勾股定理實際應(yīng)用市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)(2)運用勾股定了解決生活中一 些實際問題.(1)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題, 建立幾何模型.第1頁勾股定理實際應(yīng)用數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活D

ABCA面積+B面積=C面積第2頁如圖，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，輕易得出S1、S2、S3之間有關(guān)系式為

．第3頁變式：結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7第4頁54321觀察以下圖形，正方形1邊長為7，則正方形2、3、4、5面積之和為多少？規(guī)律：S2+S3+S4+S5=S1第5頁考點一：利用勾股定理求面積求：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓．第6頁

知識回想

：?cab勾股定理及其數(shù)學(xué)語言表示式:直角三角形兩直角邊a、b平方和等于斜邊c平方。CAB第7頁什么叫勾股定理？a2+b2=c2注意：直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方。1、直角三角形是前提。2、誰是斜邊要清楚。第8頁勾股定理公式變形：勾股定理公式a2=c2－b2b2

=c2-a2a2+b2=c2cbaCBA第9頁cab在△ABC中，∠C=90°.(1)若b=8，c=10，則a=

;(2)若a=5，b=12，則c=

;CAB613考點二：

在直角三角形中，已知兩邊求第三邊 第10頁（1）等邊三角形邊長為12，則它高為______（2)

在直角三角形中,假如有兩邊為3,4,那么另一邊為_________5或考點三：

應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上高第11頁規(guī)律分類思想

1.直角三角形中，已知兩邊長是直角邊、斜邊不知道時，應(yīng)分類討論。

2.當(dāng)已知條件中沒有給出圖形時，應(yīng)認(rèn)真讀句畫圖，防止遺漏另一個情況。第12頁1、已知直角三角形兩直角邊長分別是5和12，

則第三邊為

。

2、已知直角三角形兩條邊長分別是5和12，

則第三邊為

。

1313或分類討論思想舉例第13頁3、已知在ΔABC中，AB=10，AC=17,BC邊

高為8,則邊BC長為（）

A21B6C21或6D以上都不對DDABC10178DABC10178615615BC=BD＋DC=21BC=DC－BD=9第14頁一、勾股樹

1、如圖所表示圖形中，全部四邊形都是正方形，全部三角形都是直角三角形，其中最大正方形邊長為5，則正方形A，B，C，D面積和為

。

25S1S2S3考點四：應(yīng)用勾股定了解決勾股樹問題第15頁

2、如圖所表示，圖中全部三角形是直角三角形，全部四邊形是正方形，s1=9，s3=144，s4=169，則s2=

．16S5第16頁探究1一個門框尺寸如圖所表示，一塊長3m，寬2.2m薄木板能否從門框內(nèi)經(jīng)過?為何?2mDCAB連結(jié)AC,在Rt△ABC中,依據(jù)勾股定理,所以,AC=≈2.236因為AC______木板寬,所以木板____從門框內(nèi)經(jīng)過.大于能第17頁一個3m長梯子AB,斜靠在一豎直墻AO上,這時AO距離為2.5m,假如梯子頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?探究2ACOBD從題目和圖形中，你能得到哪些信息？第18頁ACOBD分析:DB=OD-OB,求BD,能夠先求OB,OD.

在Rt△AOB中,梯子頂端沿墻下滑0.5m,梯子底端外移_______.在Rt△AOB中，在Rt△COD中，OD－OB=2.236－1.658≈0.580.58m第19頁一個長5m梯子AB，斜靠在墻上，這時梯子頂端離地面4m，假如梯子頂端下滑2m，那么梯子底端也外移2m嗎？A解：在Rt△AOB中，由勾股定理，得：例題：BO在Rt△

中，由勾股定理,得：?∴BB’=-3≠24m25m第20頁直角三角形斜邊上高求法公式：

1.若直角三角形兩條直角邊長分別為5㎝，12㎝，則斜邊上高為

．

第21頁例2.

在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C對邊分別為a、b、c，a﹕b=3﹕4,c=15.求a、b.分析：經(jīng)過設(shè)未知數(shù)，依據(jù)勾股定理列出方程求出a、b.解：設(shè)a=3x,b=4x

在Rt△ABC中，∠C=90°,

由勾股定理，得：a2+b2=c2

即：9x2+16x2=225

解得：x2=9∴x=3(負(fù)值舍去)∴a=9,b=12.第22頁C80602524BA如圖所表示是某機械零件平面圖,尺寸如圖所表示,求兩孔中心A,B之間距離.(單位:毫米)考點五：結(jié)構(gòu)直角三角形處理實際問題第23頁

小試身手

：?如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了________步路,卻踩傷了花草。（假設(shè)1米為2步）第24頁

小試身手

：?如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了________步路,卻踩傷了花草。（假設(shè)1米為2步）第25頁

小試身手

：?如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了________步路,卻踩傷了花草。（假設(shè)1米為2步）34“路”ABC5幾何畫板演示4第26頁

1.幾何體表面路徑最短問題，普通展開表面成平面。

2.利用兩點之間線段最短，及勾股定理求解。展開思想規(guī)律考點六：與展開圖相關(guān)計算第27頁AB我怎么走會最近呢?例1、有一個圓柱,它高等于12厘米,底面半徑等于3厘米,在圓柱下底面上A點有一只螞蟻,它想從點A爬到點B,螞蟻沿著圓柱側(cè)面爬行最短旅程是多少?(π值取3)第28頁BA高12cmBA長18cm(π值取3)9cm∵AB2=92+122=81+144=225=∴AB=15(cm)螞蟻爬行最短旅程是15厘米.152第29頁AB8.有一個圓柱,它高等于12厘米,底面半徑等于3厘米,在圓柱下底面上A點有一只螞蟻,它想從點A爬到點B螞(π值取3)蟻沿著圓柱側(cè)面爬行最短旅程是多少?ACB12解：如圖，將圓柱體側(cè)面展開。AC=BC=12∵三角形ABC是直角三角形，答：最短旅程是15厘米。第30頁9、有一圓形油罐底面圓周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1mA處爬行到對角B處吃食物，它爬行最短路線長為多少？AB分析：因為老鼠是沿著圓柱表面爬行，故需把圓柱展開成平面圖形.依據(jù)兩點之間線段最短，能夠發(fā)覺A、B分別在圓柱側(cè)面展開圖寬1m處和長24m中點處，即AB長為最短路線.(如圖)解：AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC第31頁考點七：應(yīng)用勾股定了解決數(shù)學(xué)風(fēng)車問題圖甲是我國古代著名“趙爽弦圖”示意圖，它是由四個全等直角三角形圍成。在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所表示“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車外圍周長（圖乙中實線）是______________。第32頁考點八：

判別一個三角形是否是直角三角形

分別以以下四組數(shù)為一個三角形邊長：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能夠成直角三角形有__________________.

【強化訓(xùn)練】：已知△ABC中，三條邊長分別為a＝n

－１，b＝2n，c＝n＋１（n＞1）．試判斷該三角形是否是直角三角形，若是，請指出哪一條邊所對角是直角．第33頁例3：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設(shè)AE=xkm，依據(jù)勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵

DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站應(yīng)建在離A站10km處?！郮=10則BE=（25-x）km1510第34頁如圖，池塘邊有兩點A、B，無法直接測量AB之間距離，請你利用所學(xué)過知識設(shè)計一個方法，來測量AB間距離。我來設(shè)計比一比，哪位同學(xué)方法既多又好？要求：1、畫出設(shè)計圖2、若包括到角度，請直接標(biāo)在設(shè)計圖中3、若包括到長度，請用a、b、c等字母BA第35頁如圖，池塘邊有兩點A、B，點C是與BA方向成直角AC方向上一點，現(xiàn)在測得CB=60m，AC=20m，請你求出A、B兩點間距離。(結(jié)果保留整數(shù)）BA我來算一算6020C第36頁方程思想直角三角形中，當(dāng)無法。。。。。。。已知兩邊求第三邊時，應(yīng)采取間接求法：靈活地尋找題中等量關(guān)系，利用勾股定理列方程。規(guī)律第37頁DABC名題鑒賞E《九章算術(shù)》：有一個水池，水面是一個邊長為10尺正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，假如把這根蘆葦拉向水池一邊，它頂端恰好抵達池邊水面，請問這個水池深度與這根蘆葦長度各是多少？X252(X+1)2+=XX+151第38頁例4:在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣問題.這個問題意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺正方形,在水池中央有一根新生蘆葦，它高出水面1尺，假如把這根蘆葦拉向岸邊，它頂端恰好抵達岸邊水面，問這個水池深度和這根蘆葦長度各是多少尺？DABC解:設(shè)水池深度AC為X尺,則蘆葦高AD為(X+1)尺.依據(jù)題意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1X=12∴X+1=12+1=13(尺)答:水池深度為12尺,蘆葦長度為13尺.第39頁如圖，要登上8米高建筑物BC，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物距離AB為6米，問最少需要多長梯子？8mBCA6m解：依據(jù)勾股定理得：AC2=62+82=36+64=100即：AC=10答：梯子最少長10米。第40頁小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）電視機。小明量了電視機屏幕后，發(fā)覺屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他以為一定是售貨員搞錯了。你能解釋這是為何嗎？我們通常所說29英寸或74厘米電視機，是指其熒屏對角線長度∴售貨員沒搞錯∵想一想熒屏對角線大約為74厘米勾股定理在實際生活中的應(yīng)用第41頁乙甲勾股定理應(yīng)用四:航海問題甲輪船以１５海里／時速度從港口向東北方向航行，乙船同時以２0海里／時速度向東南方向航行求它們離開港口２小時后相距多遠？北南西東港口分析:求ABAB第42頁乙甲勾股定理應(yīng)用四:航海問題甲輪船以１５海里／時速度從港口向東南方向航行，乙船同時以２0海里／時速度向東北方向航行求它們離開港口２小時后相距多遠？北南西東港口AB解:2小時甲、乙各行旅程是甲：202=40乙：152=30

東南方向與東北方向夾角是90

由勾股定理可知

AB=40+30AB=50海里答：它們離開港口2小時后相距50海里.222返回第43頁同學(xué)們,想一想,這節(jié)課你有什么收獲?(2)運用勾股定了解決生活中一 些實際問題.(1)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題, 建立幾何模型.第44頁7.觀察以下表格：……列舉猜測3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25……13、b、c132=b+c請你結(jié)合該表格及相關(guān)知識，求出b、c值.即b=

，c=

8485第45頁例5:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上點F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE長.ABCDFE解:設(shè)DE為X,X(8-X)則CE為(8－X).由題意可知:EF=DE=X,XAF=AD=10.10108∵∠B=90°，

∴AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，∴BF＝6，∴CF＝BC－BF＝10－6＝4.∵∠C=90°，

∴CE2+CF2＝EF2，(8－

X)2+42=X2，64－16X+X2+16=X2，80－16X=0，第46頁16X=80X=5在RtADE中，∠D=90°，∴AE2=AD2+DE2，∴AE2=102+52=125,∴AE=第47頁例1、一輛裝滿貨物卡車,其外形高2.5米,寬1.6米,要開進廠門形狀以下列圖某工廠,問這輛卡車能否經(jīng)過該工廠廠門?2.3

米2米ABCDOH.分析：1、廠門寬度足夠，所以卡車能否經(jīng)過，只要看卡車位于廠門正中間時，其高度是否小于（），要求CH就必須先求（），而要求出CD我們能夠建立RtΔ（）。2、在RtΔOCD中，直角邊OD=（）斜邊OC=（）CHCDOCD1米0.8米解：在RtΔOCD中，由勾股定理得CH=0.6+2.3=2.9＞2.5所以高度上有0.4米余量，所以卡車能經(jīng)過廠門.0.8m1m第48頁

2、一輛裝滿貨物高為1.8米，寬1.5米卡車要經(jīng)過一個直徑為5米半圓形雙向行駛隧道，它能順利經(jīng)過嗎？OA1.5mCD.分析：隧道寬度是足夠,所以卡車能否經(jīng)過，只要看卡車位于隧道中線一側(cè)時，其右側(cè)高度是否小于（）.？

因為2＞1.8，高度上有0.2米余量，所以卡車能經(jīng)過隧道.CD連接OD，得到RtΔOCD怎樣求CD呢？解：在RtΔOCD中，由勾股定理得2.5m練習(xí)：第49頁4.如圖，是一個三級臺階，它每一級長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階兩個相正確端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口食物。請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？AB考點四:應(yīng)用勾股定了解決樓梯上鋪地毯問題第50頁4.如圖，是一個三級臺階，它每一級長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階兩個相正確端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口食物。請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？AB第51頁4.如圖，是一個三級臺階，它每一級長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階兩個相正確端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口食物。請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？AB第52頁4.如圖，是一個三級臺階，它每一級長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階兩個相正確端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口食物。請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？AB55106解：C如圖