工科數(shù)學(xué)分析ii.第15章小結(jié)

g(

y)dy

f

(

x)dx1、一階微分方程的解法(1)

可分離變量的微分方程解法

g(

y)dy

f

(

x)dxf

(

)xdy

y(2)

齊次方程dx解法

作變量代換xu

y一、常見方程類型及解法)dy

f

(

ax

by

cdx a1

x

b1

y

c1齊次方程．當(dāng)c

c1

0時,

y

Y

k

,令

x

X

h否則為非齊次方程．(3)

可化為齊次的方程解法化為齊次方程．dy

P(

x)

y

Q(

x)(4)

一階線性微分方程dx齊次；

Q(

x)

0,Q(

x)

0,非齊次.解法

齊次方程的通解為y

Ce

P

(

x

)dx

.（使用分離變量法）非齊次微分方程的通解為dx

Ce]

Qy([x)e

（常數(shù)變易法）(5)

伯努利(Bernoulli)方程dxdy

P(

x)

y

Q(

x)

yn(n

0,1)方程為非線性微分方程.解法

需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．令z

y1n

,

z

e(1n

)

P

(

x

)dx

(

Q(

x)(1

n)e(1n

)

P

(

x

)dxdx

c).y1n2、可降階的高階微分方程的解法解法令y

P(x),特點(diǎn)不顯含未知函數(shù)y.型y(

n

)(1)

f

(

x)接連積分n次，得通解．(2)

y

f

(

x,

y)型解法代入原方程,得P

f

(

x,

P(

x)).y

P,特點(diǎn)(3)

y

f

(y,y)

型不顯含自變量x.dy代入原方程,

得

P

dp

f

(

y,

P

).dy解法

令

y

P(

x),

y

P

dp

,求得其解為原方程通解為

x

C

,dy

(

y,

C1

)1dxdy

P(

y)

(

y,

C

),3、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):y

P(

x)

y

Q通解為y

C1

y1

C2

y2

,其中y1

(x)與y2

(x)是方程(1)的兩個線性無關(guān)的特解.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):y

P(

x)

y

Q(

x)

y

f

(

x)

(2)通解為y

Y

y*,其中y*是(2)的一個特解,Y

是與(2)對應(yīng)的齊次方程(1)的通解.r

2

pr

q

0y

py

qy

0特征根的情況通解的表達(dá)式實(shí)根r1

r2實(shí)根r1

r2復(fù)根r1,2

iy

C1e

r1

x

C2er2

xy

(C1

C2

x)er2

xy

ex

(C1

cos

x

C2

sin

x)4、二階常系數(shù)齊次線性方程解法y

py

qy

0解法

由特征方程的根確定其通解的特征方程法.y(

n)

P

y(

n1)

P y

P y

01

n1

n特征方程為rn

P

rn1

P r

P

01

n1

n特征方程的根通解中的對應(yīng)項若是k重根rk

1

rx(C0

C1

x

Ck

1

x

)e若是k重共軛復(fù)根

jk

1[(C0

C1

x

Ck

1

x

)cosx

(D

D

x

D xk

1

)sinx]ex0

1

k

1推廣：n

階常系數(shù)齊次線性方程解法5、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法y

pymx(1)

f

(x)

e

P

(x)型解法

待定系數(shù)法.m設(shè)

y*

xkexQ

(

x)

,20

不是根是單根

,是重根k

1nP

(x)sinx]型lx(2)

f

(

x)

e

[P

(

x)cosx

(

x)sinx],m

ma(

2)m

m*

k

x

(1)(

x)cosx

R設(shè)

y

x

e

[R其中R(1)(x),R(2)(x)是m次多項式m

m1k

0

j不是特征方程的根時;

j是特征方程的單根時.解題思路一階方程高階方程分離變量法全微分方程常數(shù)變易法特征方程法待定系數(shù)法非非變?nèi)课⒖煞址址诫x程冪級數(shù)解法降階作變換作變換積分因子特點(diǎn)：各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同．解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.六、歐拉方程1

n1xn

y(

n

)

p

xn1

y(

n1)

pnxy

p y

f

(

x)的方程(其中p1

,p2

pn

為常數(shù))形如叫歐拉方程.作變量變換

x

et

或

t

ln

x,

將自變量換為

t

,dy

dy

dt

1

dy

,dx dt

dx x

dt22dx2

xdt dt

,d

2

y

1

d

2

y

dy

33dx3

x3

2

,dt

2

dtd

2

y

dy

d

3

y

1

d

3

y

dtdt用D

表示對自變量

t

求導(dǎo)的運(yùn)算d

,上述結(jié)果可以寫為xy

Dy,

D)

y

D(

D

1)

y,2dt

2

dtd

2

y

dy

(

D2x

y

(

D3

3D2

2D)

y

D(

D

1)(

D

2)

y,dt

3

dt

2

dtd

3

y d

2

y

dy

3

23x

y

一般地，xk

y(k

)

D(D

1)將上式代入歐拉方程，則化為以t

為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個方程的解后，把

t

換為ln

x

，即得到原方程的解.小結(jié)歐拉方程解法思路變系數(shù)的線性微分方程常系數(shù)的線性微分方程變量代換x

et

或t

ln

x例

1

求方程

yy

y2

0

的通解.解dy則

y

P

dP

,設(shè)y

P(y),代入原方程得

y

P

dP

P

2

0,

即

P(

y

dP

P

)

0,dy

dydy由y

dP

P

01可得

P

C

y,.12C

xy

C

e原方程通解為1dx

dy

C

y,特征根為r1

1,

r2

r3

i,

r4

r5

i,故所求通解為5

C

x)sin

x.43

C

x)cos

x

(C21y

C

e

x

(C解

特征方程為

r

5

r

4

2r

3

2r

2

r

1

0,(r

1)(r

2

1)2

0,

2

y

y

y

0

的通解.例2

求方程y(

5

)

y(

4

)

2

y(

3

)解對應(yīng)齊次方程通解

Y

c

e

x

c

e2

x

,1

2

3r

2

0,r

2特征方程特征根例3

求方程y

3

y

2

y

xe2

x

的通解.r1

1，r2

2

2

是單根設(shè)y*

x(Ax

B)e2

x

,

A

1

2

,B

12代入方程,得2Ax

B

2A

x1于是

y*

x(

x

1)e2

x原方程通解為

y

C1e.22例4

求方程解對應(yīng)齊方通解

sin4xy的y

通解.Y

C1

cos

x

C2

sin

x,作輔助方程

i

是單根,y

y

故y*

Axeix

,代入上式

2

Ai

4,

A

2i,

y*

ixeix

x x

x

x)i所求非齊方程特解為y*

2

x

cos

x,（取虛部）原方程通解為

1

cos2例5

求方程

y

y

x

cos

2x

的通解.解

對應(yīng)齊方通解Y

C1

cos

x

C2

sin

x,作輔助方程y

y

xe2ix

,

2i

不是特征方程的根,設(shè)y*

(Ax

B)e2ix

,代入輔助方程

3

A

14

Ai

3B

0

A

1，B

4

i,3

9

y*

(

1

x

4

i)e2ix

,3

93

9

(

1

x

4

i)(cos

2x

i

sin

2

x)92cos

431*原方程通解為92cos

431cos

sin211

2cos

43

9所求非齊方程特解為394(2sin

2cos1i（取實(shí)部）注意Aex

cosx,

Aex

sinx分別是Ae求方程

tan

xy的y

通解.解對應(yīng)齊方通解

Y

C1

cos

x

C2

sin

x,用常數(shù)變易法求非齊方程通解設(shè)y

c1

(x)cos

x

c2

(x)sin

x,w(

x)

1,tansecC,sin)(

ln2cos)(

Cxxc21原方程通解為y

C1

cos

x

C2

sin

tan

x

.例6dt用D

表示對自變量

t

求導(dǎo)的運(yùn)算d

,上述結(jié)果可以寫為xy

Dy,

D)

y

D(

D

1)

y,2dt

2

dtd

2

y

dy

(

D2x

y

(

D3

3D2

2D)

y

D(

D

1)(

D

2)

y,dt

3

dt

2

dtd

3

y d

2

y

dy

3

23x

y

一般地，xk

y(k

)

D(D

1)將上式代入歐拉方程，則化為以t

為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個方程的解后，把

t

換為ln

x

，即得到原方程的