不全相等),求(x-a)(y-a)(y-a)(z-a)+(z-a)(x-a)的佰(x-a)2+(y-a)2+(z-a)2分析本題字母多,分式復(fù)雜.若把條件寫成(x-a)+(y-a)+(z-a)=O,那么題目只與x-a,y-a,z?a有關(guān),為簡化計算,可用換元法求解.解令x-a=u,y-a=v,z-a=w,則分式變?yōu)榱?且由已知有u+v+w=0.將u+u+w=0兩邊平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0.由于x,y,z不全相等,所以u,v,w不全為零,所以ゴ+/+w2い。,從而有uv+vw+wu即所求分式的值為ー9.說明從本例中可以看出，換元法可以減少字母個數(shù),使運算過程簡化.例7化簡分式:分析原式中只出現(xiàn)了四和二ユ的形式,而且デ分析原式中只出現(xiàn)了四和二ユ的形式,而且デ+[=(〃+フー2,因此可用換元法.解令士=羽則x2+—y=(x+—)3—2=a2-2.xx!丫_2_a+31-Ja。-2-2演十3=且2一(a2—且中］)=&一I!デーx+1=x+-1= -例8若x=J19-8/,求分式x‘-6x3-2x2+18x+23分析直接棒的值代人原式求值,計算整瑣,可將ジ曲一班適當(dāng)變形,化簡分式后再計算求值. 解x=イ19?86=加一2?4?同3=4ー祗所以北ー4=.的,所以(x-4-=3,即x~8x+13=0.原式分子={x4-8x，13x2)+(2xM6x2+26x)+(F8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10y原式分母={x<8x+13)+2=2,所以原式=￥=5.說明本例的解法采用的是整體代入的方法,這是代入消元法的ー種特殊類型,應(yīng)用得當(dāng)會使問題的求解過程大大簡化.也I卄ほ+るーむa~b+c一aキbキc亠例9 若一 - ,求c b a一一刃(儀+む)儂+む)的值abc解法1利用比例的性質(zhì)解決分式問題.⑴若a+b+cWO,由等比定理有a+b-ca-b+c-a+b+cc b a(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)

a+b+c=L所以a+b-c二c,a-b+c=bt=a+b+c=a,于是有(a+b)(a+c)(b+c)2c*2b*2a- - ： = =8.abc abc(2)若a+b+c=O,則a+b=-c,b+c==a,c+a=-b,于是有(a+b)(a+c)(b+c)(-c)(-a)(-b) = ——1abc abc說明比例有一系列重要的性質(zhì),在解決分式問題時,靈活巧妙地使用,便于問題的求解.解法2設(shè)參數(shù)法,令a+b-ca-b+c -a+b+c =—： = =匕c b a則a+b=(k+1)c?①a+c={k+1)b,②b+c={k+1)a.(3)①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)J所以(a+b+c)(k-1)=0,故有k=1或a+b+c=O.當(dāng)k=1時,(a+b)(b+c)(c+a)2c*2a?2b1 - -3abc abc(a+b)(b+c)(c+a) (一c)(ー貧)(一b) . = '一——1abc abc當(dāng)a+b+c=O時,說明引進(jìn)ー個參數(shù)k表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件,可使已知條件便于使用.練習(xí)四L化簡分式:5x2x-57x-10.計算:11&+り(瞿+2)依+2)0+3)(X+3Hx+4)1+■?■+- (x+100)(x+101).已知:(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2={x+y-2が+(y+z-2xf+(z+x?2y廠,/(界:+1)3ネ1)(叼+1)的痛求ア證F的值..已知&チb.aTtOrbナO,a+bナ0,xニー,求a+b2+2a+x+2b的值.5.如果;尹つ,求分式號修的值.234 x+y+z6.己知:丄=あ—=bfE=c,且獨c并〇,求x的值.第五講恒等式的證明代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容,它涉及的基礎(chǔ)知識較多,主要有整式、分式與根式的基本概念及運算法則,因式分解的知識與技能技巧等等,因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一.本講主要介紹恒等式的證明.首先復(fù)習(xí)一下基本知識，然后進(jìn)行例題分析.兩個代數(shù)式,如果對于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值,它們的值都相等,則稱這兩個代數(shù)式恒等.把ー個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形.恒等式的證明,就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數(shù)式相等.證明恒等式,沒有統(tǒng)，的方法,需要根據(jù)具體問題,采用不同的變形技巧,使證明過程盡量簡捷?一般可以把恒等式的證明分為兩類;ー類是無附加條件的恒等式證明,另ー類是有附加條件的恒等式的證明.對于后者,同學(xué)們要善于利用附加條件,使證明簡化,下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的ー些常用方法與技巧..由繁到簡和相向趨進(jìn)恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡”(即由等式較繁的ー邊向另ー邊推導(dǎo))和“相向趨進(jìn)"(即將等式兩邊同時轉(zhuǎn)化為同一形式).例1已知x+y+z=xyz,證明:x(lV)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-/)=4xyz.分析將左邊展開,利用條件x+y+/=xyん將等式左邊化簡成右邊.證因為?+y+z^xyz,所以左邊二x(lぜザーy2ぞ)十y(レデーxWガ十(1ザーメ十x'y》=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右邊.說明本例的證明思路就是“由繁到簡”.例2igsox^iggi^iggaz2,x>o,y>o,z>o,且-+-+-=1.求證xyzノ1989x+1991y+1993z=71989+5991+71993.證4^1989x2=1991/=199322=^>0),則TOC\o"1-5"\h\zk k k.1989x=—，1991y=—，1993z=—.x y z因為ユ+1+4=1,所以71989x+1991y+1993z=Jk—+—+-j=Tic又因為1989=與,1991=與,1993=與,x y z所以y y y 抵R毎f—71989+71991+71993=—+—+—=灰,xyz所以71989x+1991y+1993z=71989+71991+71993說明本例的證明思路是’‘相向趨進(jìn)”,在證明方法上,通過設(shè)參數(shù)k,使左右兩邊同時變形為同一形式,從而使等式成立..比較法比較法利用的是:若a-b=O,則a=b(比差法);或若;=1,貝Uba=b(比商法).這也是證明恒等式的重要思路之一.例3求證:a-beb2-caab-c2

+ = (a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)分析用比差法證明左?右=0.本例中,+.a2-beb2-cac-ab左?石= + + .(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)

這個式子具有如下特征:如果取出它的第一項，把其中的字母輪換,即以b代a,c代b,a代c,則可得出第二項;若對第二項的字母實行上述輪換,則可得出第三項;對第三項的字母實行上述輪換,可得出第一項.具有這種特性的式子叫作輪換式.利用這種特性,可使輪換式的運算簡化.證因為a3-be_a2+ac-ac-be(a+b)(a+c)(a+b)(a+c)a(a+c)-c(ab)ac=——=—--(a+b)(a+c)a+ba+cT所以TOC\o"1-5"\h\zb2-ca b a(b+c)(b+a)b+cb+a*c3-ab c b= -(c+a)(c+b)c+ab+c所以.r a*-beb'-cac2-ab左一仁二 + ； *H (a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)acbacbA= 一 + - + — =〇.a+ba+cb+cb+ac+ab+c說明本例若采用通分化簡的方法將很繁.像這種把ー個分式分解成幾個部分分式和的形式,是分式恒等變形中的常用技巧.例4設(shè)P=-777，q= r~~T~9其中貧+b,b+c,c+aa+bb+cc+a 全不為零.證明:(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r).、-t-a-b2a證i+p=l+——,a+ba+bチ,a-bab]-p=1 -= —,同理2a?2c1+r= ,1-rc同理2a?2c1+r= ,1-rc+ac+a所以左ヒ+p)Q+qノ(1+r)右(1-p)(1-q)(1-r)TOC\o"1-5"\h\z2a 2b 2c=A±b__b+c__c+j.=12b 2c 2a ,a+b b+c c+a所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r).說明本例采用的是比商法..分析法與綜合法根據(jù)推理過程的方向不同,恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法.分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā),尋求在什么情況下結(jié)論是正確的,這樣一步ー步逆向推導(dǎo),尋求結(jié)論成立的條件,一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確,即所謂“執(zhí)果索因”.而綜合法正好相反,它是“由因?qū)Ч?即從已知條件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論.例5若—+—,則a?+b‘+c?=(a+b?c)abc證要證a2+b2+c2=(a+b-c)2,只要證ギ=」(因為a,b,c都不為零)，abcabca2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,只要證ab=ac+bc,只要證c(a+b)=ab,只要證這最后的等式正好是題設(shè),而以上推理每一步都可逆,故所求證的等式成立.說明本題采用的方法是典型的分析法.例6己知a’+b'+c'+d'dabcd,且a,b,c,d都是正數(shù),求證:a=b=c=d.證由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0,(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0,所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.因為(a2-b2720,(c2?d2)2N0,(ab-cd)220,所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0,所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0.又因%a,b,c,d都為正數(shù),所以a+bWO,c+d關(guān)〇,所以a=b,c=d.所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a?c)=O,所以a=c,故a=b=c=d成立.說明本題采用的方法是綜合法..其他證明方法與技巧hi—っん^[+らb+cc+a . -r-丁ルロ皿例7已知 =- r=- 7,爲(wèi)b,c互不相等.a-b2(b-C)3(c-a)求證:8a+9b+5c=0.

b+c2(b-c)c+ab+c2(b-c)c+a3(c一a)=k,則a+b=k(a-b),b+c=2k(b-c),(c+a)=3k(c-a).所以6(a+b)=6k(a-b),3(b+c)=6k(b-c),2(c+a)=6k(c-a),以上三式相加,得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a).即8a+9b+5c=0.說明本題證明中用到了“遇連比設(shè)為k”的設(shè)參數(shù)法,前面的例2用的也是類似方法.這種設(shè)參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧.例8已知a+b+c=0,求證2(a4+b4+c4)=(a2+b2+c2)2.分析與證明用比差法,注意利用a+b+c=0的條件.左一右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=O.所以等式成立.說明本題證明過程中主要是進(jìn)行因式分解.TOC\o"1-5"\h\z例9已知y=a--,z=a--J求證：x=a--.x y z分析本題的兩個已知條件中,包含字母a,x,y和z,而在求證的結(jié)論中，卻只包含a,x和z,因此可以從消去y著手，得到如下證法.證由已知y=a--, ①—=a-z. ￠2)y①X②得a?=Ia-—j(a-z),即所以所以a2x=a .z說明本題利用的是“消元”法,它是證明條件等式的常用方法.例10證明:(y4-z-2x)34-(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z).分析與證明此題看起來很復(fù)雜,但仔細(xì)觀察,可以使用換元法.令y+z-2x=a,①z+x-2y=b,②x+y-2z=c,③則耍證的等式變?yōu)閍3+b3+c3=3abc.聯(lián)想到乘法公式:a3+b3+c3-3abc=(a+b-?-c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),所以將①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0,所以a3+b3+c3-3abe=0,所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y?2z).說明由本例可以看出,換元法也可以在恒等式證明中發(fā)揮效カ.例11設(shè)x,y,z為互不相等的非零實數(shù),且111x+-=yH?一=z+-，

yzx求證:x2y2z2=1.分析本題x,y,z具有輪換對稱的特點,我們不妨先看二元的情形,即令x,y為互不相等的非零實數(shù),且x+!=y+L求證X?y2yx=1.因為從x+-=y+-,易推出x_y=___,故有xy(x_y)=yx xyy-x,又因為xナy,所以_y-x_1

xy= =-1,x-y所以三元與二元的結(jié)構(gòu)類似.證由已知有yz=^—①x-yzx=グ,②①X②義③得xYz2=1.說明這種欲進(jìn)先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決問題的思路中.總之,從上面的例題中可以看出,恒等式證明的關(guān)鍵是代數(shù)式的變形技能.同學(xué)們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上，深刻體會例題中的常用變形技能與方法，這對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要.練習(xí)五.已知(c-a尸-4(a-b)(b-c)=0,求證:2b=a+c..證明:(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)..求證:b-c c-a a-b + + (a—b)(a~c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)2 2 2= + + .a-bb-cc-a. ,b=-,c=—J求證:a=d.1-bb-c1-d.證明:TOC\o"1-5"\h\za bx + x-a(x-a)(x-b)a2 b2= + .(a-b)(x-a)(b-a)(x-b).已知メッ2=,ウ2=22メ丫,求證:x=y=z或x+y+z=O..已知an-bmWO,aWO,ax2+bx+c=O,mx2+nx+p=0?求證:(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm).第六講代數(shù)式的求值代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切.許多代數(shù)式是先化簡再求值,特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題,往往需要利用乘法公式、絕對值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、約分、根式的性質(zhì)等等，經(jīng)過恒等變形,把代數(shù)式中隱含的條件顯現(xiàn)出來,化簡,進(jìn)而求值.因此，求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法.下面結(jié)合例題逐一介紹.1.利用因式分解方法求值因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡求值中,經(jīng)常被采用.例1已知x2+x=；,求6x’+15x3+10x2的值.分析X的值是通過ー個一元二次方程給出的,若解出X后，再求值，將會很麻煩.我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看ー看能否利用已知條件.解已知條件可變形為3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1.說明在求代數(shù)式的值時,若已知的是ー個或幾個代數(shù)式的值,這時要盡可能避免解方程(或方程組),而要將所要求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，會使問題得到簡捷的解答.例2已知a,b,c為實數(shù)，且滿足下式:a2+b2+c2=l,①求a+b+c的值.解將②式因式分解變形如下fi11fi111)fi11nal-+-+ 1+b|-+-+ 1+c|-+—+ 1=-3,caa丿abb丿(abcc丿即(111) (111)al-+-+-1+b|-+1+-|+c|-+/+-1=0,\abc/ (abc} labc丿所以(a+b+c)(-+--+ =0,labcjbe+ac+ab(a+b+c) =0.abc所以a+b+c=O或bc+ac+ab=O.若bc+ac+ab=0,則(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc4-ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以a+b+c=±1.所以a+b+c的值為0,1,.說明本題也可以用如下方法對②式變形:即a+b+ca+b+ca+b+cへ +--—+ =0,abc也可得(a+b+c)(―+丁+—1=0.(abc丿前ー解法是加一項,再減去ー項;這個解法是將3拆成1+1+1,最終都是將②式變形為兩個式子之積等于零的形式.2.利用乘法公式求值例3已知x+y=m,/3+/=0,mWO,求メユ+P的值.解因為x+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m?xy,

所以mn對=すー盆.所以x?+所以mn對=すー盆.所以x?+プ=(x+y)2_2xy=m2-2mn13 3m)m22n—十—33m例4已知x=＜（イ+6）,y=＜（おーH）,, ,2 2 求メ+Gxy+y2的值.分析將x,y的值直接代入計算較繁,觀察發(fā)現(xiàn),已知中x,y的值正好是ー對共朝無理數(shù),所以很容易計算出x+y與xy的值,由此得到以下解法.解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=（x+y）2+4xyl□ 1=（我2+4X_=5+2=7.3.設(shè)參數(shù)法與換元法求值如果代數(shù)式字母較多,式子較繁,為了使求值簡便,有時可增設(shè)ー些參數(shù)（也叫輔助未知數(shù)）,以便溝通數(shù)量關(guān)系,這叫作設(shè)參數(shù)法.有時也可把代數(shù)式中某一部分式子,用另外的ー個字母來替換，這叫換元法.例5已知上={=，-,求x+y+z的值.a-b〇~cc-a分析本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn),可引入?yún)?shù)k,用它表示連比的比值,以便把它們分割成幾個等式.解設(shè)」7=4=ユ=と于是有a-bb-cc-ax=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.所以x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=O.mしAnxy,z<ab,cへ+ズア20人^|6已知一+—F—=1,—+—+—=0,求-5~+"^?的^§,.abcズyz ab分析若從求《+W+く的值入手,可考慮到應(yīng)把條件'+abc a3+三=1兩邊平方,在平方之后,雖會出現(xiàn)ー些交叉項,但能從bc另ー個已知條件給予解決.下面我們采用換元法求解.解令と=U,〈=V,-=W?于是條件變?yōu)閍〇cu+v+w=1,①111A小一H+—=0.（?）UVW由②有

UV+VW+wu=〇,UV+VW+wu=〇,所以UV+VW+wu=0.把①兩邊平方得U2+V2+W2+2(UV4-VW+WU)=1，所以u2+v2+w2=1,即ゼy2z2更+ヂ+戸例ア己知X=號方'x6-2V2x5-x4+x3-2V3x2+2x-V2的值.分析若直接代入X的值計算,計算量較大,為此可先將X 占分母有理化,整理變形后再求解.解因為也=6+嫗,即x一話=42.兩邊平方有x2-2-/3x+1=0.同理,由Xー、也=后可得x2-2竝x-1=0.所以原式=x4(x2--\/2x-1)+x(x2- +1)+x物=x4'O+x,O+x--\^=V3..利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值若幾個非負(fù)數(shù)的和為零,則每個非負(fù)數(shù)都為零,這個性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用.例8若メ心+做ッ|=-4,求yx的值.分析與解x,y的值均未知,而題目卻只給了一個方程，似乎無法求值，但仔細(xì)挖掘題中的隱含條件可知,可以利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解.因為メ-4*+|3*-丫|=-4,所以メー4*+4+阿ッ|=0,即(x-2)2+|3x-y|=0.所以區(qū)=2=0,所以[x=2,|y=6?所以父=6,36.例9楽知數(shù)x,v滿足(x2+y￡)m2*2y(x+n)m+y2+n2-0,其中m,n表示非零己知數(shù),求x,y的值.分析與解兩個未知數(shù),個方程,對方程左邊的代數(shù)式進(jìn)行恒等變形,經(jīng)過配方之后,看是否能化成非負(fù)數(shù)和為零的形式.將已知等式變形為mV+m2/-2mxy-2mny+/+n2=0,(mメー2mxy+，)+(mV-2mny+n*)二〇,即(mx-げ+(my-nf=O.所以mx-y=0,my-n=0.所以因為mア0,所以y=2/=ラ..利用分式、根式的性質(zhì)求值分式與根式的化簡求值問題,內(nèi)容相當(dāng)豐富,因此設(shè)有專門講座介紹,這里只分別舉ー個例子略做說明.例10已知xyzt=1,求下面代數(shù)式的值;1111 + + + .1+x+xy+xyz1+y+yz+yzt1+z+zt+zt3<1+t+tx+txy分析直接通分是笨拙的解法,可以利用條件將某些項的形式變ー變.解根據(jù)分式的基本性質(zhì),分子、分母可以同時乘以一個不為零的式子,分式的值不變.利用已知條件,可將前三個分式的分母變?yōu)榕c第四個相同.1+x+xy+xyzt+xt+xyt+xyzt1+z+zt+ztxtxy+1+1+tx例11 已知a>0,b>0I當(dāng)x=六三時,求b+1的值.的值.來，分析計算時應(yīng)注意觀察式子的特點,若先分母有理化,計算反而復(fù)雜.因為這樣ー原式的對稱性就被破壞了.這里所言的對稱性是指分子與分母的形式相近,與石テ的形式也相近.我們應(yīng)當(dāng)充分利用這種對稱性,或稱之為整齊性,來簡化我們的計算.來，解當(dāng)x=M時,b+1(b+1)逅a(b+l)a

b7"+1(b+1)逅-Jb2+1同樣(但請注意算術(shù)根!)I |b-l|7aJa-x=—==■.舊+1將①，②代入原式有(b+l)VaIb_1|V3百中 +i7b2+1原スー(b+i)石|b-i兩ヽ/ビ+1 Vb2+1_(b+l)+|b-l|(b+l)-|b-l|b?當(dāng)b〉l時;I.當(dāng)b〈l時.b練習(xí)六己知X= ，y=;上一,求2x?-3xy+2y2的值.乙-75 N十へ/5已知x+y=a,x2+/=b2I求x4+y"的值.已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45?求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值..如果^ = = =k,求k的值.zyz.設(shè)a+b+c=3m,求(m-a尸+(m-b-+(m-c尸-3(m-a)(m-b)(m-c)的值..已知x=-y=——,來不x??x’?x+2的值..己知X=3弧お+1)-3用、Z5-1),試求x?+12x的值..已知ISZ-exy+y^x+UO,求(x+y)13?x10的值.第七講根式及其運算二次根式的概念、性質(zhì)以及運算法則是根式運算的基礎(chǔ),在進(jìn)行根式運算時,往往用到絕對值、整式、分式、因式分解,以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等有關(guān)知識與解題方法,也就是說，根式的運算,可以培養(yǎng)同學(xué)們綜合運用各種知識和方法的能力.下面先復(fù)習(xí)有關(guān)基礎(chǔ)知識,然后進(jìn)行例題分析.二次根式的概念:式子“(a>0)叫作二次根式.二次根式的性質(zhì):=a(a)0)；卜當(dāng)a〉0時,(2)V?=|a|=<0,當(dāng)a=0時,1-a,當(dāng)aく〇時,二次根式的運算法則:(1)aTm+b^n=(a+b)^n(mユ0)；(.2)Va,Vb=Vab(a)0,bン0)；⑶キピ(a>0,ぶ〇)I(4)(ヽ5)垃=Ja"(a>0).若a〉b>0,則石'〉花.設(shè)a,b,c,d,m是有理數(shù)，且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d時,a+b赤'=c+d石i.形如x=a+ヘ歷,y=a "的兩個根式互稱為共班根式.當(dāng)兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘時，如果它們的積不含有二次根式,則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例1化簡:(1)7x2-4x+4+|1-x|,其中1くxく2；(2)Ja-b.Ja-b- -a)2—|b-a|.解(1)由二次根式的性質(zhì)J戸=|a|可知,化簡二次根式的ー個有效方法是配方去掉根號,所以原式=J(x-2)2+|1—x|=|x-2|+|1-x|.因為x-2<0,1-x<0,所以原式=2-x+x-1=1.

(2)要使せ石有意義,必須a-b>0,所以J(b-a)2=a-b,|b-a|=a-b.原式="a-b)2-(a-b)-(a-b)=a-b-a+b-a+b=b-a.說明若根式中的字母給出了取值范圍,則應(yīng)在這個范圍內(nèi)進(jìn)行化筒;若沒有給出取值范圍,則應(yīng)在字母允許取值的范圍內(nèi)進(jìn)行化簡.例2化簡:⑴圾+幣.710+V14+ル+際’ヽR+4幣+3貶I丿71