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文檔簡介
g(
y)dy
f
(
x)dx1、一階微分方程的解法(1)
可分離變量的微分方程解法
g(
y)dy
f
(
x)dxf
(
)xdy
y(2)
齊次方程dx解法
作變量代換xu
y一、常見方程類型及解法)dy
f
(
ax
by
cdx a1
x
b1
y
c1齊次方程.當(dāng)c
c1
0時(shí),
y
Y
k
,令
x
X
h否則為非齊次方程.(3)
可化為齊次的方程解法化為齊次方程.dy
P(
x)
y
Q(
x)(4)
一階線性微分方程dx齊次;
Q(
x)
0,Q(
x)
0,非齊次.解法
齊次方程的通解為y
Ce
P
(
x
)dx
.(使用分離變量法)非齊次微分方程的通解為dx
Ce]
Qy([x)e
(常數(shù)變易法)(5)
伯努利(Bernoulli)方程dxdy
P(
x)
y
Q(
x)
yn(n
0,1)方程為非線性微分方程.解法
需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.令z
y1n
,
z
e(1n
)
P
(
x
)dx
(
Q(
x)(1
n)e(1n
)
P
(
x
)dxdx
c).y1n2、可降階的高階微分方程的解法解法令y
P(x),特點(diǎn)不顯含未知函數(shù)y.型y(
n
)(1)
f
(
x)接連積分n次,得通解.(2)
y
f
(
x,
y)型解法代入原方程,得P
f
(
x,
P(
x)).y
P,特點(diǎn)(3)
y
f
(y,y)
型不顯含自變量x.dy代入原方程,
得
P
dp
f
(
y,
P
).dy解法
令
y
P(
x),
y
P
dp
,求得其解為原方程通解為
x
C
,dy
(
y,
C1
)1dxdy
P(
y)
(
y,
C
),3、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):y
P(
x)
y
Q通解為y
C1
y1
C2
y2
,其中y1
(x)與y2
(x)是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):y
P(
x)
y
Q(
x)
y
f
(
x)
(2)通解為y
Y
y*,其中y*是(2)的一個(gè)特解,Y
是與(2)對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)的通解.r
2
pr
q
0y
py
qy
0特征根的情況通解的表達(dá)式實(shí)根r1
r2實(shí)根r1
r2復(fù)根r1,2
iy
C1e
r1
x
C2er2
xy
(C1
C2
x)er2
xy
ex
(C1
cos
x
C2
sin
x)4、二階常系數(shù)齊次線性方程解法y
py
qy
0解法
由特征方程的根確定其通解的特征方程法.y(
n)
P
y(
n1)
P y
P y
01
n1
n特征方程為rn
P
rn1
P r
P
01
n1
n特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)若是k重根rk
1
rx(C0
C1
x
Ck
1
x
)e若是k重共軛復(fù)根
jk
1[(C0
C1
x
Ck
1
x
)cosx
(D
D
x
D xk
1
)sinx]ex0
1
k
1推廣:n
階常系數(shù)齊次線性方程解法5、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法y
pymx(1)
f
(x)
e
P
(x)型解法
待定系數(shù)法.m設(shè)
y*
xkexQ
(
x)
,20
不是根是單根
,是重根k
1nP
(x)sinx]型lx(2)
f
(
x)
e
[P
(
x)cosx
(
x)sinx],m
ma(
2)m
m*
k
x
(1)(
x)cosx
R設(shè)
y
x
e
[R其中R(1)(x),R(2)(x)是m次多項(xiàng)式m
m1k
0
j不是特征方程的根時(shí);
j是特征方程的單根時(shí).解題思路一階方程高階方程分離變量法全微分方程常數(shù)變易法特征方程法待定系數(shù)法非非變?nèi)课⒖煞址址诫x程冪級(jí)數(shù)解法降階作變換作變換積分因子特點(diǎn):各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同.解法:歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程,通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.六、歐拉方程1
n1xn
y(
n
)
p
xn1
y(
n1)
pnxy
p y
f
(
x)的方程(其中p1
,p2
pn
為常數(shù))形如叫歐拉方程.作變量變換
x
et
或
t
ln
x,
將自變量換為
t
,dy
dy
dt
1
dy
,dx dt
dx x
dt22dx2
xdt dt
,d
2
y
1
d
2
y
dy
33dx3
x3
2
,dt
2
dtd
2
y
dy
d
3
y
1
d
3
y
dtdt用D
表示對(duì)自變量
t
求導(dǎo)的運(yùn)算d
,上述結(jié)果可以寫為xy
Dy,
D)
y
D(
D
1)
y,2dt
2
dtd
2
y
dy
(
D2x
y
(
D3
3D2
2D)
y
D(
D
1)(
D
2)
y,dt
3
dt
2
dtd
3
y d
2
y
dy
3
23x
y
一般地,xk
y(k
)
D(D
1)將上式代入歐拉方程,則化為以t
為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個(gè)方程的解后,把
t
換為ln
x
,即得到原方程的解.小結(jié)歐拉方程解法思路變系數(shù)的線性微分方程常系數(shù)的線性微分方程變量代換x
et
或t
ln
x例
1
求方程
yy
y2
0
的通解.解dy則
y
P
dP
,設(shè)y
P(y),代入原方程得
y
P
dP
P
2
0,
即
P(
y
dP
P
)
0,dy
dydy由y
dP
P
01可得
P
C
y,.12C
xy
C
e原方程通解為1dx
dy
C
y,特征根為r1
1,
r2
r3
i,
r4
r5
i,故所求通解為5
C
x)sin
x.43
C
x)cos
x
(C21y
C
e
x
(C解
特征方程為
r
5
r
4
2r
3
2r
2
r
1
0,(r
1)(r
2
1)2
0,
2
y
y
y
0
的通解.例2
求方程y(
5
)
y(
4
)
2
y(
3
)解對(duì)應(yīng)齊次方程通解
Y
c
e
x
c
e2
x
,1
2
3r
2
0,r
2特征方程特征根例3
求方程y
3
y
2
y
xe2
x
的通解.r1
1,r2
2
2
是單根設(shè)y*
x(Ax
B)e2
x
,
A
1
2
,B
12代入方程,得2Ax
B
2A
x1于是
y*
x(
x
1)e2
x原方程通解為
y
C1e.22例4
求方程解對(duì)應(yīng)齊方通解
sin4xy的y
通解.Y
C1
cos
x
C2
sin
x,作輔助方程
i
是單根,y
y
故y*
Axeix
,代入上式
2
Ai
4,
A
2i,
y*
ixeix
x x
x
x)i所求非齊方程特解為y*
2
x
cos
x,(取虛部)原方程通解為
1
cos2例5
求方程
y
y
x
cos
2x
的通解.解
對(duì)應(yīng)齊方通解Y
C1
cos
x
C2
sin
x,作輔助方程y
y
xe2ix
,
2i
不是特征方程的根,設(shè)y*
(Ax
B)e2ix
,代入輔助方程
3
A
14
Ai
3B
0
A
1,B
4
i,3
9
y*
(
1
x
4
i)e2ix
,3
93
9
(
1
x
4
i)(cos
2x
i
sin
2
x)92cos
431*原方程通解為92cos
431cos
sin211
2cos
43
9所求非齊方程特解為394(2sin
2cos1i(取實(shí)部)注意Aex
cosx,
Aex
sinx分別是Ae求方程
tan
xy的y
通解.解對(duì)應(yīng)齊方通解
Y
C1
cos
x
C2
sin
x,用常數(shù)變易法求非齊方程通解設(shè)y
c1
(x)cos
x
c2
(x)sin
x,w(
x)
1,tansecC,sin)(
ln2cos)(
Cxxc21原方程通解為y
C1
cos
x
C2
sin
tan
x
.例6dt用D
表示對(duì)自變量
t
求導(dǎo)的運(yùn)算d
,上述結(jié)果可以寫為xy
Dy,
D)
y
D(
D
1)
y,2dt
2
dtd
2
y
dy
(
D2x
y
(
D3
3D2
2D)
y
D(
D
1)(
D
2)
y,dt
3
dt
2
dtd
3
y d
2
y
dy
3
23x
y
一般地,xk
y(k
)
D(D
1)將上式代入歐拉方程,則化為以t
為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個(gè)方程的解后,把
t
換為ln
x
,即得到原方程的
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